1、- 1 -湖北省钢城四中 2018-2019 学年高二数学上学期期中试题 理一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 。1直线 经过点 ，且倾斜角是直线 倾斜角的 2 倍，则以下各点在直线 上的是A B C D 2已知程序框图如图，则输出 i 的值为 A 7 B 9 C 11 D 133执行如图所示的程序框图，如果输入的 ，则输出的 值的取值范围是 A 或 B C 或 D 或4某初级中学有学生 270 人，其中七年级 108 人，八、九年级各 81 人，现要利用抽样方法抽取 10 人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样
2、、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按七、八、九年级依次统一编号为 1，2，270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号 1，2，270，并将整个编号依次分为 10 段.如果抽得号码有下列四种情况：7，34，61，88，115，142，169，196，223，250；5，9，100，107，111，121，180，195，200，265；11，38，65，92，119，146，173，200，227，254；30，57，84，111，138，165，192，219，246，270；关于上述样本的下列结论中，正确的是（ ）A 、都不能为系统抽样 B 、都不能为分层抽样
3、C 、都可能为系统抽样 D 、都可能为分层抽样- 2 -5某校进行了一次创新作文大赛，共有 100 名同学参赛，经过评判，这 100 名参赛者的得分都在 之间，其得分的频率分布直方图如图，则下列结论错误的是（ ）A 得分在 之间的共有 40 人B 从这 100 名参赛者中随机选取 1 人，其得分在的概率为C 这 100 名参赛者得分的中位数为 65D 估计得分的众数为 556甲、乙两名选手参加歌手大赛时，5 名评委打的分数用如图所示的茎叶图表示， s1， s2分别表示甲、乙选手分数的标准差，则 s1与 s2的关系是( )A s1 s2 B s1 s2 C s1 s2 D 不确定7已知集合 M1
4、，2,3， N4,5,6，7，从两个集合中各选一个数作为点的坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第三、四象限内不同点的个数为( )A 18 个 B 10 个 C 16 个 D 14 个8.若 是圆 上任一点，则点 到直线 距离的最大值（ ）A 4 B 6 C D 9在一个具有五个行政区域的地图上（如图） ，用四种颜色给这五个行政区着色，当相邻的区域不能用同一颜色时，则不同的着色方法共有（ ）A 72 种 B 84 种 C 180 种 D 390 种10要将甲、乙、丙、丁 4 名同学分到 、 、 三个班级中，要求每个班级至少分到一人，则甲被分到 班的分法种数为，A B C D 11 展开式中
5、的系数为( )A 14 B -14 C 56 D -5612已知 ，则 （ ）4 20121xaxa341xax2aA 18 B 24 C 36 D 56二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分。13若 的展开式中 项的系数为 ，则 的最小值为_62bx3x202b14方程 的非负整数解的组数为_134715已知经过点 作圆 ： 的两条切线，切点分别为 ， 两点，M， C21yAB则直线 的方程为_.AB16若动点 在直线 上，动点 在直线 上，设线段 的中点为 ，且 ，则 的取值范围是_钢 城 四 中 20182019学 年 （ 上） 期 中 考 试 卷学科数学（理科）
6、 年级高二命题宋楚芳审核胡世忠时间120 分值150班 级姓 名考 号- 3 -一、选择题：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案二、填空题13 14 15 16 三、解答题17某电脑公司有 5 名产品推销员，其工作年限与年推销金额的数据如表：推销员编号 1 2 3 4 5工作年限 年 3 5 6 7 9推销金额 万元 2 3 3 4 5求年推销金额 y 关于工作年限 x 的线性回归方程；判断变量 x 与 y 之间是正相关还是负相关；若第 6 名推销员的工作年限是 11 年，试估计他的年推销金额（参考数据 ， ，参考公式：线性回归方程 中， ，其中 为样本平均数）18已
7、知圆 C： ，直线 l1过定点 A (1，0)（1）若 l1与圆 C 相切，求 l1的方程； （2）若 l1与圆 C 相交于 P，Q 两点，求三角形 CPQ 的面积的最大值，并求此时直线 l1的方程- 4 -19某中学从参加环保知识竟赛的学生中抽取了部分学生的成绩进行分析，不过作好的茎叶图和频率分布直方图因故均受到不同程度的损坏，其可见部分信息如图所示，据此解答下列问题：（1）求抽取学生成绩的中位数，并修复频率分布直方图；（2）根据修复的频率分布直方图估计该中学此次环保知识竞赛的平均成绩。 （以各组的区间中点值代表该组的各个值）- 5 -20 （本小题满分 14 分）将四个编号为 1,2,3,
8、4 的相同小球放入编号为 1,2,3,4 的四个盒子中，（1）若每个盒子放一个小球，求有多少种放法;（2）若每个盒子放一球，求恰有 1 个盒子的号码与小球的号码相同的放法种数；（3）求恰有一个空盒子的放法种数。21已知 二项展开式中，第 4 项的二项式系数与第 3 项的二项式系数的比为2()nx8：3（1）求 n 的值；（2）求展开式中 项的系数3x（3）计算式子 的值012310014824CC- 6 -22已知圆 : 和点 .O29xy1,(0)Ma（）若过点 有且只有一条直线与圆 相切，求实数 的值，并求出切线方程；Oa（）当 时，试判断过点 ，且倾斜角为 的直线 与圆 的位置关系.若相
9、3a6lO交，求出相交弦 长；若不相交，求出圆 上的点到直线 的最远距离.AB（）圆 C： ， 与 轴相交于两点 P,Q（点 P 在 Q 的0)1(22 byxb)1(x左侧） ，过点 P 任作一条直线与圆 相交于两点 E，F。问：是否存在实数 b，使得O？若存在，求出实数 b 的值，若不存在，请说明理由。FQE- 7 -2018-2019 上学期高二数学（理科）参考答案1B【解析】【分析】先求圆心到点(0,-1)的值 d，则点 P 到直线 距离的最大值为 d+r.【详解】由题得直线过定点（0，-1） ，所以圆心（-3,3）到定点的距离为 ，所以点 P 到直线 距离的最大值为 5+1=6.故答
10、案为：B【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对该知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.2A【解析】【分析】由已知得到直线 倾斜角为 ，所以直线 倾斜角为 ，由此得到直线方程【详解】因为直线 经过点 ，且倾斜角是直线 倾斜角的 2 倍，而直线 倾斜角为 ，所以直线 倾斜角为 ，又直线 经过点 ，所以直线 l 的方程为 ；故选：A【点睛】本题考查了直线的斜率与直线的倾斜角；如果直线倾斜角为 ，直线斜率不存在3D【解析】【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 的值，模拟程序的运行过程，可得答案【详解】当 时，不满足退出循环的条件，故 ，当 时，不满足
11、退出循环的条件，故 ，当 时，不满足退出循环的条件，故 ，当 时，不满足退出循环的条件，故 ，当 时，不满足退出循环的条件，故 ，当 时，不满足退出循环的条件，故 ，当 时，满足退出循环的条件，故输出故选【点睛】本题主要考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答。4C【解析】由题意知，该程序的功能是求函数 的值域- 8 -当 时， 在区间 上单调递增， ，即 ；当 时， ，当且仅当 ，即 时等号成立综上输出的 值的取值范围是 或 选 C5D【解析】【分析】：根据系统抽样、分层抽样、简单随机抽样的定义判断答案。【详解】：现有学生 270 人，利用系统抽样方法抽
12、取 10 人，先分段为 10 段，每一段取一人，在第一组中随机取一个数为第一个编号，后面的数的编号以 27 为公差的等差数列所以为系统抽样。分层抽样按七年级 108 人，八、九年级各 81 人，样本中所含人数分别为 4,3,3.那么编号 有 4 个数，编号 有 3 个数，编号 有 3 个数，所以、为分层抽样。故选 D。【点睛】：简单随机抽样：随机的从总体中抽出样本。系统抽样：先分段，要多少样本就分成多少段， ，每一段取一人，在第一组中随机取一个数为第一个编号，后面的数的编号以总体除以段数为公差的等差数列。分层抽样：先分类，按照每一类所占的比例值抽取样本总数。6C【解析】【分析】根据频率分布直方
13、图，利用最高的小矩形对应的底边中点估计众数；根据频率和为 1，计算a 的值；计算得分在60，80）内的频率，用频率估计概率即可【详解】根据频率和为 1，计算（a+0.035+0.030+0.020+0.010）10=1，解得 a=0.005，得分在 的频率是 0.40，估计得分在 的有 1000.40=40 人，A 正确；得分在 的频率为 0.5，用频率估计概率，知这 100 名男生中随机抽取一人，得分在 的概率为 ，B 正确根据频率分布直方图知，最高的小矩形对应的底边中点为 ，估计众数为 55，D正确；故选 C.【点睛】本题考查了频率分布直方图，频率、频数与众数的计算问题7C【解析】【分析】
14、先求均值，再根据标准差公式求标准差，最后比较大小.【详解】乙选手分数的平均数分别为- 9 -所以标准差分别为因此 s1 s2， 选 C.【点睛】本题考查标准差，考查基本求解能力.8B【解析】【分析】第三、四象限内点的纵坐标为负值，横坐标无限制，分两种情况讨论，然后根据分类加法计数原理即可得到结果【详解】第三、四象限内点的纵坐标为负值，横坐标无限制分两种情况讨论，第一种：取 中的点作横坐标，取 中的点作纵坐标，共有 种第二种：取 中的点作横坐标，取 中的点作纵坐标，共有 种综上所述共有 种故选【点睛】本题主要考查了分类加法计数原理，结合点坐标的特征来求解，属于基础题。9A【解析】【分析】可分 2
15、 种情况讨论：若选 3 种颜色时，必须 同色且 同色；若 4 种颜色全用，只能 同色或 同色，其它不相同，从而可得结果.【详解】选用 3 种颜色时，必须 同色且 同色，与 进行全排列，涂色方法有 种；4 色全用时涂色方法： 同色或 同色，有 种情况，涂色方法有 种，不同的着色方法共有 种，故选 A.【点睛】本题主要考查分步计数原理与分类计数原理的应用，属于简单题.有关计数原理的综合问题，往往是两个原理交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步” ，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准
16、确率.10B【解析】【分析】分甲和另一个人一起分到 A 班有 ，甲一个人分到 A 班的方法有： ，加到一起即为结果.【详解】甲和另一个人一起分到 A 班有 =6 种分法，甲一个人分到 A 班的方法有： =6 种分法，共有 12 种分法；故答案为：B.【点睛】- 10 -解答排列、组合问题的角度：解答排列、组合应用题要从“分析” 、 “分辨” 、 “分类” 、 “分步”的角度入手(1)“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素” ，哪些是“位置” ；(2)“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有、无限制等；(3)“分类”就是将较复杂的应用题中的元素分成互相排斥的几类，然后逐类解决；
17、(4)“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列、组合问题，然后逐步解决11B【解析】从 的 7 个因式中两个取 其余取 1 或者三个取 其余取 1，分别为含 的项，与 相乘后合并同类项可得系数为 ，故选 B.12B【解析】 ，故 ， 442121xx22 2441C1C1axxx.24Ca13 30y【解析】结合点的坐标和圆的方程可得直线 与圆相切，切点为 ，y,且直线 与直线 垂直，其中： ，故 ，ABM0123CMk3ABk直线 AB 的点斜式方程为： ，整理为一般式即： .13yx20xy14120【解析】把 分成 个 ,每个 看作一个元素， 看作四个不同的对象,
18、现7i1,4将 个元素分配给四个对象分类： 中三个为 ,有 种；1234x、 、 、 14C中两个为 ,有 种； 中有一个为 ,有1234xx、 、 、 02436CA1234、 、 、 01346CA 中均不为 ,有 种.故非负整数解 组.故答案124、 、 、 6062为 .015【解析】 ，令626121rr rrrbTaxCax 6123rrCabx，23,则 ，则 ， ,则 的最小值为 2.3601Cb22b216【解析】由直线方程可知两直线斜率相等，所以 ，由平行线线的几何性质知 的轨迹为平行于的直线，直线方程为 ，又 点在圆 的内部，故 的轨迹是如图所- 11 -示的线段 即原点
19、和 距离 的平方由图可知， ， ，故答案为 【方法点晴】本题主要考查轨迹方程及解析几何求最值，属于难题.解决曲线轨迹中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将曲线轨迹中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法.本题是先将 转化为直线上的点与原点距离的平方，然后利用几何方法解答的.17 （1） 或【解析】【分析】（1）通过直线 的斜率存在与不存在两种情况，利用直线的方程与圆 C 相切，圆心到直线的距离等于半径即可求解直线 的方程；（2）设直线方程为 ，求出圆心
20、到直线的距离、求得弦长，得到 的面积的表达式，利用二次函数求出面积的最大值时的距离，然后求出直线的斜率，即可得到直线的方程.【详解】（1）若直线 l1的斜率不存在，则直线 l1：x1，符合题意. 若直线 l1斜率存在，设直线 l1的方程为 ，即 由题意知，圆心（3，4）到已知直线 l1的距离等于半径 2，即： ，解之得 . 所求直线 l1的方程是 或 .(2)直线与圆相交，斜率必定存在，且不为 0, 设直线方程为 ，则圆心到直线 l1的距离 又CPQ 的面积 当 d 时，S 取得最大值 2. k1 或 k7所求直线 l1方程为 xy10 或 7xy70 .【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关
21、系的应用，其中解答中涉及到直线与圆相切，圆的弦长公式，以及三角形的面积公式和二次函数的性质等知识点的综合考查，其中熟记直线与圆的位置关系的应用，合理准确计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.18 （1） .（2）变量 x 与 y 之间是正相关.（3） 万元.【解析】分析： 首先求出 x， y 的平均数，利用最小二乘法做出 b 的值，再利用样本中心点满足线性回归方程和前面做出的横标和纵标的平均值，求出 a 的值，写出线性回归方程根据 ，即可得出结论；第 6 名推销员的工作年限为 11 年，即当 时，把自变量的值代入线性回归方程，得到y 的预报值，即估计出第 6 名推
22、销员的年推销金额为 万元- 12 -详解： 由题意知： ，于是： ， ，故：所求回归方程为 ；由于变量 y 的值随着 x 的值增加而增加 ，故变量 x 与 y 之间是正相关将 带入回归方程可以估计他的年推销金额为 万元点睛：本题考查回归分析的初步应用，考查利用最小二乘法求线性回归方程，是一个综合题目19 （1）见解析（2）75【解析】【分析】（1）根据中位数定义得中位数应该是第 10 和第 11 个同学的成绩的平均数，再根据频数除以总数得频率，再除以组距得纵坐标， （2）根据组中值与对应概率乘积的和计算平均值.【详解】解：（1）抽取的总人数为： (人)中位数应该是第 10 和第 11 个同学的
23、成绩的平均数，故：中位数90-100 的频率为：60-70 的频率为： ，即：70-80 的频率为： ，即：80-90 的频率为： ，即：修复直方图如左图所示：（2）答：估计该中学此次环保知识竞赛的平均成绩是 75 分【点睛】（1）频率分布直方图中小长方形面积等于对应概率，所有小长方形面积之和为 1；（2）频率分布直方图中均值等于组中值与对应概率乘积的和（3）均值大小代表水平高低，方差大小代表稳定性20 （1）24；（2）8；（3）144；【解析】试题分析：（1）直接利用排列数公式即可；（2）先从四个球中选出一个与盒子号码相同，再把剩余的三个分别放入号码不同的盒子中；（3）先从四个盒子中选出一
24、个空盒子，再把球分成 2、1、1 三组放入三个盒子中，属于不平均分组问题。- 13 -试题解析：（1） 种；（2）先从四个球中选出一个与盒子号码相同由 种方法，再4A 14C把剩余的三个分别放入号码不同的盒子中有 2 种方法，所以有 种；（3）先从四个1428盒子中选出一个空盒子有 种方法，再把球分成 2、1、1 三组放入三个盒子中有14C种，所以有 种2134C 23考点：1排列的定义；2特殊元素优先排；3不平均分组的排列组合；21 （1） ；（2）180；（3）1.0n【解析】试题分析： 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的
25、 x 赋值，求展开式的系数和，属于基础题第一问，直接利用条件可得 ，求得 n 的值；第二问，在二项展开式的通项公式中，令 x 的幂328nC指数等于 3，求出 r 的值，即可求得展开式中 x3项的系数第三问，在 二项展102()开式中，令 x=1，可得式子 的值01210014824CC试题解析：（1）由第 4 项的二项式系数与第 3 项的二项式系数的比为 8：3，可得 ，328nC化简可得 ，求得 283n1n（2）由于 二项展开式的通项公式为 ，令 ，求得()x 5110(2)rrrTCx3，可得展开式中 项的系数为 r320()8（3）由二项式定理可得 ，151(nrrrxx所以令 x=
26、1 得 .0123001484CC 10(2)考点：二项式定理的应用；二项式系数的性质22 （1） ， （2）2a9xy3AB【解析】试题分析：（1）根据点和圆的位置关系求得 ，再根据直线和圆相切得到a，进而得到参数值；（2）通过判断 ，所以直线OMk2331d与圆 相交，由垂径定理得到 。l294AB解析：解：（）由题意，点 M 在圆上，即 所以 . 21.0a2a此时 ，设点 M 处切线为 ，其斜率为 ，因为 所以 ，2OMklk1OMl1OMk解得 . 4所以切线方程为 ，化简得 . 214yx290xy- 14 -（）当 时，直线 ： ，即 . 23a23tan601yx30xy因为 ，所以直线 与圆 相交. 21dlO又 , 所以 .2794ABR 3AB
