1、1第三节 矩形、菱形和正方形姓名：_ 班级：_ 用时：_分钟1(2018上海中考)已知平行四边形 ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是( )AAB BAC CACBD DABBC2(2017四川广安中考)下列说法，正确的有( )四边相等的四边形一定是菱形顺次连结矩形各边中点形成的四边形一定是正方形对角线相等的四边形一定是矩形经过平行四边形对角线交点的直线，一定能把平行四边形分成面积相等的两部分A4 个 B3 个 C2 个 D1 个3. (2018四川内江中考)如图，将矩形 ABCD 沿对角线 BD 折叠，点 C 落在点 E 处，BE 交 AD 于点 F，已知BDC62，则DF
2、E 的度数为( ) A31 B28 C62 D564已知一个菱形的边长为 2，较长对角线长为 2 ，则这个菱形的面积是_35(2018甘肃天水中考)如图所示，菱形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O.若AC6，BD8，AEBC，垂足为 E，则 AE 的长为_6(2018湖南张家界中考)在矩形 ABCD 中，点 E 在 BC 上，AEAD，DFAE，垂足为 F.(1)求证：DFAB；(2)若FDC30，且 AB4，求 AD.27(2018吉林长春中考)在正方形 ABCD 中，E 是边 CD 上一点(点 E 不与点 C，D 重合)，连结 BE.【感知】如图 1，过点 A 作 AFBE 交
3、 BC 于点 F.易证ABFBCE.(不需要证明)【探究】如图 2，取 BE 的中点 M，过点 M 作 FGBE 交 BC 于点 F，交 AD 于点 G.求证：(1)BEFG；(2)连结 CM，若 CM1，则 FG 的长为 2 .【应用】如图 3，取 BE 的中点 M，连结 CM.过点 C 作 CGBE 交 AD 于点 G，连结 EG，MG.若 CM3，则四边形 GMCE 的面积为_38. (2018浙江温州中考)我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的矩形由两个这
4、样的图形拼成，若 a3，b4，则该矩形的面积为( )A20 B24 C. D.994 5329(2018甘肃兰州中考)如图，M，N 是正方形 ABCD 的边 CD 上的两个动点，满足 AMBN，连结 AC 交 BN于点 E，连结 DE 交 AM 于点 F，连结 CF，若正方形的边长为 6，则线段 CF 的最小值是_10(2018浙江绍兴中考)小敏思考解决如下问题：原题：如图 1，点 P，Q 分别在菱形 ABCD 的边 BC，CD 上，PAQB，求证：APAQ.(1)小敏进行探索，若将点 P，Q 的位置特殊化：把PAQ 绕点 A 旋转得到EAF，使 AEBC，点 E，F 分4别在边 BC，CD
5、上，如图 2.此时她证明了 AEAF，请你证明(2)受以上(1)的启发，在原题中，添加辅助线：如图 3，作 AEBC，AFCD，垂足分别为 E，F.请你继续完成原题的证明(3)如果在原题中添加条件：AB4，B60，如图 1，请你编制一个计算题(不标注新的字母)，并直接给出答案(根据编出的问题层次，给不同的得分)511(2018浙江金华中考)在 RtABC 中，ACB90，AC12.点 D 在直线 CB 上，以 CA，CD 为边作矩形 ACDE，直线 AB 与直线 CE，DE 的交点分别为 F，G.(1)如图，点 D 在线段 CB 上，四边形 ACDE 是正方形若点 G 为 DE 的中点，求 F
6、G 的长若 DGGF，求 BC 的长(2)已知 BC9，是否存在点 D，使得DFG 是等腰三角形？若存在，求该三角形的腰长；若不存在，试说明理由6参考答案【基础训练】1B 2.C 3.D 4.2 5.32456(1)证明：在矩形 ABCD 中，ADBC，AEBDAF，又DFAE，DFA90，DFAB，又ADEA，ADFEAB，DFAB.(2)解：ADFFDC90，DAFADF90，FDCDAF30，AD2DF，DFAB，AD2AB8.7解：【感知】 四边形 ABCD 是正方形，ABBC，BCEABC90，ABECBE90.AFBE，ABEBAF90，BAFCBE.在ABF 和BCE 中， BA
7、F CBE，AB BC， ABC BCE 90， )ABFBCE(ASA)【探究】 证明：(1)如图，过点 G 作 GPBC 于 P.四边形 ABCD 是正方形，ABBC，AABC90，四边形 ABPG 是矩形，PGAB，PGBC.同感知的方法得PGFCBE，在PGF 和CBE 中，7 PGF CBE，PG BC， FPG ECB 90， )PGFCBE(ASA)，BEFG.(2)由(1)知，FGBE，如图，连结 CM.BCE90，点 M 是 BE 的中点，BE2CM2，FG2.【应用】 9【拔高训练】8B 9.3 3510(1)证明：四边形 ABCD 是菱形，BC180，BD，ABAD.EA
8、FB，EAFC180，AECAFC180.AEBC，AFCD，在AEB 和AFD 中， AEB AFD， B D，AB AD， )AEBAFD，AEAF.(2)证明：由(1)得PAQEAFB，AEAF，EAPFAQ，在AEP 和AFQ 中， AEP AFQ 90，AE AF， EAP FAQ， )AEPAFQ，APAQ.(3)解：答案不唯一已知：AB4，B60，求四边形 APCQ 的面积8解：如图，连结 AC，BD 交于 O.ABC60，BABC，ABC 为等边三角形AEBC，BEEC.同理，CFFD，四边形 AECF 的面积 四边形 ABCD 的面积，12由(2)得四边形 APCQ 的面积四
9、边形 AECF 的面积，OA AB2，OB AB2 ，12 32 3四边形 ABCD 的面积 22 48 ，12 3 3四边形 APCQ 的面积4 .3【培优训练】11解：(1)在正方形 ACDE 中，DGGE6.在 RtAEG 中，AG 6 .AE2 EG2 5EGAC，ACFGEF， ，FGAF EGAC ，FGAF 612 12FG AG2 .13 5如图 1 中，正方形 ACDE 中，AEED，AEFDEF45.图 1EFEF，AEFDEF，12，设12x.9AEBC，B1x.GFGD，32x.在DBF 中，3FDBB180，x(x90)x180，解得 x30，B30，在 RtABC
10、中，BC 12 .ACtan 30 3(2)在 RtABC 中，AB 15.AC2 BC2 122 92如图 2 中，当点 D 在线段 BC 上时，此时只有 GFGD.图 2DGAC，BDGBCA.设 BD3x，则 DG4x，BG5x，GFGD4x，则 AF159x.AECB，AEFBCF， ， ，AEBC AFBF 9 3x9 15 9x9x整理得 x26x50，解得 x1 或 5(舍去)，腰长 GD4x4.如图 3 中，当点 D 在线段 BC 的延长线上，且直线 AB，CE 的交点在 AE 上方时，图 3此时只有 GFDG，设 AE3x，则 EG4x，AG5x，10FGDG124x.AEB
11、C，AEFBCF， ， ，AEBC AFBF 3x9 9x 129x 27解得 x2 或2(舍去)，腰长 DG4x1220.如图 4 中，当点 D 在线段 BC 的延长线上，且直线 AB，EC 的交点在 BD 下方时，图 4此时只有 DFDG，连结 DF，过点 D 作 DHFG.设 AE3x，则 EG4x，AG5x，DG4x12，FHGHDGcos DGB(4x12) ，45 16x 485GF2GH ，AFGFAG .32x 965 7x 965ACDG，ACFGEF， ， ，ACEG AFFG 124x7x 96532x 965解得 x 或 (舍去)12 147 12 147腰长 GD4x12 .84 48 147如图 5 中，当点 D 在线段 CB 的延长线上时，此时只有 DFDG，作 DHAG 于 H.11图 5设 AE3x，则 EG4x，AG5x，DG4x12，FHGHDGcos DGB ，16x 485FG2FH ，32x 965AFAGFG .96 7x5ACEG，ACFGEF， ， ，ACEG AFFG 124x96 7x532x 965解得 x 或 (舍去)，12 147 12 147腰长 DG4x12 . 84 48 147综上所述，等腰DFG 的腰长为 4 或 20 或 或 .84 48 147 84 48 147
