1、1专题四 方案设计型问题类型一 通过计算比较进行方案设计(2017山东烟台中考)今年，我市某中学响应习总书记“足球进校园”的号召，开设了“足球大课间”活动，现需要购进 100 个某品牌的足球供学生使用经调查，该品牌足球 2015 年单价为 200 元，2017 年单价为 162 元(1)求 2015 年到 2017 年该品牌足球单价平均每年降低的百分率；(2)选购期间发现该品牌足球在两个文体用品商场有不同的促销方案：试问去哪个商场购买足球更优惠？【分析】(1)设 2015 年到 2017 年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为 x，根据 2015 年及 2017 年该品牌足球的单价，即可得出关
2、于 x 的一元二次方程，解之取其小于 1 的值即可得出结论；(2)根据两商城的促销方案，分别求出在两商城购买 100 个该品牌足球的总费用，比较后即可得出结论【自主解答】1(2018四川绵阳中考)有大小两种货车，3 辆大货车与 4 辆小货车一次可以运货 18 吨，2 辆大货车与6 辆小货车一次可以运货 17 吨(1)请问 1 辆大货车和 1 辆小货车一次可以分别运货多少吨？2(2)目前有 33 吨货物需要运输，货运公司拟安排大小货车共计 10 辆，全部货物一次运完其中每辆大货车一次运货花费 130 元，每辆小货车一次运货花费 100 元，请问货运公司应如何安排车辆最节省费用？类型二 利用方程进
3、行方案设计(2018黑龙江齐齐哈尔中考)某抗战纪念馆馆长找到大学生团干部小张，联系青年志愿者在周日参与活动，活动累计 56 个小时的工作时间，需要每名男生工作 5 个小时，每名女生工作 4 个小时，小张可以安排学生参加活动的方案共有( )A1 种 B2 种 C3 种 D4 种【分析】设安排女生 x 人，安排男生 y 人，由“累计 56 个小时的工作时间”列出方程求得正整数解【自主解答】32(2018黑龙江龙东地区中考)为奖励消防演练活动中表现优异的同学，某校决定用 1 200 元购买篮球和排球，其中篮球每个 120 元，排球每个 90 元，在购买资金恰好用尽的情况下，购买方案有( )A4 种
4、B3 种 C2 种 D1 种类型三 利用不等式进行方案设计(2018湖南娄底中考)“绿水青山，就是金山银山”某旅游景区为了保护环境，需购买 A，B 两种型号的垃圾处理设备共 10 台已知每台 A 型设备日处理能力为 12 吨；每台 B 型设备日处理能力为 15吨；购回的设备日处理能力不低于 140 吨(1)请你为该景区设计购买 A，B 两种设备的方案；(2)已知每台 A 型设备价格为 3 万元，每台 B 型设备价格为 4.4 万元厂家为了促销产品，规定货款不低于 40 万元时，则按 9 折优惠；问：采用(1)设计的哪种方案，使购买费用最少，为什么？【分析】(1)设购买 A 种设备 x 台，则购
5、买 B 种设备(10x)台，根据购回的设备日处理能力不低于 140吨列出不等式，求出解集，再根据 x 为正整数求解即可；(2)分别求出各方案实际购买费用，比较即可求解【自主解答】此类题型利用方程、不等式的相关知识，建立相应的数学模型，找到方程(组)的解和不等式(组)的解集，确定未知数的具体数值未知数有几个值，即有几种方案有时结合函数应用，进行方案最优化设计43(2018山东济宁中考)“绿水青山就是金山银山”，为保护生态环境，A，B 两村准备各自清理所属区域养鱼网箱和捕鱼网箱，每村参加清理人数及总开支如下表：村庄 清理养鱼网箱人数/人 清理捕鱼网箱人数/人 总支出/元A 15 9 57 000B
6、 10 16 68 000(1)若两村清理同类渔具的人均支出费用一样，求清理养鱼网箱和捕鱼网箱的人均支出费用各是多少元；(2)在人均支出费用不变的情况下，为节约开支，两村准备抽调 40 人共同清理养鱼网箱和捕鱼网箱，要使总支出不超过 102 000 元，且清理养鱼网箱人数小于清理捕鱼网箱人数，则有哪几种分配清理人员方案？类型四 利用函数进行方案设计(2018天津中考)某游泳馆每年夏季推出两种游泳付费方式，方式一：先购买会员证，每张会员证 100 元，只限本人当年使用，凭证游泳每次再付费 5 元；方式二：不购买会员证，每次游泳付费 9元设小明计划今年夏季游泳次数为 x(x 为正整数)(1)根据题
7、意，填写下表：游泳次数 10 15 20 x方式一的总费用(元) 150 175 _ _方式二的总费用(元) 90 135 _ _(2)若小明计划今年夏季游泳的总费用为 270 元，选择哪种付费方式，他游泳的次数比较多？(3)当 x20 时，小明选择哪种付费方式更合算？并说明理由【分析】(1)根据题意可以将表格中空缺的部分补充完整；(2)根据题意可以求得当费用为 270 元时，两种方式下的游泳次数；5(3)根据题意可以计算出 x 在什么范围内，哪种付费更合算【自主解答】函数方案设计是指由题目提供的背景材料或图表信息，先确定函数表达式，再利用函数图象的性质获得解决问题的具体方法解决此类问题的难点
8、主要是正确确定函数表达式，关键还要熟悉函数的性质及如何通过不等式确定函数自变量的取值范围4(2017天津中考)用 A4 纸复印文件，在甲复印店不管一次复印多少页，每页收费 0.1 元在乙复印店复印同样的文件，一次复印页数不超过 20 时，每页收费 0.12 元；一次复印页数超过 20 时，超过部分每页收费 0.09 元设在同一家复印店一次复印文件的页数为 x(x 为非负整数)(1)根据题意，填写下表：一次复印页数(页) 5 10 20 30 甲复印店收费(元) 0.5 _ 2 _ 乙复印店收费(元) 0.6 _ 2.4 _ (2)设在甲复印店复印收费 y1元，在乙复印店复印收费 y2元，分别写
9、出 y1，y 2关于 x 的函数关系式；(3)当 x70 时，顾客在哪家复印店复印花费少？请说明理由6类型五 有关图形的方案设计型问题在数学活动课上，王老师发给每位同学一张半径为 6 个单位长度的圆形纸板，要求同学们：(1)从带刻度的三角板、量角器和圆规三种作图工具中任意选取作图工具，把圆形纸板分成面积相等的四部分；(2)设计的整个图案是某种对称图形王老师给出了方案一，请你用所学的知识再设计两种方案，并完成下面的设计报告名称 四等分圆的面积方案 方案一 方案二 方案三选用的工具带刻度的三角板画出示意图简述设 作O 两条互相垂直的直径 AB，CD，将O7计方案 的面积分成相等的四份指出对称性既是
10、轴对称图形，又是中心对称图形【分析】根据圆的面积公式以及轴对称图形和中心对称图形的定义分别分析得出即可【自主解答】图形方案设计题，它摆脱了传统的简单作图，把对作图的技能的考查放在一个实际生活的大背景下，从而考查了学生的综合创新能力，给同学们的创造性思维提供了广阔的空间与平台此类题常利用某些规则的图形，如等腰三角形、菱形、矩形、圆等，利用图形的性质，或利用轴对称和中心对称等，拼出符合某些条件的图形5(2018山东德州中考)再读教材：宽与长的比是 (约为 0.618)的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国5 12许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计下
11、面，我们用宽为 2 的矩形纸片折叠黄金矩形(提示：MN2)第一步，在矩形纸片一端，利用图 1 的方法折出一个正方形，然后把纸片展平；第二步，如图 2，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平；第三步，折出内侧矩形的对角线 AB，并把 AB 折到图 3 中所示的 AD 处；8第四步，展平纸片，按照所得的点 D 折出 DE，使 DEND，则图 4 中就会出现黄金矩形问题解决：(1)图 3 中 AB (保留根号)；(2)如图 3，判断四边形 BADQ 的形状，并说明理由； (3)请写出图 4 中所有的黄金矩形，并选择其中一个说明理由实际操作：(4)结合图 4，请在矩形 BCDE 中添加一条线段，
12、设计一个新的黄金矩形，用字母表示出来，并写出它的长和宽参考答案类型一【例 1】 (1)设 2015 年到 2017 年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为 x，根据题意得 200(1x)2162，解得 x0.110%或 x1.9(舍去)答：2015 年到 2017 年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为 10%.(2)100 91(个)，1011 1 00011在 A 商城需要的费用为 1629114 742(元)，在 B 商城需要的费用为 162100 14 580(元)910914 74214 580.答：去 B 商场购买足球更优惠变式训练1解：(1)设 1 辆大货车和 1 辆小货车一次可
13、以分别运货 x 吨和 y 吨根据题意可得 3x 4y 18，2x 6y 17， )解得 x 4，y 1.5.)答：1 辆大货车和 1 辆小货车一次可以分别运货 4 吨和 1.5 吨(2)设货运公司拟安排大货车 m 辆，则安排小货车(10m)辆根据题意可得 4m1.5(10m)33，解得 m7.2，令 m8，大货车运费高于小货车，故用大货车少费用就小则安排方案为大货车 8 辆，小货车 1 辆类型二【例 2】 设安排女生 x 人，安排男生 y 人依题意得 4x5y56，则 x .56 5y4当 y4 时，x9.当 y8 时，x4.当 y0 时，x14.即安排女生 9 人，安排男生 4 人；安排女生
14、 4 人，安排男生 8 人；安排女生 14 人，安排男生 0 人共有 3 种方案故选 C.变式训练2B 类型三【例 3】 (1)设购买 A 种设备 x 台，则购买 B 种设备(10x)台根据题意得 12x15(10x)140，解得 x3 .13x 为非负整数，x0，1，2，3，该景区有四种设计方案：方案一：购买 A 种设备 0 台，B 种设备 10 台；方案二：购买 A 种设备 1 台，B 种设备 9 台；方案三：购买 A 种设备 2 台，B 种设备 8 台；10方案四：购买 A 种设备 3 台，B 种设备 7 台(2)各方案购买费用分别为：方案一：304.4104440，实际付款：440.9
15、39.6(万元)；方案二：314.4942.640，实际付款：42.60.938.34(万元)；方案三：324.4841.240，实际付款：41.20.937.08(万元)；方案四：334.4739.840，实际付款：39.8 万元37.0838.3439.639.8，采用(1)设计的第三种方案，使购买费用最少变式训练3解：(1)设清理养鱼网箱的人均费用为 x 元，清理捕鱼网箱的人均费用为 y 元根据题意得 15x 9y 57 000，10x 16y 68 000， )解得 x 2 000，y 3 000.)答：清理养鱼网箱的人均费用为 2 000 元，清理捕鱼网箱的人均费用为 3 000 元
16、(2)设分配 m 人清理养鱼网箱，则分配(40m)人清理捕鱼网箱根据题意得2 000m 3 000（ 40 m） 102 000，m 40 m， )解得 18m20.m 为整数，m18 或 m19，则分配清理人员方案有两种：方案一：18 人清理养鱼网箱，22 人清理捕鱼网箱；方案二：19 人清理养鱼网箱，21 人清理捕鱼网箱类型四【例 4】 (1)当 x20 时，方式一的总费用为 100205200，方式二的费用为 209180.当游泳次数为 x 时，方式一费用为 1005x，方式二的费用为 9x.故答案为 200，1005x，180，9x.(2)方式一，令 1005x270，解得 x34.方
17、式二，令 9x270，解得 x30.3430，选择方式一付费方式，他游泳的次数比较多(3)令 1005x9x 得 x25，令 1005x9x 得 x25，令 1005x9x 得 x25，当 20x25 时，小明选择方式二的付费方式，当 x25 时，小明选择两种付费方式一样，11但 x25 时，小明选择方式一的付费方式变式训练4解：(1)当 x10 时，甲复印店收费为 0.1101；乙复印店收费为 0.12101.2；当 x30 时，甲复印店收费为 0.1303，乙复印店收费为 0.12200.09103.3.故答案为 1，3；1.2，3.3.(2)y10.1x(x0)；y2 0.12x（ 0
18、x 20） ，0.09x 0.6（ x 20） .)(3)顾客在乙复印店复印花费少当 x70 时，y 10.1x，y 20.09x0.6，设 yy 1y 2，y 1y 20.1x(0.09x0.6)0.01x0.6.记 y0.01x0.6，由 0.010，则 y 随 x 的增大而增大，当 x70 时，y0.1，x70 时，y0.1，y 1y 2，当 x70 时，顾客在乙复印店复印花费少类型五【例 5】 名称 四等分圆的面积方案 方案一 方案二 方案三选用的工具带刻度的三角板带刻度的三角尺、量角器、圆规带刻度的三角尺、圆规画出示意图简述设计方案作O 两条互相垂直的直径AB，CD，将O 的面积分成
19、相等的四份以点 O 为圆心，以 3个单位长度为半径作圆在大O 上依次取三等分点A，B，C.连结OA，OB，OC.则小圆 O作O 的一条直径 AB.分别以 OA，OB 的中点为圆心，以 3 个单位长度为半径作O 1，O 2.则O 1，O 2和O 中剩余的两部分把O 的面积四等分12与三等份圆环把O 的面积四等分指出对称性既是轴对称图形又是中心对称图形轴对称图形既是轴对称图形又是中心对称图形变式训练5解：(1) 5(2)四边形 BADQ 是菱形理由如下：四边形 ACBF 是矩形，BQAD，BQAQAD.由折叠得BAQQAD，ABAD，BQABAQ，BQAB，BQAD.BQAD，四边形 BADQ 是平行四边形ABAD，四边形 BADQ 是菱形(3)图 4 中的黄金矩形有矩形 BCDE，矩形 MNDE.以黄金矩形 BCDE 为例理由如下：AD ，ANAC1，5CDADAC 1.5又BC2， ，CDBC 5 12故矩形 BCDE 是黄金矩形(4)如图，在矩形 BCDE 上添加线段 GH，使四边形 GCDH 为正方形，此时四边形 BGHE 为所要作的黄金矩形长 GH 1，宽 HE3 .5 5
