1、1107 分项练 3 数学文化1 孙子算经是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗问：五人各得几何？”其意思为：有 5 个人分 60 个橘子，他们分得的橘子数成公差为 3 的等差数列，问 5 人各得多少个橘子这个问题中，得到橘子最多的人所得的橘子个数是( )A15 B16 C18 D21答案 C解析 设第一个人分到的橘子个数为 a1，由题意得 S55 a1 360，解得 a16，542则 a5 a1(51)361218，故选 C.2程大位算法统宗里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠次第每人多十七，要将第八数来言务要分明依次弟，孝和休惹外人传 ”意为：
2、996 斤棉花，分别赠送给 8个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多 17 斤，直到第八个孩子为止分配时一定要等级分明，使孝顺子女的美德外传，则第八个孩子分得斤数为( )A65 B176 C183 D184答案 D解析 根据题意可得每个孩子所得棉花的斤数构成一个等差数列 an，其中d17， n8， S8996.由等差数列前 n 项和公式可得，8 a1 17996，解得872a165.由等差数列通项公式得 a865(81)17184.故选 D.3在周易中，长横“ ”表示阳爻，两个短横“ ”表示阴爻有放回地取阳爻和阴爻三次合成一卦，共有 238 种组合方法，这便是系辞传所说“太极生两仪，两仪生
3、四象，四象生八卦” 有放回地取阳爻和阴爻一次有 2 种不同的情况，有放回地取阳爻和2阴爻两次有四种情况，有放回地取阳爻和阴爻三次有八种情况所谓的“算卦” ，就是两个八卦的叠合，即共有放回地取阳爻和阴爻六次，得到六爻，然后对应不同的解析在一次所谓“算卦”中得到六爻，这六爻恰好有三个阳爻三个阴爻的概率是( )A. B. C. D.17 516 916 58答案 B解析 在一次所谓“算卦”中得到六爻，基本事件的总数为 n2 664，这六爻恰好有三个阳爻包含的基本数为 mC 20，所以这六爻恰好有三个阳爻三个阴爻的概率是 P 36mn 2064，故选 B.5164 “珠算之父”程大位是我国明代伟大数学
4、家，他的应用数学巨著算法统宗的问世，标志着我国的算法由筹算到珠算转变的完成程大位在算法统宗中常以诗歌的形式呈现数学问题，其中有一首“竹筒容米”问题：“家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节三升九，上梢四节贮三升，唯有中间两节竹，要将米数次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明 ”(注释三升九：3.9 升次第盛：盛米容积依次相差同一数量)用你所学的数学知识求得中间两节的容积为( )A1.9 升 B2.1 升 C2.2 升 D2.3 升答案 B解析 要按盛米容积依次相差同一数量的方式盛米，设相差的同一数量为 d 升，下端第一节盛米 a1升，由题意得Error!解得 a11.4， d0.1，所以中间
5、两节盛米的容积为 a4 a5( a13 d)( a14 d)2 a17 d2.80.72.1(升)，故选 B.5(2018浙江省衢州二中模拟)祖暅原理：“幂势既同，则积不容异” 它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是如果两个同高的几何体在等高处截得两几何体的截面面积恒相等，那么这两个几何体的体积相等设 A， B 为两个同高的几何体， p： A， B 的体积不相等， q： A， B 在等高处的截面面积不恒相等，则根据祖暅原理可知， p 是 q 的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案 A解析 “若 A， B 的体积不相等，则 A， B 在等高处的截面
6、面积不恒相等”的逆否命题为“若 A， B 在等高处的截面面积恒相等，则 A， B 的体积相等” ，由祖暅定理，易得逆否命题为真命题，则原命题也为真命题，充分性成立；相同的两个圆锥分别正放和倒放，则它们在3等高处的截面面积不恒相等，但它们的体积相等，必要性不成立综上所述， “A， B 的体积不相等”是“ A， B 在等高处的截面面积不恒相等”的充分不必要条件，故选 A.6 九章算术是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等问各得几何 ”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分 5 钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列
7、问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种重量单位)这个问题中，甲所得为( )A. 钱 B. 钱 C. 钱 D. 钱54 43 32 53答案 B解析 依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为 a2 d， a d， a， a d， a2 d，则由题意可知， a2 d a d a a d a2 d，即 a6 d，又 a2 d a d a a d a2 d5 a5， a1，则 a2 d a2 a .(a6) 43 437我国古代数学典籍九章算术 “盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”上述问题中，两鼠在第几天相逢( )A3 B4 C
8、5 D6答案 B解析 由题意可知，大老鼠每天打洞的距离是以 1 为首项，以 2 为公比的等比数列，前 n 天打洞的距离之和为 2 n1；2n 12 1同理，小老鼠每天打洞的距离之和为 2 ，1 (12)n1 12 12n 12 n12 10，解得 n(3,4)，取 n4.12n 1即两鼠在第 4 天相逢8我国古代数学名著数书九章中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸若盆中积水深九寸，则平地降雨量是( )(注：平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；一尺等于十寸)A1 寸 B2 寸 C3 寸 D4 寸答案 C4解析 如
9、图，由题意可知，天池盆上底面半径为 14 寸，下底面半径为 6 寸，高为 18 寸积水深 9 寸，水面半径为 (146)10(寸)，12则盆中水的体积为 9(6 210 2610)588(立方寸)13平地降雨量等于 3(寸)故选 C.588 1429刘徽在他的九章算术注中提出一个独特的方法来计算球体的体积：他不直接给出球体的体积，而是先计算另一个叫“牟合方盖”的立体的体积刘徽通过计算， “牟合方盖”的体积与球的体积之比应为 .后人导出了“牟合方盖”的 体积计算公式，即 V 牟 r3 V4 18 18方盖差 ， r 为球的半径，也即正方体的棱长均为 2r，从而计算出 V 球 r3.记所有棱长都为
10、43r 的正四棱锥的体积为 V 正 ，棱长为 2r 的正方体的方盖差为 V 方盖差 ，则 等于( )V方 盖 差V正A. B. C. D.12 22 2 3答案 C解析 由题意，V 方盖差 r3 V 牟 r3 r3 r3，18 18 4 43 13所有棱长都为 r 的正四棱锥的体积为V 正 rr r3，13 r2 (2r2)2 26 .V方 盖 差V正13r32r36 210 九章算术卷 5商功记载一个问题“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺问5积几何？答曰：二千一百一十二尺术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一” 这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一 ”就是说：圆
11、堡瑽(圆柱体)的体积为： V (底面的圆周长的平方高)则由此可推得圆周率 的取值为( )112A3 B3.14C3.2 D3.3答案 A解析 由题意，圆柱体底面的圆周长 48 尺，高 11 尺，圆堡瑽(圆柱体)的体积 V (底面的圆周长的平方高)，112 V (48211)2 112，Error!1123， R8.11中国传统文化中很多内容体现了数字的对称美，如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分展现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美给出定义：能够将圆O 的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数” 给出下列命题：对于任意一个圆 O，其“优美函数”有无数个；正弦函数 y
12、sin x 可以同时是无数个圆的“优美函数” ；函数 f(x)ln( x2 )可以是某个圆的“优美函数” ；x2 1函数 y f(x)是“优美函数”的充要条件为函数 y f(x)的图象是中心对称图形其中正确的命题是_(写出所有正确命题的序号)答案 解析 过圆心的直线都可以将圆的周长和面积同时平分，故对于任意一个圆 O，其“优美函数”有无数个，故正确；将圆的圆心放在正弦函数 ysin x 的对称中心上，则正弦函数ysin x 是该圆的“优美函数” ，故有无数个圆成立，故正确；函数 f(x)ln( x2)的大致图象如下，x2 1故其不可能为圆的“优美函数” ，错误；函数 y f(x)的图象是中心对
13、称图形，则 y f(x)6是“优美函数” ，但函数 y f(x)是“优美函数”时，图象不一定是中心对称图形，如图所示故答案为.12 在 我 国 南 宋 数 学 家 杨 辉 所 著 的 详 解 九 章 算 法 (1261 年 )一 书 中 ， 用 如 图 A 所 示 的 三 角 形 ，解 释 二 项 和 的 乘 方 规 律 在 欧 洲 直 到 1623 年 以 后 ， 法 国 数 学 家 布 莱 士 帕 斯 卡 的 著 作 (1655 年)介绍了这个三角形近年来国外也逐渐承认这项成果属于中国，所以有些书上称这是“中国三角形”(Chinese triangle)，如图 A.17 世纪德国数学家莱布
14、尼茨发现了“莱布尼茨三角形”如图 B.在杨辉三角中相邻两行满足关系式：C C C ，其中 n 是行数， rN.请类rn r 1n r 1n比上式，在莱布尼茨三角形中相邻两行满足的关系式是_答案 1C1n 1Crn 1C1n 2Crn 1 1C1n 2Cr 1n13(2018浙江教育绿色评价联盟适应性考试)九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马” 现有一“阳马” P ABCD，已知其体积为8， AB2， BC3，则该“阳马”的最长侧棱长等于_，表面积等于_答案 21329 5解析 由题意知，该“阳马”直观图如图所示7由体积 V ABBCPA8，13可知高 PA4，该四
15、棱锥的最长侧棱长 PC ，AC2 PA2 29表面积为 23 (24342532 )213 .12 5 514 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为 8 尺，米堆的高为 5 尺，米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺，圆周率约为 3，估算出堆放的米有_斛答案 22解析 设圆锥的底面半径为 r，则 r8，解得 r ， 2 16故米堆的体积为 25 (立方尺)，14 13 (16 ) 32091 斛米的
16、体积约为 1.62 立方尺， 1.6222.320915数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗：“儿忆父兮妻忆夫” ，既可以顺读也可以逆读数学中有回文数，如 343、12 521 等，两位数的回文数有 11,22,33，99 共9 个，则三位数的回文数中，偶数的概率是_答案 49解析 三位数的回文数为 ABA，A 共有 1 到 9 共 9 种可能，即 1B1,2B2,3B3，B 共有 0 到 9 共 10 种可能，即 A0A， A1A， A2A， A3A，共有 91090(个)；8其中偶数为 A 是偶数，共 4 种可能，即 2B2,4B4,6B6,8B8，B 共有 0 到 9 共 10 种
17、可能，即 A0A， A1A， A2A， A3A，其有 41040(个)，所以三位数的回文数中，偶数的概率 P .4090 4916传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面用点或小石子表示数他们研究过如图所示的三角形数，将三角形数 1,3,6,10，记为数列 an，将可被 5 整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列 bn可以推测：(1)b2 019是数列 an中的第_项；(2)b2k1 _.(用 k 表示)答案 (1)5 049 (2)5k5k 12解析 由题意可得 an123 n ， nN *，nn 12故 b1 a4， b2 a5， b3 a9， b4 a10， b5 a14，
18、b6 a15，由上述规律可知， b2k a5k (kN *)，5k5k 12b2k1 a5k1 ，5k 15k 1 12 5k5k 12故 b2 019 b21 0101 a51 0101 a5 049，即 b2 019是数列 an中的第 5 049 项17 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有仓，广三丈，袤四丈五尺，容粟一万斛，问高几何？”其意思为：“今有一个长方体(记为ABCD A1B1C1D1)的粮仓，宽 3 丈(即 AD3 丈)，长 4 丈 5 尺，可装粟一万斛，问该粮仓的高是多少？”已知 1 斛粟的体积为 2.7 立方尺，一丈为 10 尺，则下列判断正确的是_(填写所有正确结论的序号)该粮仓的高是 2 丈；异面直线 AD 与 BC1所成角的正弦值为 ；31313长方体 ABCD A1B1C1D1的外接球的表面积为 平方丈1334答案 解析 由题意，因为 10 0002.73045 AA1，解得 AA120(尺)2(丈)，故正确；9异面直线 AD 与 BC1所成角为 CBC1，则 sin CBC1 ，故错误，222 32 21313此长方体的长、宽、高分别为 4.5 丈、3 丈、2 丈，故其外接球的表面积为4 2 ( 平方丈)，故正确(4.52 32 222 ) 1334
