1、1(九)数学归纳法1已知数列 an满足： a12 a2， an1 aan11( nN *)(1)若 a1，求数列 an的通项公式；(2)若 a3，试证明：对 n N*， an是 4 的倍数(1)解 当 a1 时， a14， an1 (1) an11.令 bn an1，则 b15， bn1 (1) bn. b15 为奇数，当 n2 时， bn也是奇数且只能为1， bnError! 即 anError!(2)证明 当 a3 时， a14， an1 3 an11.下面利用数学归纳法来证明： an是 4 的倍数当 n1 时， a1441，命题成立；设当 n k(kN *)时，命题成立，则存在 tN *
2、，使得 ak4 t， ak1 3 ak113 4t1 127(41) 4(t1) 127(4 m1)14(27 m7)，其中，4 m4 4(t1) C 44t5 (1) rC 44t4 rC 4，14t 1 r4t 1 4t 5 1 mZ，当 n k1 时，命题成立由数学归纳法知，对 nN *， an是 4 的倍数成立2已知数列 an满足 an1 a nan1( nN *)，且 a13.122n 12(1)计算 a2， a3， a4的值，由此猜想数列 an的通项公式，并给出证明；(2)求证：当 n2 时， a 4 nn.n2(1)解 a24， a35， a46，猜想： an n2( nN *)
3、当 n1 时， a13，结论成立；假设当 n k(k1， kN *)时，结论成立，即 ak k2，则当 n k1 时， ak1 a kak1 (k2) 2 k(k2)1 k3( k1)2，122k 12 12 12即当 n k1 时，结论也成立由，得数列 an的通项公式为 an n2( nN *)(2)证明 原不等式等价于 n4.(12n)显然，当 n2 时，等号成立当 n2 时， nC C C 2C nC C C 25 4.(12n) 0n 1n2n 2n(2n) n(2n) 0n 1n2n 2n(2n) 2n综上所述，当 n2 时， a 4 nn.n3已知函数 f(x)ln(2 x) ax
4、 在区间(0,1)上是增函数(1)求实数 a 的取值范围；(2)若数列 an满足 a1(0,1)， an1 ln(2 an) an， nN *，证明：0ln 10， an0；当 n2 时， S2 P2440；当 n3 时， S3 P38910；当 n6 时， S6 P66436280.猜想：当 n5 时， Sn Pn0.证明如下：当 n5 时，由上述可知 Sn Pn0.假设当 n k(k5， kN *)时， Sk Pk2 k k20.当 n k1 时， Sk1 Pk1 2 k1 ( k1) 222 k k22 k12(2 k k2) k22 k12( Sk Pk) k22 k1 k22 k1 k(k2)15(52)1140.当 n k1 时， Sk1 Pk1 0 成立由可知，当 n5 时， Sn Pn0 成立，即 SnPn成立由上述分析可知，当 n1 或 n5 时， SnPn；当 n2 或 n4 时， Sn Pn；当 n3 时，SnPn.
