1、1河南省信阳市第一高级中学 2018-2019 学年高二数学上学期期中试题 文一、选择题：本题共 12 小题，每一题 5 分，共 60 分 .1 “ x 0 ”是 “ 3 x2 0 ”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件2设 ABC 的三边长是 a, b, c ， ( a b c)(a b c) ab ，则角 C 等于（ ）A. 600 B. 900 C. 1200 D. 1500x2 y 23椭圆 （ 1m n 0） 的焦点坐标是（ ）m nA. (0, m n)B. (m n , 0)C. (0, n m ) D. (n m, 0)4在 A
2、BC 中，角 A， B， C 的对边分别为 a, b, c, ac 3 ，且 a 3bsinA ，则ABC 的面积等于( )A. 1 B. 3 C1 D. 32 2 45某工厂第一年的产量为 A ，第二年产量的增长率为 a ，第三年产量的增长率为 b ，这两年产量的平均增长率为 x ，则（ ）a ba ba ba bA x B x C x D x 2 2 2 20， 16若不等式 x2 ax10 对一切 x 2 恒成立，则 a 的最小值为 ()A0 B2 C 5 D32 x y 2 2 07. 设变量 x, y 满足约束条件 x 2 y 2 0，若 z y ax 取最大值的最优解有无数个， 2
3、x y 2 0则实数 a 的值为（ ）A 1 或1 B 2 C. 2 或 1 D2 或128等比数列 an前 n 项的积为 Tn，若 a3a6a18 是一个确定的常数，那么数列 T10， T13， T17，T25 中也是常数的项是 ( )A T10 B T13 C T17 D T259. 已知关于 x 的不等式 ax2 x b 0 的解集为 2,1 ，则关于 x 的不等式bx2 x a 0 的解集为（ ）A. 1, 2 B1, 1C. 1 ,1D1, 12 2 2x2 y210已知椭圆 E ： (a b 0) 的右焦点为 F (3, 0) ，过点 F 的直线交椭圆 Ea2 b2于 A, B 两
4、点，若 AB 的中点坐标为 (1, 1) ，则椭圆的方程为（ ）x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2A. 1 B 1 C. 1 D 145 36 36 27 27 18 18 9bn7 (n 8) 11已知数列 an 满足： an 1 若对于任意 n N都有 an an1( b)n 2, (n 8) 3则实数 b 的取值范围（）A ( 1 ,1) B (0, 1 )C. (0, 1) D ( 1,1 )2 2 3 3 212. 在 ABC 中，角 A, B, C的对边分别为 a, b, c ，且 2c cos B 2a b ，若 ABC S 3c 的面积为，则 ab 的最小值为（ ）
5、3A 56 B 48 C 36 D 28二填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.5 713. 数列 1, 3 , ,. 猜想数列的通项公式 an .4 9 1614.一蜘蛛沿东北方向爬行 xcm 捕捉到一只小虫，然后向右转 1050 ，爬行 10cm 捕捉到另一只小虫，这时它向右转 1350 爬行回它的出发点，那么 x .y 215. 已知双曲线 x 2 1 的焦点为 F1 , F2 ，点 M 在双曲线上，且 MF1 MF2 0 ，则2点 M 到 x 轴的距离为 .16.设正数 x, y ，满足 x y ax y 恒成立，则 a 的最小值是 .三解答题：本题共 6 小题，共
6、70 分，解答时写出必要文字说明、证明过程或演算步骤.17. （ 12分 ） 已 知 命 题 P : m 1,1 不 等 式 a2 5a 3 m2 8 ， 命 题q : x R, x2 2ax 2 a 0 ，使 p q 是真命题， q 是真命题，求实数 a 的取0 0 0值范围.18. （12 分）已知 an 是递增的等差数列， a2 , a4 是方程 x2 5x 6 0 的根.（I）求 an 的通项公式；（II）求数列 2ann 的前 n 项和.19.（12 分）郑州一中学生食堂出售甲、乙两种食品，甲每份售价 0.55 元、乙每份售价 0.40 元，经检测，食品中含有三种学生所需的营养物 A
7、、B、C，其中食品甲每份含 4A、B、C 分别为 10、3、4 毫克，食品乙每份含 A、B、C 分别为 2、3、9 毫克，而营养师认为学生每餐至少需此三种营养物 A、B、C 分别为 20、18、36 毫克.问一学生进餐应对甲、乙食品各买几份，能保证足够的营养要求，又花钱最少？20. （12 分）已知函数 f (x) lg a2 1 x2 a 1 x 1 （I）若函数 f (x) 的定义域为 R ,求实数 a 的取值范围；（II）若函数 f (x) 的值域为 R ,求实数 a 的取值范围.21.（12 分） 设 ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c 已知 a b tan
8、 A ,且B 为钝角.（I）证明： B A 2 ；（II）求 sinA sinC 的取值范围.x2 y2 322. （12 分）已知点 A(0, 2) ，椭圆 E : 1(a b 0) 的离心率为 ， F 是a2 b2 2椭圆的焦点，直线 AF 的斜率为 2 33 ， O 为坐标原点.（I）求 E 的方程；（II）设过点 A 的直线 l 与 E 相交于 P,Q 两点，当 OPQ 的面积最大时，求 l 的方程.520182019 学年上期中考20 届 高二文科数学参考答案一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案
9、 A C D A B C D C C D A B二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 .2n 1 10 6 2 313. a (n N)14. 15. 16. 2n n2 3 3三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分17.解： m 1,1 ， m2 8 3p 为真命题， a 2 5a 3 3, a6 或 a12q 为真命题，= （2 a） 4(2 a) 0， a 2 或 a 1 p所以 2 a 1p q 为真 p 为真 故 a 的范围是 2, 118.解：（ I）方程 x2 5x 6 0 的两根为 2,3,由题意得 a2 2 ， a4 3 ，设数列 an 的公差为
10、 d,，则 a4 a2 2d ，故 d 1，从而 a1 3 ，2 2所以 an 的通项公式为： an 1 n 12 a an 2n n()设求数列 的前 n 项和为 Sn,由()知 ，2 n 2n2n13 4 5n 1n 2则：Sn 22 23 24 2n 2n11 3 4 5n 1n 262 Sn 23 24 25 2 n1 2 n2 ， 两式相减得1 3 11 1 n 2 3 1 1 n 2Sn 3 4n1 n2 1 n1 n22 4 2 2 2 2 4 4 2 2所以 Sn 2 n2 n1 4 .19. 解：设买甲食品 x份，乙食品 y 份，由题意可知 x, y 满足的关系为10 x 2
11、 y 203 x 3 y 18 ，花费为 z 0.55x 0.4 y 4x 9 y 36 x 0, y 0画图（略）， z在点 P(1,5) 处值最小，此时花费 z 0.55 0.4 5 2.55 .所以学生应该买 1 份甲，5 份乙，花费 2.55 元，既能保证足够的营养要求，又花钱最少.20.解：（ 1） a 1 或 a 5； 1 a 5 .3 3sin A21.()证明：由 a b tan A 及正弦定理，得 sin A a ，cos A bsin B所以 sin B cos A ，又 B 为钝角，故，即 B A .2()由（1）知， C (A B) (2A ) 2A 0，所以 A (0
12、, ) .2 2 4于是 sin A sin C sin A sin( 2 A) sin A cos 2 A22sin 2 A sin A 1 2(sin A 1)2 974 82 2 9 9因为 0 A ，所以 0 sinA ，因此2(sin A 1 )2 ,4 2 2 4 8 8由此可知 sin A sin C 的取值范围是 ( 22 , 89 .2 2 3 c 322. () 设 F c, 0 ，由条件知 ，得 c 3,又 ，c 3 a 2x2所以 a=2 ， b2 a2 c2 1,故 E 的方程 y2 1.4（）依题意当 l x 轴不合题意，故设直线 l： y kx 2 ，设 P x1
13、, y1 , Q x2 , y2 x2 2 2 2 将 y kx 2 代入 y 1，得 1 4kx 16 kx 12 0 ，4当 16(4k 2 3) 0 ，即 k 2 3 时， x 8k 2 4k 2 34 1,21 4k 2从而 PQ k 2 1x x 4 k 2 1 4k 2 31 2 1 4k 22又点 O 到直线 PQ 的距离 d k 2 1 ，所以 OPQ 的面积1 44k 2 3S d PQ ， OPQ 21 4k 24t 4设 4k 2 3 t ，则 t 0 ， S OPQ t2 4 4 1，8t t当且仅当 t 2 ， k 27 时等号成立，且满足 0 ，所以当 OPQ 的面
14、积最大时， l的方程为： y 27 x 2 或 y 27 x 2 .920182019 学年上期中考20 届 高二文科数学参考答案一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 A C D A B C D C C D A B二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 .2n 1 10 6 2 313. a (n N)14. 15. 16. 2n n2 3 3三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分17.解： m 1,1 ， m2 8 3p 为真命题， a 2 5a 3 3, a6 或 a12q
15、 为真命题，= （2 a） 4(2 a) 0， a 2 或 a 1 p所以 2 a 1p q 为真 p 为真 故 a 的范围是 2, 118.解：（ I）方程 x2 5x 6 0 的两根为 2,3,由题意得 a2 2 ， a4 3 ，设数列 an 的公差为 d,，则 a4 a2 2d ，故 d 1，从而 a1 3 ，2 2所以 an 的通项公式为： an 1 n 12 a an 2n n()设求数列 的前 n 项和为 Sn,由()知 ，2 n 2n2n13 4 5n 1n 2则：Sn 22 23 24 2n 2n11 3 4 5n 1n 2102 Sn 23 24 25 2 n1 2 n2 ，
16、 两式相减得1 3 11 1 n 2 3 1 1 n 2Sn 3 4n1 n2 1 n1 n22 4 2 2 2 2 4 4 2 2所以 Sn 2 n2 n1 4 .19. 解：设买甲食品 x份，乙食品 y 份，由题意可知 x, y 满足的关系为10 x 2 y 203 x 3 y 18 ，花费为 z 0.55x 0.4 y 4x 9 y 36 x 0, y 0画图（略）， z在点 P(1,5) 处值最小，此时花费 z 0.55 0.4 5 2.55 .所以学生应该买 1 份甲，5 份乙，花费 2.55 元，既能保证足够的营养要求，又花钱最少.20.解：（ 1） a 1 或 a 5； 1 a
17、5 .3 3sin A21.()证明：由 a b tan A 及正弦定理，得 sin A a ，cos A bsin B所以 sin B cos A ，又 B 为钝角，故，即 B A .2()由（1）知， C (A B) (2A ) 2A 0，所以 A (0, ) .2 2 4于是 sin A sin C sin A sin( 2 A) sin A cos 2 A22sin 2 A sin A 1 2(sin A 1)2 9114 82 2 9 9因为 0 A ，所以 0 sinA ，因此2(sin A 1 )2 ,4 2 2 4 8 8由此可知 sin A sin C 的取值范围是 ( 22
18、 , 89 .2 2 3 c 322. () 设 F c, 0 ，由条件知 ，得 c 3,又 ，c 3 a 2x2所以 a=2 ， b2 a2 c2 1,故 E 的方程 y2 1.4（）依题意当 l x 轴不合题意，故设直线 l： y kx 2 ，设 P x1, y1 , Q x2 , y2 x2 2 2 2 将 y kx 2 代入 y 1，得 1 4kx 16 kx 12 0 ，4当 16(4k 2 3) 0 ，即 k 2 3 时， x 8k 2 4k 2 34 1,21 4k 2从而 PQ k 2 1x x 4 k 2 1 4k 2 31 2 1 4k 22又点 O 到直线 PQ 的距离 d k 2 1 ，所以 OPQ 的面积1 44k 2 3S d PQ ， OPQ 21 4k 24t 4设 4k 2 3 t ，则 t 0 ， S OPQ t2 4 4 1，12t t当且仅当 t 2 ， k 27 时等号成立，且满足 0 ，所以当 OPQ 的面积最大时， l的方程为： y 27 x 2 或 y 27 x 2 .
