1、1河南省信阳市第一高级中学 2018-2019 学年高二数学上学期期中试题 理说明：1本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题），满分 150 分，考试时间 120 分钟2将第 I 卷的答案代表字母和第 II 卷的答案填在答题表（答题卡）中第卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知 a 0,1 b 2, 则下列不等式成立的是（ ）A a ab 2aB a ab 2a C ab a 2aD a 2a ab2抛物线 C : y x2 的准线方程为（ ）A x 1B x 1 C y 1D y 14 4 4
2、44an 33已知数列 a满足 a （ n N* ），且 a 1，则 a =（ ）nn1 1214A 13 B14 C 15 D164下列说法正确的是（ ）A命题“若 x2 1 ，则 x 1 ”的否命题为“若 x2 1 ，则 x 1 ”B命题“若 x y ，则 sin x sin y ”的逆否命题是真命题C命题“ x R ，使得 x2 x 1 0 ” 的否定是“ x R ，均有 x2 x 1 0D“ x 1 ”是“ x2 5x 6 0 ”的必要不充分条件25已知椭圆 C 的焦点在 y 轴上，焦距为 4，离心率为 ，则椭圆 C 的标准方程是（ ）2x2y 2 x2 y 2 x2 y 2 x2 y
3、 2A B C 1 D. 121 14 8 12 16 16 12 8 4高二 理科数学 第 1 页 （共 4 页）16已知数列a 满足 a （ n N* ）， a 2 ，则 a （ ）nn1 8 11 an5 8 7A B C D. 19 11 9 2c7在 ABC 中， A 60 , b 1, S ABC 3,则 =（ ）sin CA 8 3 B 26 3 C 2 39 D 2 781 3 38若关于 x 的一元二次方程 x2 ax 2b 0 有两个实根，一个根在区间 0,1内，另一b 3个根在区间 1,2 内，则 的取值范围为（ ）a 1 1 3 1 3A 1,3B 1,3 C ， D.
4、 ， 2 2 2 29设数列 an 的前 n 项和为 Sn ，若 3Sn 2an 3n （ n N* ），则 a2018 （ ）20182018 1 2018 7 1 2018 10A 2 1 B 3 6 C D 2 2 3 34 y10若两个正实数 x, y 满足 1 1，且不等式 x m2 3m 有解，则实数 m 的取x y 4值范围为（ ）A1,4B 4,1C,1 4,D. ， 0 3,11已知 F 抛物线 C : y 2 2 px p 0 的焦点，曲线 C 是以 F 为圆心， p 为半径的圆，31 22AB直线 4x 3 y 2 p 0 与曲线 C , C 从上到下依次相交于 A ，
5、B ， C ， D ，则 1 2CDA 4 B16 C 5 D 83 312设 a log0.2 0.3 ， b log2 0.3 ，则（ ）A ab a b 0B a b ab 0C ab 0 a bD a b 0 ab高二 理科数学 第 2 页 （共 4 页）第 II 卷二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 x 1,13设变量 x, y 满足约束条件 x y 4 0, 则目标函数 z 2x y 的最小值为_ x 3 y 4 0,14在钝角 ABC 中， AB 3, BC 3, A 30 ，则 ABC 的面积为_2 1 215在各项均为正数的等比数列 an 中，若 a
6、2018 ，则 的最小值 _2 a2017 a2019x2 y 216已知双曲线 C : 1 a 0, b 0 的右焦点为 F ，过点 F 向双曲线的一条渐a2 b2近线引垂线，垂足为 M ，交另一条渐近线于点 N ，若 7 FM 3FN ，则双曲线的离心率为_三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（本小题满分 10 分）已知条件 p : x2 4ax 3a2 0 a 0 ；条件 q : x2 2x 8 0 若 p 是 q 的必要不充分条件，求实数 a 的取值范围418（本小题满分 12 分）在 ABC 中 ， 角 A, B, C 所 对 的 边
7、 分 别 为 a, b, c， 且2 cos C a cos C c cos A b 0 （I）求角 C 的值；（II）若 b 2 ， c 2 3 ，求 ABC 的面积19（本小题满分 12 分）已知数列 an 满足 a1 1，且 2 nan1 2 n 1 an n n 1 （ n N* ）（I）求数列 an 的通项公式；（II）若 bn 2n an ，求数列 bn 的前 n 项和 Sn n 1高二 理科数学 第 3 页 （共 4 页）20（本小题满分 12 分）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层某幢建筑物需建造可使用 20 年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造
8、成本为 6 万元该建筑物每年的能源消耗费用 C ( 单位：万元 ) 与隔热层厚度 x ( 单位： cm ) 满足关系：kC x0 x 10 ，若不建隔热层，每年能源消耗费用为 8 万元设 f x 为隔3x 5热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和（ I）求 k 的值及 f x 的表达式；（ II）隔热层修建多厚时，总费用 f x 达到最小，并求最小值21（本小题满分 12 分）1 2 3 n已知数列 an 满足 3 3 2n 1 ，（ n N* ）a a a a 81 2 3 n（ I）求数列 an 的通项公式；1 1 1 1（ II）若 bn log3 an ，求证： 1 n b b b
9、 b b b b b 251 22 33 4 n n122（本小题满分 12 分）已知圆 x 3 2 y 2 16 的圆心为 M ，点 P 是圆 M 上的动点，点 N 3,0 ，点 G在线段 MP 上，且满足 GN GP GN GP （I）求动点 G 的轨迹 C 的方程；（II）过点 T 4,0 作斜率不为 0 的直线与轨迹 C 交于 A , B 两点，点 A 关于 x 轴的对称点为 D ，连接 BD 交 x 轴于点 Q ，求 ABQ 面积的最大值高二 理科数学 第 4 页 （共 4 页）620182019 学年上期中考20 届高二理科数学参考答案一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5
10、分，共 60 分题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 B D D B A D C D A C B A二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 33 1413 1 14 15 4 16 4 2三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分17【解析】解：设 x2 4ax 3a2 0 a 0 的解集为 A ,由 x a x3 a0 ，当 a 0 时， A a,3a ；当 a 0 时， A 3 a, a 设 x2 2x 8 0 的解集为 B ,则 B ,4 2, 5 分由 p 是 q 的必要不充分条件可得 p 是 q 的充分不必要条件，即 A 是 B 的真
11、子集 a 2 或 a 4 10 分18【 解析】（ I ）由正弦定理可得 2 cos Csin A cos C sin C cos A sin B 0 ，2 cos C sin A C sin B 0 ,即 2 cos C sin B sin B 0 , 又 0 B , sin B 0cos C 12 ， 0 C , C 23 . 6 分（II）由余弦定理可得， 2 3 2 a2 22 2 2a cos 23 ， a 0, a 2. S ABC 12 ab sin C 3 , ABC 的面积为 3 12 分高二 数学试题 第 1 页 （共 5 页）19 【解析】（I）由已知可得 nan 1 1
12、 ann 12 ，7 a 1 数列 n 是以 1为首项，公差为 的等差数列 n 2 an n 1 , an n n 1 . 6 分n2 22n ann1（ II） bn n 1 n 2 . Sn 1 20 2 21 3 22 n2 n12 Sn 1 21 2 22 3 23 n 2n两式相减可得 Sn 1 n2 n 1 ， Sn n 12 n 1. 12 分20【解析】：(1)由题设，建筑物每年能源消耗费用为 C(x) k ，3x5由 C(0)8，得 k40， C(x) 3x405 .而隔热层建造费用为 C1(x)6 x， f x 20 C(x) C1(x)20 40 6 x 800 6 x(
13、0 x10)6 分3x5 3 x5(2) f x 800 6 x 3x5 1 600 6 x1010 6 x101 6002（ 6x 10） 10 70，6x10当且仅当 1 600 6 x10，即 x5 时取等号6x10当隔热层修建厚度为 5 cm 时，总费用最小，最小值为 70 万元12 分高二 数学试题 第 2 页 （共 5 页）21【解析】（I） 1 3 3 2 a1 8n 1 2当 时， n 2 an a a 28 191 103, n 1 2n 1 a a a a n 1 2n1 83 3 2n 1 83 3 2n2 1 32n1 . an 32nn1 n 2. 当 n 1 时，
14、a1 13 也成立， an 32nn1 . 6 分（II） bn log3 ann 2 n 1,1 1 1 1b b 2 n 12 n 1 2n 1 2n 1 ,nn11 1 1 b b b b b b1 2 2 3 nn11 1 11 1 1 1 2 3 35 2n 12n 1 1 1 1 22n 1 1 1 1n 1 1 .22n 1 21 1 1 1 1 b b b b b b b b 2. 12 分111 2 2 33 4n n122解: （I） GN GP GN GP, GN GP GN GP 0 即 GN 2 GP2 0,所以 GN GP , GM GN GM GP MP 4 2
15、3 MN ,所以点 G 在以 M , N 为焦点，长轴长为 4 的椭圆上设椭圆的方程为 x2 y 2 1 a b 0, a2 b2则 2 a 4,2c 2 3, 即 a 2, c 3, b2 a2 c2 1,高二 数学试题 第 3 页 （共 5 页）x2所以点 G 的轨迹 C 的方程为 y 2 1 4 分4 x my 4,（ II）解法一：依题意可设直线 l : x my 4. 由 x2 2 y 1, 4得 m2 4 y 2 8my 12 0.设直线与 l 椭圆 C 的两交点分别为 A x1 , y1 B x2 , y2 ，由 16 m2 12 0 ，得 m2 12 ， 8m 12且 y y
16、, y y . 1 2m2 41 2m2 4因为点 A 关于 x 轴的对称点为 D ，所以 D x1 y1 , 可设 Q x0 ,0 ，y2 y1y2 y1所以 kBD ，x2 x1m y2 y1 y1 y2所以 BD 的直线方程为 y y2 x my2 4.m y1 y2 令 y 0, 得 x0 2my1 y2 4 y1 y2 . y1 y212将 带入 得 x0 24m 32m 1, 8m所以点 Q 的坐标为 1,0.1 3 2 6 m2 12因为 S S S QT y y y y 4 y y , ABQ TBQ TAQ 2 1 1 2 1 22 2 m2 4令 t m2 4, 结合 得
17、t 16, 1 1 2 1所以 S ABQ 6 16 ， t32 64当且仅当 t 32 ，即 m 2 7 时， S ABQ max 34 .所以 S ABQ 面积的最大值为 34 .12 分高二 数学试题 第 4 页 （共 5 页）解法二：依题意直线 l 的斜率存在且不为 0，设其直线方程为 l : y k x 4 ， y k x 4,由 x2 2 得4 k 2 1 y 2 8ky 12 k 2 0 y 1, 4设直线与 l 椭圆 C 的两交点分别为 A x1 , y1 B x2 , y2 ，1由 8 k 2 4 4 k 2 112 k 2 0 ，得 k 2 ，128k 12k 2且 y y
18、 ,y y . 1 2 124k 2 14k 2 1因为点 A 关于 x 轴的对称点为 D ，所以 D x1 y1 , 可设 Q x0 ,0 ，13y2 y1y2 y1所以 kBD k ，x2 x1 y2 y1 y1 y2所以 BD 的直线方程为 y y2 k x x2 . y1 y2 2 y1 y2 4k y1 y2 令 y 0, 得 x0 . k y1 y2 24k 2 32k 2将 带入 得 x0 1, 8k 2所以点 Q 的坐标为 1,0.1 3 26 k 212 k 4因为 S S S QT y y y y 4 y y , ABQ TBQ TAQ 2 1 12 1 22 2 4k 2 1t 1 4令 t 4k 2 1, 则 k 2 ，结合 得 1 t ,4 3 1 7 2 1所以 S ABQ 3 4 ， t 8 16当且仅当 t 87 ，即 k 147 时， S ABQ max 34 .所以 S ABQ 面积的最大值为 34 .12 分
