1、1(四)不等式选讲1已知正数 x， y满足 x2 y22，求证： x y2 xy.证明 x0， y0，要证 x y2 xy，只要证( x y)24 x2y2，即证 x2 y22 xy4 x2y2. x2 y22，只要证 22 xy4 x2y2，即证 2(xy)2 xy10，即证(2 xy1)( xy1)0.2 xy10，只要证 xy1.2 xy x2 y22， xy1 成立，当且仅当 x y1 时取等号 x y2 xy.2已知 a， b， c都是正数且 abc1，求证：(2 a)(2 b)(2 c)27.证明 由算术几何平均不等式可得2 a11 a3 ，3a2 b11 b3 ，3b2 c11
2、c3 .3c不等式两边分别相乘可得，(2 a)(2 b)(2 c)3 3 3 27 27，3a 3b 3c 3abc当且仅当 a b c1 时等号成立3已知函数 f(x)2| x2|3| x3|.若函数 f(x)的最小值为 m，正实数 a， b满足4a25 b m，求 的最小值，并求出此时 a， b的值1a 1b解 依题意知， f(x)Error!2当 x3 时，函数 f(x)有最小值 10，故 4a25 b10，故 1a 1b 110(1a 1b)(4a 25b) ，110(29 25ba 4ab) 110(29 225ba4ab) 4910当且仅当 时等号成立，25ba 4ab此时 a ， b .57 274(2018镇江调研)已知函数 f(x)| x a| x a|，若对任意 xR，不等式 f(x)a23 恒成立，求实数 a的取值范围解 对任意 xR，不等式 f(x)a23 恒成立， f(x)mina23，又| x a| x a| | x a( x a)|2 a|，|2 a|a23，即| a|22| a|30，解得1| a|3.3 a3.
