1、1(五)函数与导数1(2018浙江省台州中学模拟)设函数 f(x) ax2 bx c(a0)，曲线 y f(x)过点(0,2a3)，且在点(1， f(1)处的切线垂直于 y 轴(1)用 a 分别表示 b 和 c；(2)当 bc 取得最小值时，求函数 g(x) f(x)e x的单调区间解 (1) f( x)2 ax b，由题意得Error!则 b2 a， c2 a3.(2)由(1)得 bc2 a(2a3)4 2 ，(a34) 94故当 a 时， bc 取得最小值 ，34 94此时有 b ， c ，32 32从而 f(x) x2 x ， f( x) x ，34 32 32 32 32g(x) f(
2、x)e x e x，(34x2 32x 32)所以 g( x) (x24)e x，34令 g( x)0，解得 x12， x22.当 x(，2)时， g( x)0，故 g(x)在(2,2)上为增函数；当 x(2，)时， g( x)0，1k对任意 xR， k(k x)e kx恒成立，设 g(x)e kx kx k2，g( x) ke kx k k(1e kx)，当 x0 时， g( x)0， g(x)在(，0)上是减函数，在(0，)上是增函数， g(x)min g(0)1 k20，又 k0，00， x k 时， f( x)0； xk 时， f( x)0，00， m(x)单调递增；当 x(e，)时，
3、 m( x)1 时， h( x) f( x) g( x)0 恒成立，即 ln xe x2 ax2 ae0 恒成立，4令 t(x)ln xe x2 ax2 ae， t( x) e x2 a，1x设 (x) e x2 a， ( x)e x ，1x 1x2 x1，e xe， 0， (x)在(1，)上单调递增，即 t( x)在(1，)上单调递增， t( x)t(1)1e2 a，当 a 且 a1 时， t( x)0，1 e2 t(x)ln xe x2 ax2 ae 在(1，)上单调递增， t(x)t(1)0 成立，当 a 时，1 e2 t(1)1e2 a0，1ln 2a存在 x0(1，ln 2 a)，满
4、足 t( x0)0. t( x)在(1，)上单调递增，当 x(1， x0)时， t( x)0 不恒成立实数 a 的取值范围为(，1) .(1，1 e2 4已知函数 f(x) x1 aex.(1)讨论 f(x)的单调性；(2)设 x1， x2是 f(x)的两个零点，证明： x1 x24.(1)解 f( x)1 aex，当 a0 时， f( x)0，则 f(x)在 R 上单调递增当 a0，得 xln ，(1a)5则 f(x)的单调递减区间为 .(ln(1a)， )(2)证明 由 f(x)0 得 a ，1 xex设 g(x) ，则 g( x) .1 xex x 2ex由 g( x)0，得 x2.故
5、g(x)min g(2) 1 时， g(x)0，不妨设 x14 等价于 x24 x1，4 x12 且 g(x)在(2，)上单调递增，要证 x1 x24，只需证 g(x2)g(4 x1)， g(x1) g(x2) a，只需证 g(x1)g(4 x1)，即 ，1 x1x1 3即证 24e(x1 3) x11h(2)0， h(x)在(1,2)上单调递增， h(x)4 得证5已知函数 f(x) ， g(x) mx.a ln xx(1)求函数 f(x)的单调区间；(2)当 a0 时， f(x) g(x)恒成立，求实数 m 的取值范围；6(3)当 a1 时，求证：当 x1 时，( x1) f(x)2 .(
6、x1ex) (1 1e)(1)解 f(x) 的定义域为(0，)，a ln xx且 f( x) .1 a ln xx2 1 ln x ax2由 f( x)0 得 1ln x a0，即 ln x0 得 02 ，(x1ex) (1 1e)等价于 .1e 1 x 1ln x 1x 2ex 1xex 1令 p(x) ，则 p( x) ，x 1ln x 1x x ln xx2令 (x) xln x，则 ( x)1 ，1x x 1x x1， ( x)0， (x)在(1，)上单调递增， (x) (1)10， p( x)0， p(x)在(1，)上单调递增， p(x)p(1)2， ，pxe 1 2e 1令 h(x
7、) ，2ex 1xex 1则 h( x) ，2ex 11 exxex 127 x1，1e x1 时， h(x) h(x)，pxe 1 2e 1即( x1) f(x)2 ， x1.(x1ex) (1 1e)6已知函数 f(x) x3| ax3|2， a0.(1)求函数 y f(x)的单调区间；(2)当 a(0,5)时，对于任意 x10,1，总存在 x20,1，使得 f(x1) f(x2)0，求实数 a 的值解 (1) f(x) x3| ax3|2( a0)Error!则 f( x)Error!当 ，即 a3 时，a3 3a函数 y f(x)的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ， ；( a3， 3
8、a) ( ， a3)(3a， )当 ，即 0a3 时，a33a函数 y f(x)的单调递减区间为 ，( a3， a3)单调递增区间为 ， .( ， a3) (a3， )(2)由题意知，对于任意 x10,1，总存在 x20,1，使得 f(x1) f(x2)0，等价于当x0,1时， f(x)min f(x)max0，由(1)得当 3 a5 时， y f(x)在 上单调递减，在 上单调递增，0，3a) (3a， 1所以 f(x)min f 2，(3a) 27a3f(x)maxmax f(0)， f(1)max1， a41，所以 210，解得 a3；27a3当 0a3 时， y f(x)在 上单调递减，0， a3)8在 上单调递增，(a3， 1所以 f(x)min f 1 ，(a3) 2a3 a3f(x)maxmax f(0)， f(1)max1,2 a，当 1a3 时， f(x)max1，则 1 10，得 a3(舍去)；2a3 a3当 0a1 时， f(x)max2 a，则 1 2 a0，2a3 a3即 3 a ，其中 3 a2，而 2，2a3 a3 2a3 a3所以无解，舍去综上所述， a3.
