1、- 1 -17-18 学年上学期高二年级数学学科期中考试试卷 理 科一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分。每题仅有一个正确答案。1在 ABC 中，若 acosB=bcosA，则该三角形一定是（ ）A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形2不等式 的解集为 ，则不等式 的解集为（ 20axb12x20xba）A. 或 B. C. D. 或12212xx3已知椭圆过点 和点 ，则此椭圆的标准方程是（ ）A. +x2=1 B. +y2=1 或 x2+ =1 C. +y2=1 D. 以上均不正确4已知 ，则 有（ ）5x45fA. 最大值
2、B. 最小值 C. 最大值 2 D. 最小值 2225三角形 中， ， ，以 为直角顶点向外作等腰直角三角形 ，ABC13BCACD当 变化时，线段 的长度最大值为（ ）A. B. C. D6161D. 236等差数列 和 的前 项和分别为 与 ，对一切自然数 ，都有 ，nabnnSTn231nST则 5bA. B. C. D. 239142031177直线 经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到直线 的距离为其短轴长的 , 则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. - 2 -8我国古代数学著作九章算术有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重
3、几何？”意思是：“现有一根金杖，长 5 尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下 1 尺，重 4 斤；在细的一端截下 1 尺，重 2 斤；问依次每一尺各重多少斤？”设该金杖由粗到细是均匀变化的，其重量为 ，现将该金杖截成长度相等的 10 段，M记第 段的重量为 ，且 ，若 ，则 （ ）i,20ia 1210aa 485iiA. 4 B. 5 C. 6 D. 79已知 ABC 内角 A， B， C 的对边分别是 a， b， c，若 cosB ， b2，sin C2sin A，则ABC 的面积为( ) A. B. C. D. 10已知数列 满足 (nN*)，且对任意 nN*都有na2n123a.=，则
4、t 的取值范围为（ ）12n+. aA. （ ，+） B. ，+） C. （ ，+） D. ，+）313232311已知实数 满足 若 的最大值为 10，则 （ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 412在 中， ,给出 满足的条件，就能得到动点ABC,02,CAxyBC的轨迹方程，下表给出了一些条件及方程：方程 21:5Cy2:40xy条件 周长为ABC10 面积为 中， 90- 3 -23:1095xyC则满足条件，的轨迹方程依次为（ ）A. B. C. D. 123,C312,C321,C132,二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分.13若方程 表示椭圆，则
5、m 的取值范围是_14已知ABC 的周长为 ，面积为 ，且 ，则角 C 的值为21sin6Cisn2iAB_15在等比数列 中， ， ，则 _.16不等式 的解集为_三、解答题：本题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17 （10 分）在 中，角 的对边分别为 ，已知 .（1）求证： ；（2）若 ， 的面积为 ，求 .18 （12 分）已知等比数列 的前 项和 ，等差数列 的前 5 项和为 30，且 .（）求数列 ， 的通项公式；（）求数列 的前 项和 .19 （12 分）某人上午 7 时乘船出发，以匀速 海里/小时 从 港前往相距 50 海v45A里的 港，然后
6、乘汽车以匀速 千米/小时( )自 港前往相距 千米的 市，301B30C计划当天下午 4 到 9 时到达 市.设乘船和汽车的所要的时间分别为 、 小时，如果所需Cxy要的经费 (单位：元)10358Pxy- 4 -(1)试用含有 、 的代数式表示 ；vP(2)要使得所需经费 最少，求 和 的值，并求出此时的费用.xy20 （12 分）设数列 的前 项和为 .已知 =4， =2 +1， .nanS21naS*N（）求通项公式 ；（）求数列| |的前 项和.2n21 （12 分）已知中心在原点 ，焦点在 轴上的椭圆 过点 ，离心率为 .OxE0,1C2（1）求椭圆 的方程；E（2）直线 过椭圆 的
7、左焦点 ，且与椭圆 交于 两点，若 的面积为 ，求直lF,ABOA3线 的方程.l22 （12 分）如图，摄影爱好者 S 在某公园 A 处，发现正前方 B 处有一立柱，测得立柱顶端O 的仰角和立柱底部 B 的俯角均为 设 S 的眼睛距地面的距离 米.63（1）求摄影者到立柱的水平距离和立柱的高度；（2）立柱的顶端有一长 2 米的彩杆 MN 绕其中点 O 在 S 与立柱所在的平面内旋转摄影者有- 5 -一视角范围为 的镜头，在彩杆转动的任意时刻，摄影者是否都可以将彩杆全部摄入画面？3说明理由- 6 -参考答案1A2A3A4D5C6B7A8C9B10D11B12B13 1,2,314 15117(
8、1)证明见解析；(2) .【解析】试题分析：（1）由正弦定理边化角统一角，得 ，再用正弦定理角化边即证。 （2）由角 B 的面积公式可得 .结合（1）中 和解 B 的余弦定理，三个方程三个未知数，可解得 b.试题解析：（1） .由正弦定理可得： ，可得： ， . .（2） ， 的面积为 ，- 7 - .由余弦定理可得： . ，可得： ，解得： .【点睛】在三角形问题中，若给出的条件式中既有边又有角，一般先依据正(余)弦定理化边为角或化角为边，再按转化后的表达式特点选择变形解答方法18 （1） ， （2）【解析】试题分析：（1）根据和项与通项关系解得 根据待定系数法解得等差数列公差与首项，代人即
9、得 的通项公式；（2）根据错位相减法求数列 的前 项和 .注意相减时项的符号变号，求和时项的个数，最后不要忘记除以试题解析：解：（）当 时， ；当 时， .综上所述， .设数列 的公差为 ，故 解得 ， ，故 .（）依题意， ， ， ，得， .点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“ ”与“ ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“ ”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于 1 和不等于 1 两种情况求解.- 8 -19(1) ；（2） .15032Pv87【解析】试题分
10、析：（1）分析题意，先用 表示 ，先用 表示 ，代入vxy，化简即可；（2）求出 满足的约束条件，由约束条件画出038xy,可行域，要求走得最经济，即求可行域中的最优解，将目标函数看成是一条直线，分析目标函数 与直线截距的关系，进而求出最优.p试题解析：(1) ，得5042xv， 2510x，得301y， 3y53015808Pxv所以 (其中 )032v421，(2) 15813xyxy其中 ，9420 31y令目标函数 , 可行域的端点分别为3kxy5131,340,6,2， ， ， ，则当 时， 1,max36所以 (元),此时min23687P501013vx，答：当 时，所需要的费用
11、最少，为 元.,xy87- 9 -【方法点晴】本题主要考查线性规划的应用及求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线） ；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解） ；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.20 （1） ；（2） .13na*,N2*,15,2nTnN【解析】试题分析：本题主要考查等差、等比数列的基础知识，同时考查数列基本思想方法，以及推理论证能力.试题解析：（）由题意得 ，则124a123.a，又当 时，由 ，2n11()()nnnnS
12、得 .13a所以，数列 的通项公式为 .n13na*,N（）设 ， ， .1|2|b*12b当 时，由于 ，故 .3n,3n设数列 的前 项和为 ，则 .nT12,当 时， ，32 29(3)(7)51nnn 所以，2*,15,2nTn.N【考点】等差、等比数列的基础知识.【方法点睛】数列求和的常用方法：（1）错位相减法：形如数列 的求和，其中nab是等差数列， 是等比数列；（2）裂项法：形如数列 或nanb 1fg- 10 -的求和，其中 ， 是关于 的一次函数；（3）分组法：数列1fngfngn的通项公式可分解为几个容易求和的部分21 （1） （2） 21xy10,xyxy【解析】试题分析
13、：（1）根据椭圆几何意义得 ，再根据离心率为 得 （2）1ba设直线 点斜式方程，与椭圆方程联立方程组，结合韦达定理以及弦长公式求底边 AB 长，再l根据点到直线距离公式得高，最后根据三角形面积公式列方程，解出直线斜率，注意验证斜率不存在时是否满足题意试题解析：解：（）设椭圆 的方程为： ， E21xyab(0)ab由已知： 得： ， ，221bca22所以，椭圆 的方程为： . E21xy（）由已知直线 过左焦点 l,0F当直线 与 轴垂直时， ， ，此时 ，lx21,A21,B2AB则 ，不满足条件 12OABS当直线 与 轴不垂直时，设直线 的方程为： lxl1ykx由 得 21 yk2
14、240kx所以 ， ， 2124xk21k- 11 -而 ，12122OABSFyy由已知 得 ，343，所以 ，则 ，所以 ， 2241691kk420k1k所以直线 的方程为： 或 l 0xy1xy22 （1）2 米；（2）摄影者可以将彩杆全部摄入画面3【解析】 （1）作 SC 垂直 OB 于 C，则CSB30，ASB60又 SA ，故在 RtSAB 中，可求得 BA3，即摄影者到立柱的水平距离为 3 米由 SC3，CSO30，在 RtSCO 中，可求得 OC 3因为 BCSA ，故 OB2 ，即立柱高为 2 米 6 分3（2）连结 SM，SN，设 bSMaN,在SON 和SOM 中，得 a2b 2262222(3)1(3)1bcosMSN22213aab又MSN（0，） ， 则MSN 故摄影者可以将彩杆全部摄入画面 15 分【命题意图】本题考查俯角、仰角、视角等基本概念，余弦定理、解三角形等基础知识，意在考查学生解决实际问题能力及基本的运算能力
