1、1九章算术(涉及方程)九章算术是我国古代第一部数学专著,全书总结了战国、秦、汉时期的数学成就.九章算术在数学上还有其独到的成就,不仅最早提到分数问题,也首先记录了盈不足等问题,“方程”章还在世界数学史上首次正式引入负数及其加减法运算法则.九章算术的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系.1.我国古代数学名著九章算术记载了利用算筹表示方程组和解方程组的问题.算筹图表示的是方程组 则算筹图 表示的方程组的解是 3+2+=39,2+3+=34,+2+3=26,( )A. B.=1,=2 =2,=3C. D.=4,=1 =3,=32.我国古代数学著作九章算术中有一道阐述“盈不足术”的问题,译文为:“现
2、有几个人共同购买一个物品,每人出 8 元,则多 3 元;每人出 7 元,则差 4 元,问这个物品的价格是多少元.”该物品的价格是 元. 3.九章算术中的方程问题:今有甲、乙二人持钱不知其数.甲得乙半而钱五十,乙得甲太半而钱亦五十.问甲、乙持钱各几何?大意为:今有甲、乙二人,不知其钱包里有多少钱.若乙把其一半的钱给甲,则甲的钱数为 50;而甲把其 的钱给乙,则乙的钱数也能为 50.则甲的钱数是 ,乙的钱数是 . 23算法统宗(涉及方程)在中国古代数学的整个发展过程中,算法统宗是一部十分重要的著作.其作者程大位(15331606),字汝思,号宾渠,安徽休宁人.从二十多岁起他便在长江中下游一带经商,
3、对数学产生了浓厚的兴趣.四十岁时,倦于外游,便弃商归故里,认真钻研古籍,撷取名家之长,历经二十年,于明万历壬辰年(1592)写就巨著算法统宗十七卷.在算法统宗这部著作中,许多数学问题都是以歌诀形式呈现的:(1)浮屠增级远看巍巍塔七层, 红光点点倍加倍.共灯三百八十一, 请问尖头几盏灯.这首歌诀的大意:远处有一座雄伟的佛塔,塔上挂了许多红灯,下一层灯数是上一层灯数的 2 倍,全塔共有 381 盏,试问顶层有几盏灯.(2)以碗知僧巍巍古寺在山中,不知寺内几多僧.三百六十四只碗,恰合用尽不差争.三人共食一碗饭,四人共尝一碗羹.请问先生能算者,都来寺内几多僧.这首歌诀的大意:山上有一座古寺叫都来寺,在
4、这座寺庙里,3 个和尚合吃一碗饭,4 个和尚合分一碗汤,一共用了 364 只碗.请问都来寺里有多少个和尚.(3)和尚分馒头一百馒头一百僧,2大僧三个更无争,小僧三人分一个,大小和尚各几丁?这首歌诀的大意:有 100 个和尚分 100 个馒头,正好分完.如果大和尚一人分 3 个,小和尚 3 人分一个,试问大、小和尚各有几人.1.我国明代数学读本算法统宗一书中有这样一道题:一支竿子一条索,索比竿子长一托,对折索子来量竿,却比竿子短一托.如果 1 托为 5 尺,那么索长为 尺,竿子长为 尺. 2.某数学兴趣小组研究我国古代算法统宗里这样一首诗:吾问开店李三公,众客都来到店中,一房七客多七客,一房九客
5、一房空.诗中后两句的意思:如果每间客房住 7 人,那么有 7 人无房可住;如果每间客房住 9 人,那么就空出一间房.则该店有客房 间,房客 人. 3.算法统宗这部书里有这样一题,大意:甲牵一只肥羊走过来问牧羊人:“你赶的这群羊大概有 100 只吧?”牧羊人答:“如果这群羊加上一倍,再加上原来这群羊的一半,又加上原来这群羊的 ,连你牵着的这只肥羊也算进去,14才刚好凑满一百只.”则这位牧羊人赶的这群羊共有 只. 孙子算经(涉及方程)孙子算经是我国古代重要的数学著作.传本的孙子算经共三卷,卷上叙述算筹记数的纵横相间制度和筹算乘除法,卷中举例说明筹算分数算法和筹算开平方法,卷下对后世的影响最为深远.
6、卷下的第 31 题,可谓是后世“鸡兔同笼”题的始祖,后来传到日本,变成“鹤龟算”.书中是这样叙述的:今有雉兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问雉兔各几何?下卷第 26 题“物不知数”为后来的“大衍求一术”的起源,被看作是中国数学史上最有创造性的成就之一,称为中国余数定理:今有物,不知其数.三三数之,剩二;五五数之,剩三;七七数之,剩二.问物几何?显然,这相当于求不定方程组 的正整数解=3+2,=5+3,=7+2n,孙子算经所给答案是 n=23.1.孙子算经中有首歌谣,大意为:如图,有一根竹竿不知道有多长,量出它在太阳下的影子长一丈五尺,同时立一根一尺五寸的小标杆,它的影长五寸(提示:1 丈=
7、10 尺,1 尺=10 寸),则竹竿的长为( )A.五丈 B.四丈五尺C.一丈 D.五尺2.孙子算经中有一道题,原文是“今有木,不知长短.引绳度之,余绳四尺五寸;屈绳量之,不足一尺.问木长几何?”意思是“用一根绳子去量一根长木,绳子还剩余 4.5 尺;将绳子对折3再量长木,长木还剩余 1 尺.问木长多少尺.”设木长为 x 尺,绳子长为 y 尺,则下列符合题意的方程组是( )A. B.=+4.5,12=+1 =+4.5,12=-1C. D.=4.5-,12=+1 =-4.5,12=-13.我国古代数学名著孙子算经中有“鸡兔同笼”数学名题,小敏将该题改编为:今有鸡兔同笼,上有 33 头,下有 88
8、 足,问鸡兔各几何?此时的答案是 . 4.孙子算经中有这样一道题,原文如下:今有百鹿入城,家取一鹿,不尽,又三家共一鹿,适尽.问:城中家几何?大意为:今有 100 头鹿进城,每家取一头鹿,没有取完,剩下的鹿每 3 家共取一头,恰好取完.则城中有 户人家. 一元二次方程的几何解法你知道吗,对于一元二次方程,我国及其他一些国家的古代数学家还研究过其几何解法呢!下面我们以方程 x2+2x-35=0 为例加以说明.(方程可转化为 x2+2x=35,x(x+2)=35 两种形式)图(1)三国时期的数学家赵爽(约公元 3 世纪)在其所著的勾股圆方图注中记载的方法是:如图(1),构造边长为(x+x+2)的正
9、方形,则大正方形的面积(x+x+2) 2,另一方面,大正方形是由四个长和宽分别为 x+2,x 的矩形和一个边长为 2 的小正方形组成的,所以大正方形的面积等于四个矩形加上中间小正方形的面积,即大正方形的面积为 435+22,故(x+x+2)2=144,x0,解得 x=5.说明:赵爽的解法是把 x2+2x=x(x+2)看作矩形的面积,然后用四个这样的矩形及一个边长为 2 的小正方形组成一个边长为(x+x+2)的正方形,再由面积公式求出 x.图(2)公元 9 世纪,阿拉伯数学家阿尔花拉子密采用的方法是:构造图(2),阿尔花拉子密的方法直接从“形”上反映了配方法,一方面,正方形的面积为(x+1) 2
10、,即(x 2+2x)+1;另一方面,它又等于 36,即 35+1,据此同样可得 x=5.其实赵爽的方法和阿尔花拉子密的方法本质上是一致的.利用几何法解一元二次方程,巧妙之处在于不用过多的语言和运算即可解决求方程的解的问题.赋予代数式的几何意义是解决这类问题的关键.4需要指出的是,一元二次方程的几何解法,反映了古代数学家在探索一元二次方程的求解过程中留下的足迹,如果遇到负根,就无法求解,这也说明了这种方法的局限性.后来人们发现的一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)的求根公式 x= ,克服了这种局限性.-2-42参考答案九章算术(涉及方程)1.C 由题意知,算筹图 表示的方程组是 解得 故选
11、 C.2+3=11,+3=7, =4,=1.2.53 设有 x 个人共同购买这个物品,根据题意得 8x-3=7x+4,解得 x=7.则 8x-3=87-3=53(元),故该物品的价格是 53 元.3.37.5 25 设甲持钱为 x,乙持钱为 y,依题意列方程组为 解得 故甲的钱+12=50,+23=50. =37.5,=25.数为 37.5,乙的钱数为 25.算法统宗(涉及方程)1.20 15 设索长为 x 尺,竿子长为 y 尺,根据题意,得 解得-=5,2=-5, =20,=15.2.8 63 设该店有客房 x 间,根据题意得,7x+7=9(x-1),解得 x=8,78+7=63.故该店有客
12、房 8 间,房客 63 人.3.36 设这位牧羊人赶的这群羊共有 x 只,依题意,得 x+x+ x+ x+1=100,解得 x=36,故这位12 14牧羊人赶的这群羊共有 36 只.孙子算经(涉及方程)1.B 设竹竿的长为 x 尺,根据题意得,竹竿的影长为一丈五尺,即 15 尺,标杆的长为一尺五寸,即 1.5 尺,标杆的影长为五寸,即 0.5 尺,则 = ,解得 x=45.故选 B.151.50.52.B 根据“用一根绳子去量一根长木,绳子还剩余 4.5 尺”可列方程 y=x+4.5;根据“将绳子对折再量长木,长木还剩余 1 尺”可列方程 y=x-1.故选 B.123.鸡 22 只,兔 11 只 设鸡有 x 只,兔有 y 只.依题意得方程组 解得 故鸡有+=33,2+4=88, =22,=11.22 只,兔有 11 只.4.75 设城中有 x 户人家,根据题意,得 x+ =100,解得 x=75.故城中有 75 户人家.3
