1、1课时训练(十四) 二次函数的图象与性质(二) |夯实基础|1.抛物线 y=2x2-2 x+1与坐标轴的交点个数是 ( )2A.0 B.1 C.2 D.32.若二次函数 y=x2+mx的对称轴是直线 x=3,则关于 x的方程 x2+mx=7的解为 ( )A.x1=0,x2=6 B.x1=1,x2=7C.x1=1,x2=-7 D.x1=-1,x2=73.2018宁波 如图 K14-1,二次函数 y=ax2+bx的图象开口向下,且经过第三象限的点 P,若点 P的横坐标为 -1,则一次函数 y=(a-b)x+b的图象大致是 ( )图 K14-1图 K14-24.如图 K14-3,已知二次函数 y1=
2、 x2- x的图象与正比例函数 y2= x的图象交于点 A(3,2),与 x轴交于点 B(2,0),23 43 232若 035.2017成都 在平面直角坐标系 xOy中,二次函数 y=ax2+bx+c的图象如图 K14-4所示,下列说法正确的是( )图 K14-4A.abc0B.abc0,b2-4ac0C.abc0,b2-4ac3,且 n是整数,当 n x n+1时, y的整数值有(2 n-4)个;若函数图象过点(a,y0)和( b,y0+1),其中 a0,b0,则 a4.10.2018新疆 如图 K14-7,已知抛物线 y1=-x2+4x和直线 y2=2x.我们规定:当 x取任意一个值时,
3、 x对应的函数值分别为 y1和 y2.若 y1 y2,取 y1和 y2中较小值记为 M;若 y1=y2,记 M=y1=y2.当 x2时, M=y2;当 x0.解:令 x2-5x=0,解得 x1=0,x2=5,则抛物线 y=x2-5x与 x轴的交点坐标为(0,0)和(5,0) .画出二次函数 y=x2-5x的大致图象(如图 K14-8所示),由图象可知,当 x5时函数图象位于 x轴上方,此时 y0,即 x2-5x0,所以一元二次不等式 x2-5x0的解为 x5.通过对上述解题过程的学习,按其解题的思路和方法解答下列问题:(1)上述解题过程中,渗透了下列数学思想中的 和 ;(只填序号) 转化思想;
4、分类讨论思想;数形结合思想 .(2)一元二次不等式 x2-5x0.图 K14-814.2018菏泽 如图 K14-9,在平面直角坐标系中,抛物线 y=ax2+bx-5交 y轴于点 A,交 x轴于点 B(-5,0)和点C(1,0),过点 A作 AD x轴交抛物线于点 D.6(1)求此抛物线的表达式;(2)点 E是抛物线上一点,且点 E关于 x轴的对称点在直线 AD上,求 EAD的面积;(3)若点 P是直线 AB下方的抛物线上一动点,当点 P运动到某一位置时, ABP的面积最大,求出此时点 P的坐标和 ABP的最大面积 .图 K14-9|拓展提升|15.2018杭州 四位同学在研究函数 y=x2+
5、bx+c(b,c为常数)时,甲发现当 x=1时,函数有最小值;乙发现 -1是方程 x2+bx+c=0的一个根;丙发现函数的最小值为 3;丁发现当 x=2时, y=4,已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的,则该同学是 ( )A.甲 B.乙C.丙 D.丁16.如图 K14-10所示,将二次函数 y=x2-m(其中 m0)的图象在 x轴下方的部分沿 x轴翻折,图象的其余部分保持不变,形成新的图象记为 y1,另有一次函数 y=x+b的图象记为 y2,则以下说法:7图 K14-10(1)当 m=1,且 y1与 y2恰好有三个交点时, b有唯一值为 1;(2)当 b=2,且 y1与 y2恰有两个交点
6、时, m4或 00;与 y轴交点在 y轴的负半轴上,则 c0,所以 b0;图象与 x轴有两个交点,则 b2-4ac0.故选 B.26.C 解析 因为 y=x2-6x+10=(x-3)2+1,所以当 x=3时, y有最小值 1,故错误; n为任意实数,当 x=3+n时, y=(3+n-3)2+1=n2+1,当 x=3-n时, y=(3-n-3)2+1=n2+1,所以两函数值相等,故错误;若 n3,且 n是整数,当 n x n+1时,令 x=n,则 y1=(n-3)2+1=n2-6n+10;令 x=n+1,则 y2=(n+1-3)2+1=n2-4n+5.由于 y2-y1=2n-5,所以 y的整数值
7、的个数是 2n-5+1=2n-4(个),故正确;由二次函数的图象知错误 .故选 C.7.B 解析 抛物线 y= (x+2)(x-8)与 x轴交于 A,B两点,可知 A(-2,0),B(8,0),14所以 D(3,0),所以抛物线的对称轴是直线 x=3,即正确;由于 D的半径为 5,所以它的面积为 25,所以不正确;过 C作 CE AB,交抛物线于点 E,则 E(6,-4),此时 CE=65=AD,因此在抛物线上不可能存在点 E,使四边形 ACED为平行四边形,故错误;10在 y= (x+2)(x-8)中,14当 x=0时, y=-4,所以 C点的坐标为(0, -4),因此 DC= =5,42+
8、32即 C在 D上,易得 M 3,- ,254所以 DM= ,CM= = ,254 32+(254-4) 2154所以 DC2+CM2= =DM2,62516所以 DC CM,所以直线 CM与 D相切,故正确 .综上,有 2个正确,故选 B.8.x1=-2,x2=19.2 解析 画出函数的图象,要使 y=a成立的 x的值恰好只有 3个,即函数图象与 y=a这条直线有 3个交点,则 a=2.10. 解析 根据规定并结合图形易知, x2时, M=y1,故错误;易知当 x0,所以该一元二次方程有两个不相等的实数根,即直线 l与抛物线总有两个交点 .(2)如图,连结 AO,BO,联立两个函数表达式,得
9、 x2-4x=-2x+1,解得 x1=1- ,x2=1+ .设直线 l与 y轴交于点 C,在一次函2 2数 y=-2x+1中,令 x=0,得 y=1,所以 C(0,1),OC=1.所以 S ABO=S AOC+S BOC= OC|xA|+ OC|xB|= OC|xA-xB|= 12 = .12 12 12 12 2 213.解:(1) (2)由图象可知当 03时函数图象位于 x轴上方,此时 y0,即 x2-2x-30,一元二次不等式 x2-2x-30的解为 x3.14.解析 (1)代入 B(-5,0)和 C(1,0),得出关于 a,b的方程组,解方程组即可得出抛物线的解析式;(2)由轴对称的性
10、质得出点 E到 AD的距离,把 y=-5代入抛物线的表达式,得出 AD的长,利用三角形面积公式求出 EAD的面积;(3)作PQ y轴,交直线 AB于点 Q,先求出直线 AB的表达式,设点 P的横坐标为 m,则 P(m,m2+4m-5),Q(m,-m-5),然后表示出 PQ的长;再设 ABP的面积为 S,求出 S关于 m的二次函数,利用配方法求出 S的最大值及点 P的坐标 .解: (1)把 B(-5,0)和 C(1,0)代入 y=ax2+bx-5,得解得0=25-5-5,0=+-5, =1,=4.抛物线的表达式为 y=x2+4x-5.(2) A(0,-5),AD x轴,点 E关于 x轴的对称点在
11、直线 AD上,点 E的纵坐标为 5,点 E到直线 AD的距离为 10.把 y=-5代入 y=x2+4x-5,得-5=x2+4x-5,解得 x1=-4,x2=0, D(-4,-5),AD=4. S EAD= 410=20.12(3)设直线 AB的表达式为 y=kx+n,13把 B(-5,0)和 A(0,-5)代入,得解得-5+=0,=-5, =-1,=-5.直线 AB的表达式为 y=-x-5.设点 P的坐标为( m,m2+4m-5),作 PQ y轴,交直线 AB于点 Q, Q(m,-m-5).点 P是直线 AB下方的抛物线上一动点, PQ=-m-5-(m2+4m-5)=-m2-5m.设 ABP的
12、面积为 S,则 S=S APQ+S BPQ= (-m2-5m)(-m)+ (-m2-5m)(m+5)=- m+ 2+ ,12 12 52 52 1258当 m=- 时, S最大,52即当点 P为 - ,- 时, ABP的面积最大,最大面积为 .52 354 125815.B 解析 甲: - =1,b=-2;乙 1-b+c=0;2丙: =3,4c-b2=12;丁:4 +2b+c=4.4-2414若甲错: 由乙,丁得 代入丙,不成立,不合题意;1-+=0,4-2=12,4+2+=4, =13,=-23,若乙错: 由甲,丁得 代入丙,成立,符合题意;=-2,4-2=12,4+2+=4, =-2,=4
13、, 若丙错: 由甲,丁得 代入乙,不成立,不符合题意;=-2,1-+=0,4+2+=4, =-2,=4, 若丁错: 由甲,乙得 代入丙,不成立,不合题意 .=-2,1-+=0,4-2=12, =-2,=-3,16.(2)(3)解析 根据题意,y1=2-(- 或 ),-2+(- 4,故(2)正确 .(3)中,74 74 由 得两个交点(0, m),(-1,m-1),故(3)正确 .(4)中,直线 y=x-m恒过点(0, -m),将 x= 代入 y=x-m,得 y=-2+,=+ -m,显然不一定大于或等于 0,即 y1与 y2不一定有交点 ,故不正确 .17.解析 (1)根据函数图象的平移与解析式
14、变化的规律,得到函数 y=ax2+bx+c图象的顶点 B的坐标,根据函数图象的开口确定 a值,即可求出函数解析式;(2)列出从 A,C,D中选出两点和 B点构成三角形的情况以及其中是等腰三角形的情况,进而可得所求的概率;(3)分点 N在 BC,AC,AB上三种情况进行讨论,利用面积或相似三角形的知识求出 AN,MN的长,进而求出 tan MAN的值 .解:(1) y=x2+2x+1,顶点 A(-1,0).将原函数图象沿 x轴翻折然后向右平移 1个单位,再向上平移 4个单位,可得函数 y=ax2+bx+c的图象的顶点 B(0,4),15a=-1.即所求的函数解析式为 y=-x2+4.(2)函数
15、y=-x2+4的图象与 x轴的交点为点 C,D,当 y=0时, -x2+4=0,解得 x=2.点 D位于点 C的左侧, C(2,0),D(-2,0).由(1)可知 B(0,4).由题意可得,从 A,C,D中选出两点和点 B构成三角形的所有情况有: ACB, ADB, BCD,共 3种结果,其中符合等腰三角形的是 BCD,构造的三角形是等腰三角形的概率 P= .13(3)由(1)(2)可知 A(-1,0),B(0,4),C(2,0), S ABC= ACOB=6,12 S AMN= S ABC=2,即 MNAN=4.13当点 N在 BC上时,如图, AN BC, BCAN= ACOB=6.12
16、12 BOC=90, OB2+OC2=BC2,又 OB=4,OC=2, BC= =2 . AN= .22+42 565516 MNAN=4, MN= .253tan MAN= = .59当点 N在 AC上时,如图, MN x轴, MN y轴 . MNC BOC. = .设 AN=x,则 NC=3-x,MN= ,4又 OB=4,OC=2, = ,解得 x1=1,x2=2.443-2因此,当 x=1时, AN=1,MN=4,tan MAN=4.当 x=2时, AN=2,MN=2,tan MAN=1.当点 N在 AB上时,如图,17过点 C作 CH AB于点 H, MN AB, MN CH. BMN BCH, = .在 Rt AOB中, AOB=90, OA2+OB2=AB2,又 OA=1,OB=4, AB= = ,12+42 17 S ABC= ABCH=6, CH= .12 121717设 AN=x,则 BN= -x,MN= ,174在 Rt BCH中, BHC=90, BH2+CH2=BC2. BH= = .(25)2-(121717) 2141717 = ,4121717 17-141717整理得 3x2-3 x+14=0.17 =(-3 )2-43140,17不符合题意 .18综上,tan MAN= 或 tan MAN=4或 tan MAN=1.59
