1、1第一节 一次方程(组)与分式方程考点 1 一次方程(组)的解法1.2016 内蒙古包头若 2(a+3)的值与 4 互为相反数,则 a 的值为( )A.-1 B.- C.-5 D.72 122.2018 北京方程组 的解为( )-=3,3-8=14A. B.=-1,=2 =1,=-2C. D.=-2,=1 =2,=-13.2018 四川乐山方程组 = =x+y-4 的解是( )32A. B.=-3,=-2 =6,=4C. D.=2,=3 =3,=24.2018 内蒙古包头若 a-3b=2,3a-b=6,则 b-a 的值为 . 5.2018 山东滨州若关于 x,y 的二元一次方程组 的解是 则关
2、于 a,b 的二元3-=5,2+=6 =1,=2,一次方程组 的解是 . 3(+)-(-)=5,2(+)+(-)=6考点 2 一次方程(组)的实际应用6.2018 黑龙江龙东地区为奖励消防演练活动中表现优异的同学,某校决定用 1 200 元购买篮球和排球,其中篮球每个 120 元,排球每个 90 元,在购买资金恰好用尽的情况下,购买方案有( )A.4 种 B.3 种 C.2 种 D.1 种7.2018 河北有三种不同质量的物体“ ”“ ”“ ”,其中,同一种物体的质量都相等,现左右手中同样的盘子上都放着不同个数的物体,只有一组左右质量不相等,则该组是( )A BC D8.(6 分)2017 广
3、东学校团委组织志愿者到图书馆整理一批新进的图书.若男生每人整理30 本,女生每人整理 20 本,共能整理 680 本;若男生每人整理 50 本,女生每人整理 40 本,共能整理 1 240 本,求男生、女生志愿者各有多少人.29.(9 分)2018 湖南长沙随着中国传统节日“端午节”的临近,东方红商场决定开展“欢度端午,回馈顾客”的让利促销活动,对部分品牌的粽子进行打折销售,其中甲品牌粽子打八折,乙品牌粽子打七五折.已知打折前,买 6 盒甲品牌粽子和 3 盒乙品牌粽子需 660 元;打折后,买50 盒甲品牌粽子和 40 盒乙品牌粽子需 5 200 元.(1)打折前,每盒甲、乙品牌粽子分别为多少
4、元?(2)阳光敬老院需购买甲品牌粽子 80 盒,乙品牌粽子 100 盒,则打折后购买这批粽子比打折前节省了多少钱?考点 3 分式方程的解法和实际应用10.2018 湖南株洲关于 x 的分式方程 + =0 解为 x=4,则常数 a 的值为( )2 3-A.a=1 B.a=2C.a=4 D.a=1011.2018 黑龙江龙东地区已知关于 x 的分式方程 =1 的解是负数,则 m 的取值范围是( )-2+1A.m3 B.m3 且 m2C.m-1 B.k-1 且 k02.2018 四川德阳旌阳区模拟用配方法解方程 x2- x-1=0 时,应将其变形为( )23A.(x- )2= B.(x+ )2=13
5、 89 13 109C.(x- )2=0 D.(x- )2=23 13 1093.2018 平顶山二模关于 x 的一元二次方程(a-1)x 2+x+a2-1=0 的一个根是 0,则 a 的值为( )A.1 或-1 B.1 C.-1 D.04.2018 南阳地区模拟关于 x 的一元二次方程 x2-2x+k+2=0 有实数根,则 k 的取值范围在数轴上表示正确的是( )A B C D5.2018 河南省实验模拟若矩形的长和宽是方程 x2-7x+12=0 的两根,则矩形的对角线长度为( )A.5 B.7 C.8 D.106.2018 郑州二模如图,某小区有一块长为 30 m,宽为 24 m 的矩形空
6、地,计划在其中修建两块相同的矩形绿地,两块绿地的面积之和为 480 m2,两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道,设人行通道的宽度为 x m,根据题意,下面所列方程正确的是( )A.(30-3x)(24-2x)=480B.(30-3x)(24-x)=480C.(30-2x)(24-2x)=480D.(30-x)(24-2x)=4807.2018 合肥 38 中三模我国“一带一路”倡议给沿线国家和地区带来很大的经济效益,沿线某地区居民 2016 年年人均收入为 200 美元,预计 2018 年年人均收入将达到 1 000 美元,设 2016 年到 2018 年该地区居民年人均收入平均增长率为 x
7、,可列方程为( )A.200(1+2x)=1 000B.200(1+x)2=1 000C.200(1+x2)=1 000D.200+2x=1 0008.2018 天津南开区三模改编若 n(n0)是关于 x 的方程 x2+mx+2n=0 的根,则 m+n 的值为 . 9.2018 三门峡二模改编已知 x=2 是关于 x 的方程 x2-(m+4)x+4m=0 的一个实数根,并且这个方程的两个实数根恰好是等腰三角形 ABC 的两条边长,则ABC 的周长为 . 710.(9 分)2018 重庆沙坪坝区模拟为推进生态文明建设,加快发展新能源汽车,国家对新能源汽车实行补贴政策.一家 4S 店从事某品牌纯电
8、动汽车和插电式混动汽车两种新能源汽车(以下简称电动车和混动车)的销售,电动车每辆进价 16 万元,去年国家对该车每辆补贴 4.5万元,补贴后每辆售价 14 万元;混动车每辆进价 18 万元,去年国家对该车每辆补贴 2.8 万元,补贴后每辆售价 18 万元.该 4S 店去年 12 月共销售这两种汽车 120 辆,获得利润 324 万元.(1)求该 4S 店去年 12 月销售了多少辆混动车;(2)今年国家对该品牌新能源汽车的补贴有所下降,电动车每辆比去年少补贴 0.5 万元,混动车每辆比去年少补贴 0.8 万元,该 4S 店为减少损失,今年 1 月把电动车的售价提高了 m%,结果销量在去年 12
9、月的基础上减少了 m%,对混动车的售价没有作调整,而销量在去年 12 月的52基础上增加了 2.4m 辆,结果该 4S 店今年 1 月的利润比去年 12 月少了 14 万元,求 m 的值.第三节 一次不等式与一次不等式组考点 1 不等式的性质1.2018 江苏宿迁若 a- D.a2-3y,则下列不等式中一定成立的是( )A.x+y0 B.x-y0C.x+y-3 2,-35.2018 山东滨州把不等式组 中每个不等式的解集在同一数轴上表示出来,正+13,-2-6-4确的为( )6.2018 湖南娄底不等式组 的最小整数解是( )2-2,3-1-48A.-1 B.0 C.1 D.27.2018 湖
10、北荆门已知关于 x 的不等式 3x-m+10 的最小整数解为 2,则实数 m 的取值范围是( )A.4m-4A.a-3 B.a3 D.a39.2017 山东烟台运行程序如图所示,从“输入实数 x”到“结果是否2(-14)12.(8 分)2018 山东东营解不等式组 并判断-1, 这两个数是否为该不等式+30,2(-1)+33, 2组的解.13.(8 分)2018 江苏南京如图,在数轴上,点 A,B 分别表示数 1,-2x+3.(1)求 x 的取值范围.(2)数轴上表示数-x+2 的点应落在( )A.点 A 的左边 B.线段 AB 上9C.点 B 的右边考点 3 一元一次不等式的实际应用14.2
11、018 山西2018 年国内航空公司规定:旅客乘机时,免费携带行李箱的长、宽、高之和不超过 115 cm.某厂家生产符合该规定的行李箱,已知行李箱的宽为 20 cm,长与高的比为811,则符合此规定的行李箱的高的最大值为 cm. 15.(9 分)2018 四川资阳为了美化市容市貌,政府决定将城区旁边一块 162 亩的荒地改建为湿地公园,规划公园分为绿化区和休闲区两部分.(1)若休闲区面积是绿化区面积的 20%,求改建后的绿化区和休闲区各有多少亩.(2)经预算,绿化区的改建费用平均每亩 35 000 元,休闲区的改建费用平均每亩 25 000 元,政府计划投入资金不超过 550 万元,那么绿化区
12、的面积最多可以达到多少亩?16.(9 分)2018 四川泸州某图书馆计划选购甲、乙两种图书.已知甲种图书每本价格是乙种图书每本价格的 2.5 倍,用 800 元单独购买甲种图书比用 800 元单独购买乙种图书要少24 本.(1)甲、乙两种图书每本价格分别为多少元?(2)如果该图书馆计划购买乙种图书的本数比购买甲种图书本数的 2 倍多 8 本,且用于购买甲、乙两种图书的总经费不超过 1 060 元,那么该图书馆最多可以购买多少本乙种图书?17.(9 分)2018 江苏南通小明购买 A,B 两种商品,每次购买同一种商品的单价相同,具体信息如下表:购买数量/件次数A B 购买总费用/元10第一次 2
13、 1 55第二次 1 3 65根据以上信息解答下列问题:(1)求 A,B 两种商品的单价;(2)若第三次购买这两种商品共 12 件,且 A 种商品的数量不少于 B 种商品数量的 2 倍,请设计出最省钱的购买方案,并说明理由.1.2018 南阳宛城区模拟若实数 a,b,c 在数轴上对应位置如图所示,则下列不等式成立的是( )A.abcb B.acbcC.a+cb+c D.a+bc+b2.2018 江苏镇江模拟改编如果点 P(3x+9, x-2)在平面直角坐标系的第四象限内,那么 x12的取值范围在数轴上可表示为( )3.2018 河南中原名校一模已知不等式组 的解集为 -13A.6 B.-6 C
14、.3 D.-34.2018 河南天宏大联考二模不等式组 的整数解的个数为( )3-(3-2)1,2+2,则 m 的取值范围是( ),-20A.m2C.m2 D.m26.2018 江西上饶广丰区模拟写出一个解集为 x1 的一元一次不等式组: . 7.2017 濮阳模拟已知关于 x 的不等式(1-a)x3 的解集为 x0,+20,所以 AD 的长是方程 x2+ax=b2的一个正根.故选 B.3.1 或-3 依题意得 2x=(2+x)x=3,整理,得 x 2+2x=3,(x+1) 2=4,x+1=2,x=1 或x=-3.4.2 018 由题意可知 2m2-3m-1=0,2m 2-3m=1,故原式=3
15、(2m 2-3m)+2 015=2 018.5.A 将该方程化为一般形式,为 x2+(1+a)x=0.=(1+a) 20,该方程有两个不相等的实数根.6.D 关于 x 的一元二次方程(a+1)x 2+2bx+(a+1)=0 有两个相等的实数根,(2b) 2-4(a+1)2=0,即 b2-(a+1)2=0,1+b+a=0 或 1-b+a=0,从而 1 或-1 是关于 x 的方程 x2+bx+a=0 的根,也就是说 1 和-1 至少有一个是关于 x 的方程 x2+bx+a=0 的根.当 1 和-1 都是关于 x 的方程x2+bx+a=0 的根时, 解得 这与(a+1)x 2+2bx+(a+1)=0
16、 是一元二次方程矛盾,1+=0,1-+=0, =-1,=0,所以 1 和-1 不都是关于 x 的方程 x2+bx+a=0 的根,即选项 A 和 C 中的判断均错误,选项 D 中的判断正确.当 a=0 时,0 是关于 x 的方程 x2+bx+a=0 的根,故选项 B 中的判断错误.7.(1)当 b=a+2 时,原方程可变形为 ax2+(a+2)x+1=0,=(a+2) 2-4a=a2+40,故当 b=a+2 时,关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+1=0 有两个不相等的实数根.(4 分)(2)若方程有两个相等的实数根,则 =b 2-4a=0.当 a=1,b=2 时,满足 b2-4a=0,(7
17、 分)此时方程为 x2+2x+1=0,方程的根为 x1=x2=-1.(9 分)(第(2)问中 a,b 的值及方程的根均不唯一,符合题意,解答正确即可得分)8.C 设平均每次下调的百分率为 x,由题意,得 6 000(1-x)2=4 860,解得x1=0.1=10%,x2=1.9(舍去),故平均每次下调的百分率为 10%.故选 C.9.C 设参加酒会的人数为 x 人,根据题意,得 x(x-1)=552,解得 x=11 或 x=-10(不合题意,舍去).故选 C.10.(1)设该 4S 店去年 12 月销售了 x 辆混动车,则销售了(120-x)辆电动车.由题意,得(14+4.5-16)(120-
18、x)+(18+2.8-18)x=324,15解得 x=80.答:该 4S 店去年 12 月销售了 80 辆混动车. (4 分)(2)由题意,得14(1+m%)+4-1640(1- m%)+(18+2-18)(80+2.4m)=324-14,52解得 m1=10,m2=50,当 m=50 时,1- m%=- -1 且 k0.故选 D.0,=22-4(-1)0,2.D x 2- x-1=0,x 2- x=1,x 2- x+ =1+ ,(x- )2= .故选 D.23 23 23 19 19 13 1093.C 由题意得 a2-1=0,解得 a=1.由原方程是一元二次方程,可知 a-10,即 a1,
19、故 a=-1.4.C 关于 x 的一元二次方程 x2-2x+k+2=0 有实数根,=(-2) 2-4(k+2)0,解得 k-1.故选 C.5.A x 2-7x+12=0,(x-3)(x-4)=0,x 1=3,x2=4,故矩形的对角线的长为 =5,故选 A.32+426.A 将左边的矩形绿地向右平移,与右边的矩形绿地合并,形成一个大的矩形绿地,易知大矩形绿地的一组邻边的长分别为(30-3x)cm,(24-2x)cm,故可列方程为(30-3x)(24-2x)=480.故选 A.7.B 由题意可得,200(1+x) 2=1 000,故选 B.8.-2 n(n0)是关于 x 的方程 x2+mx+2n=
20、0 的根,n 2+mn+2n=0,n0,n+m+2=0,m+n=-2.9.10 把 x=2 代入方程 x2-(m+4)x+4m=0,得 4-2(m+4)+4m=0,解得 m=2,即方程可化为 x2-6x+8=0,解得 x1=4,x2=2,因为 2+2=4,所以ABC 的三边长为 4,4,2,所以ABC 的周长为4+4+2=10.10.(1)设该 4S 店去年 12 月销售了 x 辆混动车,则销售了(120-x)辆电动车.由题意,得(14+4.5-16)(120-x)+(18+2.8-18)x=324,解得 x=80.答:该 4S 店去年 12 月销售了 80 辆混动车. (4 分)(2)由题意
21、,得14(1+m%)+4-1640(1- m%)+(18+2-18)(80+2.4m)=324-14,52解得 m1=10,m2=50,当 m=50 时,1- m%=- - ,故 C 项中的结论一定成立;当 a=-5,b=113 3 3时,不等式 a2-y,两边都加 y,得 x+y0,故选 A.3.D 移项、合并同类项,得 2x4;系数化为 1,得 x2.4.D 由题图可知,解集为-3-4,得 x-4,得 x-1,则不等式组的解集为-1 . 该不等式的最小整数解为 2,1 -49.x2(x- ),得 x0,2(-1)+33,解不等式,得 x-3,(2 分)解不等式,得 x1,(4 分)故不等式
22、组的解集为-31,解得 xbc,故 A 中不等式成立;a0,ac0,12-23, 2+3, +121-3,故不等式组的解集为-4332,因为不等式组 的解集是 x2,所以 m2,故选 C.,-20, ,-206. (答案不唯一 )2-20,+107.a1 因为由(1-a)x3 得到 x1.31-8.m-2 解不等式,得 x2m,解不等式,得 x0,+20,+249,解得 x9.5,即至少放入 10 个小球时有水溢出.10.(1)设 A,B 两种型号电风扇的销售单价分别为 x 元、y 元,根据题意,得 2+3=1130,5+6=2510,18解得 =250,=210.答:A,B 两种型号电风扇的
23、销售单价分别为 250 元、210 元.(4 分)(2)设采购 A 种型号电风扇 a 台,则采购 B 种型号电风扇(30-a)台,根据题意,得 200a+170(30-a)5 400,解得 a10.答:A 种型号的电风扇最多能采购 10 台.(7 分)(3)不能实现.理由:根据题意,得(250-200)a+(210-170)(30-a)=1 400,解得 a=20,由(2)可知,a10,故在(2)的条件下超市不能实现利润为 1 400 元的目标.(10 分)11.(1)设笔记本的单价为 a 元,钢笔的单价为 b 元.根据题意,得 5+2=100,4+7=161,解得 =14,=15.答:笔记本的单价为 14 元,钢笔的单价为 15 元. (3 分)(2)根据题意,得 y1=0.914x=12.6x.(5 分)当 010 时,y 2=1510+(x-10)150.8=150+12x-120=12x+30,y 2= (7 分)15(010).(3)当 y1=y2时,12.6x=12x+30,解得 x=50;当 y1y2时,12.6x12x+30,解得 x50.故当所买奖品超过 10 件但小于 50 件时,买笔记本更省钱;当所买奖品等于 50 件时,买笔记本与钢笔的花费一样;当所买奖品大于 50 件时,买钢笔更省钱.(10 分)
