1、1第一节 平行四边形(含多边形)考点 1 多边形及其内角和与外角和1.2018 北京中考改编若正多边形的一个外角是 60,则该正多边形的边数为( )A.3 B.4 C.5 D.62.2018 湖南邵阳中考改编如图所示,在四边形 ABCD 中,ADAB,C=110,它的一个外角ADE=60,则B 的度数是( )A.30 B.40 C.50 D.60(第 2 题) (第 3 题)3.2018 山东济宁如图,在五边形 ABCDE 中,A+B+E=300,DP,CP 分别平分EDC,BCD,则P 的度数是( )A.50 B.55 C.60 D.654.2018 上海中考改编通过画出多边形的对角线,可以
2、把多边形内角和问题转化为三角形内角和问题.如果从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有 4 条,那么该多边形的内角和是 . 5.2018 山东聊城如果一个正方形被截掉一个角后,得到一个多边形,那么这个多边形的内角和是 . 6.2018 江苏南京如图,五边形 ABCDE 是正五边形.若 l1l 2,则1-2= . 考点 2 平行四边形的性质7.2018 四川宜宾在ABCD 中,若BAD 与CDA 的平分线交于点 E,则AED 的形状是( )A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.不能确定8.2017 黑龙江鸡西在平行四边形 ABCD 中,BAD 的平分线把 BC 边分成长度是 3 和 4
3、 的两部分,则平行四边形 ABCD 的周长是( )A.22 B.20 C.22 或 20 D.189.2017 山东青岛如图,平行四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O,AEBC,垂足为E,AB= ,AC=2,BD=4,则 AE 的长为( )3A. B. C. D.32 32 217 2217(第 9 题) (第 10 题)10.2018 江苏常州如图,在ABCD 中,A=70,DC=DB,则CDB= . 11.2018 湖南衡阳如图,ABCD 的对角线相交于点 O,且 ADCD,过点 O 作 OMAC,交 AD 于点 M,连接 CM.如果CDM 的周长为 8,那么ABCD
4、的周长是 . 2(第 11 题) (第 12 题)12.2018 湖南株洲如图,在平行四边形 ABCD 中,连接 BD,恰有 BD=CD,过点 A 作 AMBD 于点 M,过点 D 作 DNAB 于点 N,且 DN=3 .在 DB 的延长线上取一点 P,满足2ABD=MAP+PAB,则 AP= . 13.(6 分)2018 福建 A如图,ABCD 的对角线 AC,BD 相交于点 O,EF 过点 O 且与 AD,BC 分别相交于点 E,F.求证:OE=OF.考点 3 平行四边形的判定14.2016 湖北天门在下列条件中,能够判定一个四边形是平行四边形的是( )A.一组对边平行,另一组对边相等B.
5、一组对边相等,一组对角相等C.一组对边平行,一条对角线平分另一条对角线D.一组对角相等,一条对角线平分另一条对角线15.(8 分)2017 山西已知:如图,在ABCD 中,延长 AB 至点 E,延长 CD 至点 F,使得 BE=DF.连接 EF,与对角线 AC 交于点 O.求证:OE=OF.1.2017 周口地区模拟如图,如果边长相等的正五边形和正方形的一边重合,那么1 的度数是 ( )A.30 B.15 C.18 D.203(第 1 题) (第 2 题)2.2018 洛阳三模如图,在ABCD 中,AD=2AB,CE 平分BCD 交 AD 边于点 E,且 AE=3,则 AB 的长为( )A.4
6、 B.3 C. D.2523.2018 南阳地区模拟如图,平行四边形 ABCD 的顶点 B,D 都在反比例函数 y= (x0)的图象上,点 D 的坐标为(2,6),ABx 轴,点 A 的坐标为(0,3),将这个平行四边形向左平移 2 个单位,再向下平移 3 个单位后,点 C 的坐标为( )A.(1,3) B.(4,3) C.(1,4) D.(2,4)(第 3 题) (第 4 题)4.2017 平顶山一模改编如图,在ABCD 中,BC=20 cm,CD=20 cm,A=45,动点 P 从点 B2出发,沿 BC 向点 C 运动,同时动点 Q 从点 D 出发,沿 DB 向点 B 运动,点 P 和点
7、Q 的运动速度分别为 3 cm/s 和 2 cm/s,其中一点到达终点时,另一点也随之停止运动.设运动时间为 t 2s,当BPQ 是直角三角形时,t 的值为( )A.4 B. C. 或 4 D.652 525.2018 周口地区模拟如图,在ABCD 中,点 O 是对角线 AC,BD 的交点,ACBC,且 AB=10 cm,AD=8 cm,则 OB= cm. (第 5 题) (第 6 题)6.2018 南阳三模如图,四边形 ABCD 中,ADBC,AD=8 cm,BC=12 cm,M 是 BC 上一点,且BM=9 cm,点 E 从点 A 出发以 1 cm/s 的速度向点 D 运动,同时点 F 从
8、点 C 出发,以 3 cm/s 的速度向点 B 运动,当其中一点到达终点时,另一点也随之停止运动,设运动时间为 t s,则当以 A,M,E,F 为顶点的四边形是平行四边形时,t= . 7.(9 分)2018 广东中山一模如图,BD 是ABC 的角平分线,点 E,F 分别在 BC,AB 上,且DEAB,BE=AF.(1)求证:四边形 ADEF 是平行四边形;(2)若ABC=60,BD=4,求ADEF 的面积.4第二节 矩形、菱形和正方形考点 1 矩形的性质1.2017 浙江衢州如图,矩形纸片 ABCD 中,AB=4,BC=6,将ABC 沿 AC 折叠,使点 B 落在点 E处,CE 交 AD 于点
9、 F,则 DF 的长等于( )A. B. C. D.35 53 73 54(第 1 题) (第 2 题)2.2018 贵州遵义如图,点 P 是矩形 ABCD 的对角线 AC 上一点,过点 P 作 EFBC,分别交AB,CD 于 E,F,连接 PB,PD.若 AE=2,PF=8,则图中阴影部分的面积为( )A.10 B.12 C.16 D.183.2018 山东威海矩形 ABCD 与矩形 CEFG 如图放置,点 B,C,E 共线,点 C,D,G 共线,连接 AF,取 AF 的中点 H,连接 GH.若 BC=EF=2,CD=CE=1,则 GH=( )A.1 B. C. D.23 22 52(第 3
10、 题) (第 4 题)4.2018 湖南株洲如图,矩形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O,AC=10,P,Q 分别为 AO,AD的中点,则 PQ 的长度为 . 5.2018 江苏连云港如图,E,F,G,H 分别为矩形 ABCD 的边 AB,BC,CD,DA 的中点,连接AC,HE,EC,GA,GF.已知 AGGF,AC= ,则 AB 的长为 . 66.(9 分)2018 湖南张家界如图,在矩形 ABCD 中,点 E 在 BC 上,AE=AD,DFAE,垂足为 F.(1)求证:DF=AB;(2)若FDC=30,且 AB=4,求 AD 的长.57.(9 分)2018 江苏连云港如图
11、,矩形 ABCD 中,E 是 AD 的中点,连接 CE 并延长,交 BA 的延长线于点 F,连接 AC,DF.(1)求证:四边形 ACDF 是平行四边形;(2)当 CF 平分BCD 时,写出 BC 与 CD 的数量关系,并说明理由.考点 2 矩形的判定8.2018 上海已知ABCD,下列条件中,不能判定这个平行四边形为矩形的是( )A.A=B B.A=CC.AC=BD D.ABBC9.(9 分)2017 四川达州如图,在ABC 中,点 O 是边 AC 上一个动点,过点 O 作直线 EFBC,分别交ACB、外角ACD 的平分线于点 E,F.(1)若 CE=8,CF=6,求 OC 的长;(2)连接
12、 AE,AF,问:当点 O 在边 AC 上运动到什么位置时,四边形 AECF 是矩形?并说明理由.考点 3 菱形的性质10.2017 湖南益阳下列性质中菱形不一定具有的是( )A.对角线互相平分B.对角线互相垂直 C.对角线相等D.既是轴对称图形又是中心对称图形11.2017 内蒙古赤峰如图,将边长为 4 的菱形纸片 ABCD 折叠,使点 A 恰好落在对角线的交点 O 处,若折痕 EF=2 ,则A=( )36A.120 B.100 C.60 D.30(第 11 题) (第 12 题)12.2018 江苏宿迁如图,菱形 ABCD 的对角线 AC,BD 相交于点 O,点 E 为边 CD 的中点,若
13、菱形 ABCD 的周长为 16,BAD=60,则OCE 的面积是( )A. B.2 C.2 D.43 313.2017 山东莱芜如图,菱形 ABCD 的边长为 6,ABC=120,M 是 BC 边的一个三等分点(CM0)的图象上,点 D 的坐标为(2,6),k=26=12,y= .点 A 的坐标为(0,3),点 B 的纵坐标为 3,令 3= ,解得 x=4,点 B12 12的坐标为(4,3).又四边形 ABCD 是平行四边形,ABx 轴,D(2,6),C(6,6).将这个平行四边形向左平移 2 个单位,再向下平移 3 个单位后,点 C 的坐标为(4,3).故选 B.4.C 过点 D 作 DHB
14、C 于点 H.四边形 ABCD 是平行四边形,C=A=45,DH=CH.CD=20 cm,DH=CH=10 cm,BH=BC-CH=20 -2 21110 =10 (cm),BH=CH,BD=CD=20 cm,DBC=C=45. 当BPQ=90时,如图(1),BQ=2 2BP,20-2t= 3 t,解得 t= .当BQP=90时,如图(2),BP= BQ,3 t= (20-2t),解2 2 252 2 2 2得 t=4.故选 C.图(1) 图(2)5. 四边形 ABCD 是平行四边形 ,BC=AD=8 73cm,OA=OC.ACBC,AC= = =6(cm),OC= AC=3 cm,OB= =
15、 =2-2 102-8212 2+2 82+32(cm).736. 或 由题可知,AE=t cm,CF=3t cm,CM=3 cm.当点 F 在线段 BM 上,且 AE=FM 时,四边形34 32AFME 是平行四边形,此时有 t=3t-3,解得 t= ;当点 F 在线段 CM 上,且 AE=FM 时,四边形32AMFE 是平行四边形,此时有 t=3-3t,解得 t= .综上所述,t= 或 时,以 A,M,E,F 为顶点的四边34 34 32形是平行四边形.7.(1)证明:BD 是ABC 的角平分线,ABD=DBE.DEAB,ABD=BDE,DBE=BDE,BE=DE.BE=AF,AF=DE,
16、四边形 ADEF 是平行四边形. (4 分)(2)过点 E 作 EHBD 于点 H,则 BH=HD=2.ABC=60,BD 是ABC 的平分线,EBD=30,EH=BHtanEBD=2tan 30= ,233S BDE = BDEH= 4 = ,12 12 233 433又ABDE,S ADEF=2SBDE = . (9 分)833第二节 矩形、菱形和正方形真题分点练1.B ADBC,ACB=CAF.由折叠的性质可知ACB=ACF,ACF=CAF,AF=CF.设 DF=x,则 CF=AF=6-x.在 RtCDF 中,由勾股定理得 CF2=CD2+DF2,即(6-x) 2=42+x2,解得 x=
17、 ,53故 DF 的长为 .53122.C 如图,过点 P 作 AD 的垂线,分别交 AD,BC 于点 M,N,则四边形 AEPM,DFPM,CFPN,BEPN 都是矩形,S AMP =SAEP ,SPBE =SPBN ,SPFD =SPDM ,SPFC =SPCN ,又S ADC =SABC ,S PBE =SDFP =28=8, =8+8=16,故选 C.12 阴 影部分3.C 延长 GH,交 AD 于点 P,四边形 ABCD 和四边形 CEFG 都是矩形,ADG=ADC=CGF=90,AD=BC=2,GF=CE=1,ADGF,PAH=GFH,又H 是 AF 的中点,AH=FH.又AHP=
18、FHG,APHFGH,AP=GF=1,GH=PH= PG,PD=AD-12AP=1.CG=2,CD=1,DG=1,GH= PG= = .故选 C.12 12 2+2 224.2.5 四边形 ABCD 是矩形,BD=AC=10,OD= BD=5.点 P,Q 分别是 AO,AD 的中点,12PQ 是AOD 的中位线,PQ= OD=2.5.125.2 连接 BD.四边形 ABCD 是矩形,ADC=DCB=90,BD=AC= .CG=DG,CF=FB,GF=6BD= .AGFG,AGD+CGF=90,又DAG+AGD=90,DAG=CGF,12 62ADGGCF, = .设 CF=BF=a(a0),C
19、G=DG=b(b0),则 = ,b 2=2a2,b= a.在 Rt 2 2GCF 中,b 2+a2= ,a= ,AB=2b=2.64 226.(1)证明:四边形 ABCD 是矩形,ADBC,B=90,AEB=DAF.又DFAE,DFA=90=B.又AD=EA,ADFEAB,DF=AB.(4 分)(2)ADF+FDC=90,DAF+ADF=90,DAF=FDC=30,AD=2DF.DF=AB=4,AD=2AB=8.(9 分)7.(1)证明:四边形 ABCD 是矩形,ABCD,FAE=CDE.E 是 AD 的中点,AE=DE.又FEA=CED,FAECDE,CD=FA,又CDAF,四边形 ACDF
20、 是平行四边形.(4 分)(2)BC=2CD.(5 分)13理由:CF 平分BCD,DCE= BCD=45.12CDE=90,CDE 是等腰直角三角形,CD=DE,E 是 AD 的中点,AD=2CD,又AD=BC,BC=2CD.(9 分)8.B 根据“一个角是直角的平行四边形是矩形”和“对角线相等的平行四边形是矩形”,可知选项 A,C,D 中的条件均可以判定ABCD 是矩形,而 B 中的条件不能判定.故选 B.9.(1)由题可知,OCE=BCE,OCF=DCF.EFBC,OEC=BCE,OFC=DCF,OEC=OCE,OFC=OCF,OE=OC,OF=OC,OE=OF.OCE+BCE+OCF+
21、DCF=180,ECF=90.在 RtCEF 中,由勾股定理得 EF= =10,2+2OC= EF=5.(5 分)12(2)当点 O 运动到 AC 的中点处时,四边形 AECF 是矩形.理由如下:当 O 为 AC 的中点时,AO=CO,又EO=FO,四边形 AECF 是平行四边形.由(1)可知ECF=90,AECF 是矩形.(9 分)10.C 根据菱形的性质可知,菱形的对角线互相垂直平分,且菱形既是轴对称图形又是中心对称图形,但其对角线不一定相等. 故选 C.11.A 连接 OA,交 EF 于点 G.点 A 与点 O 关于直线 EF 对称,点 O 是菱形对角线的交点,AOEF,AOBD,AG=
22、OG,EFBD,EF 是ABD 的中位线,BD=2EF=4 ,OD=2 .菱3 3形 ABCD 的边长为 4,sinOAD= = = ,OAD=60,BAD=120.234 3212.A 过点 D 作 DHAB 于点 H,四边形 ABCD 是菱形,AO=CO,AB=BC=CD=AD.菱形 ABCD的周长为 16,AB=AD=4.BAD=60,DH=4 =2 ,S 菱形 ABCD=42 =8 ,S 32 3 3 3ACD= 8 =4 .点 E 为边 CD 的中点,AO=CO,OE 为ADC 的中位线,OEAD,12 3 3CEOCDA, =( )2= ,S OCE = 4 = .故选 A. 14
23、 14 3 313.A 如图,作点 M 关于直线 AC 的对称点 M,则点 M在 DC 上,且 CM=CM=2.连接 BM,交 AC于点 P,此时 PB+PM 的值最小,为 BM的长.过点 B 作 BECD 于点 E. ABC=120,BCD=60,CE= BC=3,BE=3 ,则 EM=3-2=1. 在 RtBEM中,由勾股定理可得 BM=12 314=2 . 四边形 ABCD 是菱形,ABCD,ABPCMP, = = ,又2+2 713BP+PM=2 ,PM= ,即 PM= .772 7214.2 依照题意画出图形, 如图所示.菱形 ABCD 的边长是 2,设对角线的交点为 O.在 Rt3
24、AOB 中,AB=2,OB= ,OA= =1,AC=2OA=2,S 菱形 ABCD= ACBD= 22 =2 .3 2-212 12 3 315. 如图,延长 DM,交 CB 的延长线于点 F,连接 ED.AEBC,AEB=90.点 M 是3-12AB 的中点,AB=2,EM=AM=BM=1.ADBC,MAD=MBF,ADM=F,AMDBMF,BF=AD=2,MF=MD.EMD=90,EMDF,即 EM 垂直平分 DF,ED=EF.设 BE=x,则DE=EF=x+2.在 RtABE 中,AE 2=AB2-BE2=22-x2.在 RtADE 中,AE 2=DE2-AD2=(x+2)2-22,2
25、2-x2=(x+2)2-22,解得 x1=-1+ ,x2=-1- (不合题意,舍去),BE= -1.在 RtABE 中,3 3 3cosABE= = .3-1216.D DEAC,DFAB,四边形 AEDF 是平行四边形.当 ADBC 或 BD=CD 时,无法推理出平行四边形 AEDF 是特殊平行四边形,故选项 A,C 中的说法错误.当 AD 垂直平分 BC 时,AB=AC,且DE,DF 是ABC 的中位线,AE=AF=DE=DF,四边形 AEDF 是菱形,故选项 B 中的说法错误.当 AD 平分BAC 时,由 AEDF 得ADF=DAE=DAF,AF=DF,平行四边形 AEDF 是菱形,故选
26、项 D 中的说法正确.17.(1)证明:ADBC,点 E,F 分别是 AB,AC 的中点,DE=AE= AB,DF=AF= AC.12 12又AB=AC,AE=AF=DE=DF,四边形 AEDF 是菱形.(4 分)(2)如图,连接 EF,交 AD 于点 O.菱形 AEDF 的周长为 12,AE=3.设 EF=x,AD=y,则 x+y=7,x 2+2xy+y2=49.四边形 AEDF 是菱形,AO=DO,EO=FO,ADEF.在 RtAOE 中,AO 2+EO2=AE2,( y)2+( x)2=32,即 x2+y2=36.12 1215把代入,得 2xy=13,xy= ,132故菱形 AEDF
27、的面积 S= xy= .(9 分)12 13418.B 四边形 ABCD 是正方形,A,B,C 三点的坐标分别是(-1,2),(-1,0),(-3,0),D(-3,2),平移后点 D 的坐标是(0,2),故选 B.19.B 观察题图可知,阴影部分的面积等于正方形 ABCD 面积的一半,正方形 ABCD 的面积为1,故阴影部分的面积为 ,故选 B.1220. 在ABCD 中,ABAD,ABCD 是矩形,又AB=AD,ABCD 是正方形,故条件正确;由 ABBD 可知边 AB 与对角线 BD 的夹角为 90,ABCD 不可能是正方形,故条件错误;由 OB=OC 可知 AC=BD,ABCD 是矩形,
28、又OBOC,ABCD 是正方形,故条件正确;AB=AD,ABCD 是菱形,又AC=BD,ABCD 是正方形,故条件正确.综上所述,条件正确.21.(1)证明:四边形 ABCD 是正方形,OA=OB,DAO=45,OBA=45,ACBD,OAM=OBN=135,AOB=90,又EOF=90,AOM=BON,OAMOBN,OM=ON.(4 分)(2)过点 O 作 OHAD 于点 H,则 OHAB,OH=DH=AH= AD=2,12又E 为 OM 的中点,MA=AH=2,HM=4,OM= =2 ,22+42 5MN= OM=2 .(9 分)2 10模拟提升练1.D 四边形 ABCD 是平行四边形,A
29、B=DC,AD=BC,ADBC,DAM=AMB,又由题意知BAM=DAM,BAM=AMB,BA=BM,同理 DN=DC,BM=DN,BC-BM=AD-DN,即 CM=AN,四边形 AMCN 是平行四边形.A 项中,AM=AN,平行四边形 AMCN 是菱形.B 项中,MNAC,平行四边形 AMCN 是菱形.C 项中,ADBC,ANM=CMN.MN 平分AMC,AMN=CMN,AMN=ANM,AM=AN,平行四边形 AMCN 是菱形.D 项中,根据BAD=120和四边形 AMCN 是平行四边形,不能推出四边形 AMCN 是菱形.故选 D.2.D 四边形 ABCD 是正方形,AB=BC=CD=DA,
30、BAE=ABC=90.AF=DE,AE=BF.在ABE 和BCF 中, ABEBCF,ABE=BCF.ABE+CBP=90,=,=,=, BCF+CBP=90,BPC=90,则点 P 在以 BC 为直径的圆上运动.如图,取 BC 的中点O,连接 OP,OA,则 OP= BC=2.在 RtAOB 中,OA= = =2 .根据两点之间,线段最12 2+2 42+22 5短,得 OP+APOA,当 O,P,A 三点共线时,AP 的长度最小,为 2 -2.故选 D.5163.2 -2 或 +1 四边形 ABCD 是菱形,AB=2,ABC=30,CD=AB=2,D=ABC=30,3 3BCD=150.D
31、BC 为等边三角形,BCD=60.当点 E 在边 AD 上时,如图(1)所示,过点 E 作 EFCD,垂足为点 F,则CEF=FCE= (BCD-BCD)=45,CF=EF.在 RtDEF 中,12D=30,EF= DE.设 EF=x,则 DE=2x,CF=x,FD= x.CF+FD=CD=2,x+ x=2,解得 x= -12 3 3 31,DE=2x=2 -2.当点 E 在 DA 的延长线上时,如图(2),过点 B 作 BHAD,交 DA 的延长线3于点 H.由折叠可知EDC=D=30.BDC=60,DE 为BDC 的平分线.又BDC 是等边三角形,DEBC,DEAD.ABC=30,BAH=
32、30,又AB=2,AH= .设3DE 与 BC 的交点为 G,则 EH=BG= BC=1,AE= -1,DE= +1.12 3 3图(1) 图(2)4.(1)证明:AD 是等腰三角形 ABC 底边 BC 上的高,BD=DC,ADC=90.点 O 是 AC 的中点,AO=OC,ODAB,又AEBC,四边形 ABDE 是平行四边形,AE=BD,AE=DC,四边形 ADCE 是平行四边形,ADC=90,四边形 ADCE 是矩形.(5 分)(2)120(7 分)10 (9 分)25.(1)证明:四边形 ABCD 是矩形,AB=CD,ABCD,B=D=90,BAC=ACD.BAE= BAC,DCF= ACD,12 12BAE=FCD.在ABE 和CDF 中,=,=,=, ABECDF.(5 分)(2)6 (7 分)32 (9 分)317
