1、- 1 -浙江杭州八中 2019届上学期高三数学周末自测卷二选择题部分（共 40分）一、选择题：本大题共 10小题，每小题 4分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知 ，集合 ，则UR|1AxUCAA B C D(,)(,)(,)1,12复数 ( 是虚数单位)的模是34iA4 B5 C7 D253若实数 满足约束条件则 的取值范围是,xy0,3,2yx 2zxyA B C D4,)0,60,46,)4已知互相垂直的平面 交于直线 若直线 满足 ， ，则,l,mn/nA B C D/lm/nlmn5函数 的大致图像为cosin2xyAxyOBxyOCxyODxyO
2、6我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7层塔共挂了 381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2倍，则塔的底层共有灯A186 盏 B189 盏 C192 盏 D96 盏7安排 4名志愿者完成 5项工作，每人至少完成 1项，每项工作由 1人完成，则不同的安排方式共有A1440 种 B720 种 C480 种 D240 种8已知向量 满足 ， ，则 的范围是,ab|4|3ab|ab- 2 -A B C D3,54,53,44,79设 ， 是 的 映 射 ， 则 “ ”是 “当12,0U fU()Ufx时
3、，x”的12()ffA充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分又不必要条件10已 知 函 数 的 两 个 零 点 ， 满 足 ， 则 的 取2()fxab12,x120x(0)2f值 范 围 是A B C D(0,1)(0,)(,)(1,4)非选择题部分 (共 110分)二、填空题:本大题共 7小题，多空题每题 6分，单空题每题 4分，共 36分。11若正项等比数列 满足 ， ，则公比 ， na24351aqna12 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 表面积是 13已知实数 ， 满足条件 若存在实数 使得函数 取到最xy1,420,xya)0(ayxz大值 的解有无数
4、个，则 ， = )(aza)(z14多项式 的展开式中，含 的系数是 常数项是 512)(x2x15 有编号分别为 1，2，3，4 的 4个红球和 4个黑球，从中取出 3个，则取出的编号互不相同的概率是 16.已知 为抛物线 的焦点，点 A，B 在该抛物线上且位于 x轴的两侧，Fxy2（其中 O为坐标原点） ，则AFO 与BFO 面积之和的最小值是 AB17.已知双曲线 的左右焦点分别为 ，抛物线0,1:21baC21,F的焦点与双曲线 的一个焦点重合， 在第一象限相交于点0:2pxy1CC与P，且 ，则双曲线的离心率为 21F三、解答题: 本大题共 5小题，共 74分。解答应写出文字说明、证
5、明过程或演算步骤。- 3 -18. (本题满分 14分)在 ABC中，内角 A， B， C的对边分别为 a， b， c，且 bsinA+ acosB=0.3(1)求角 B的大小；(2)若 b 3，sin C2sin A，求 的最大值7 xxf cosin2os)(19 （本题 14分）如图，在 中， ，斜边 可以通RtAOB 64ABRtOC过 以直线 为轴旋转得到，且二面角 是直二RtAOB 面角动点 的斜边 上D（1）求证：平面 平面 ；C（2）当 为 的中点时，求异面直线 与 所成角的余弦值；AOCD（3）求 与平面 所成的角中最大角的正切值AOB20. （本题满分 15分）已知函数 .
6、()|1|fx（1）若 恒成立，求实数 的最大值；()|1|fxmm（2）记（1）中 的最大值为 ，正实数 满足 ，证明： .M,ab2M2ab21.（本小题满分 15分）已知椭圆 C： （ab0）的焦距是 2，点12yx是椭圆 上一动点，点 是椭圆 的左右顶点，P21A， COCADB- 4 -且满足直线 的斜率之积为21PA， 21（）求椭圆的标准方程；（）A，B 是抛物线 C2：x 2=4y上两点，且 A，B 处的切线相互垂直，直线 AB与椭圆 C1相交于 C，D 两点，求 的面积的最大值O22.（本小题满分 15分）已知数列 中， ，an1*11ln(),naaN()求证： 0()求证
7、： 21nna(III) 求证： n- 5 -浙江杭州八中 2019届上学期高三数学周末自测卷二参考答案与评分标准一、选择题：（共 8小题，每小题 4分，共 40分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 D B B C A C D B C A1答案：D分析： ,1,UCA2答案：B分析： 34695ii3. 答案：B4答案：C分析：因为 ，所以 ，又因为 ，所以 .llnl5. 答案：A 分析： 是奇函数， 时， ，故选 A.cosin2xy(0,)2x0y6. 答案：C.分析：设塔的底层共有灯 x盏，则各层的灯数构成一个首项为 x，公比为 的等比数列.12，解得 .71()23
8、8x1927. 答案：D分析：完成一件事情：一人完成两项工作，其余三人每人完成一项工作 ，23540CA8. 答案：B分析： ，max,4bb，所以 .222()5a5ab9. 答案：C- 6 -分析：“ ”等价于“ 是一一映射” ，故选 C()Ufx()yfx10. 答案：A.分析：设函数 ，212()()fab则 ， .12(0)fx12)x一方面： ，()0f另一方面： 221121212(0)()()()()1xxfxxx“ ”的条件是 ，但 ，所以“ ”取不到.0所以 的取值范围是 .()f,二、填空题：（共 7小题，多空题每题 6分，单空题每题 4分，共 36分）11 ，22n试题
9、分析：因为 ， ，所以 ，因为 ，所以 ，因为23541a40a41243a2a， ，所以 ，所以 ，所以答案应241q0q22nnnq填： ， 2n【命题立意】本题考查：1、等比数列的性质；2、等比数列的通项公式基本量运算，属于容易题125，14+ 9试题分析：试题分析：由三视图可知该几何体为长方体截去两个三棱锥后剩下的部分，如图根据三视图可知，长方体的长、宽、高分别为 2，1，3，所以几何体的体积，表面积5621312V912=49S- 7 -【命题意图】本题考查三视图及棱柱、棱锥的体积公式属于容易题13 ；1【命题意图】本题考查：线性规划的基本问题；属于容易题14. 200 144【命题
10、意图】 本题考查二项式展开式的计算属于容易题15 74【命题立意】本题考查：1、古典概型；2、概率的计算公式；试题分析： 先由组合数公式计算从 8个小球中取出 3个的取法 ，要满足条件，可以有分38C步原理 3个球是同一个颜色 ，也可以是不同的颜色 ,则取出的编号互不相342C1214,A同的概率是 567P16 42【命题立意】本题考查：1、抛物线；2、基本不等式；属于较难题。17 【命题立意】本题主要考查学生抛物线与双曲线的定义域与性质，需要找出 之间的关ca,系，难度较大。【解题思路】设点 ， ，过点 P做抛物线 准线的垂线，0,yxP,cF02:pxyC垂足为 A，连接 。根据双曲线的
11、定义和 ，可知 。由抛2 cF121 acPF2物线的定义可知 ，则 。在 中，acx0ax0ARt1，即2221 48acF，由题意可知 ，所以 ，所以2048aycpcpxy24020，化简可得 ，即 ，解得cc22a10ee- 8 -32e三、解答题：(本大题共 5小题，共 74分)18本题主要考查三角函数及其变换和解三角形等基础知识，同时考查运算求解能力。满分14 分。 解：(1)由 bsinA- acosB 及正弦定理 ，得3asinA bsinBsinB- cosB，所以 tanB- ， 4 分3 3所以 B . 6分2(2)由 sinC2sin A及 ，得 c2 a.asinA
12、csinC由 b 及余弦定理 b2 a2 c22 accosB，得 7 a2 c2+ac，将 c2 a代入得，7a1， c2 10 分xxf osinos)(2sic)4n(x所以 的最大值是 14分xcxaf osinos219解：（1）a 3，a 5是方程 x2-14x+45=0的两根，且数列a n的公差 d0， a 3=5，a 5=9，公差 d= =2.53 a n=a5+(n-5)d=2n-1. 3分又当 n=1时，有 b1=S1= , b 1= , 4分23当 n2 时，有 bn=Sn-Sn-1= (bn-1-bn), = (n2).1nb3 数列b n是首项 b1= ，公比 q=
13、的等比数列，3 b n=b1qn-1= . 6分（2）由（1）知 c n=anbn= , 8分 2 T n= + + + ,132351- 9 -Tn= + + + + , 9 分13234523n1-得 Tn= + + + - = +2( + + )- ,1232n3213n12整理得 T n= . 12分20.解：（1）由 得 ，要使 恒成立，21,0(),xfmin()1fx()|1|fxm只要 ，即 ，实数 的最大值为 2； 7 分|1|m02（2）由（1）知 ，又 ，故2ab2ab1ab()4ab424()21ab ， ，022()()015分21. （本题满分 15分）()设 P（
14、x 0，y 0） ，则 -2分2001yyxaxaA即 ， -3分201a2b且 即椭圆的方程 6分,c,42 124yx（2）设直线 AB为 ),(),(,1BAmkxy ),()(43yxDC由 04,422xky得则 8分,2121x由 2,411xkyxPBPA得- 10 -，所以直线 AB为 10分121mx ,1kxy02424xkyk）得 （ ,1,12243 kkx,)4(82432xCD原点到直线 AB的距离 ,12kd的面积 13OC ,21)4(21)4(82 kkCDS 分设 代如上式得21),1(2tktt则 ,21)(2tttS所以 的面积的最大值是 15分OCD2
15、22证明：()先证左边，用数学归纳法当 时， 成立；1n0a假设 时，kk当 时， ，11ln()ka，因为1(ln)0kka0k所以有 2分由可知，对 ，都有*Nna再证明右边，由 得， 11l()nna1ln(1)na- 11 -因为 ln(1)0a所以 ，即1l()1nn1na所以 4分0na（）因为 ，则1l(1)nn1ln(1)nnaa令 ()fxx0)6分1所以， 在 上为减函数，()ln)fxx1,(max()(0)ff则有 在 上恒成立，即l(0,ln(1n所以， ，即 .8分1 0l()nnnaa1nna另一方面，2 211ln()1n naa令 ()l)xfx09分2221 0()1()(1)xf x所以，函数 在 上为增函数，lnfx0,min()(0)ff则有 在 上恒成立，即ln(1)(0,1ln(1)na所以， ，即2 21 0ln()n naa21na综上， . 11分21nn(III由（2）可知 ，则 ，即1na1na1na- 12 -当 时， ， ，所以， ，2n1nana1na12分另一方面 ，则 因为21na21nna01na所以， 21nnn则 1na当 时， ，则 ，所以，212na112nna所以， .14分，综上可得， .15分1=时 ， 1n
