1、长阳一中 20182019学年度第一学期期中考试高二数学（理科）试卷考试时间：120 分钟 试卷总分：150 分一、 选择题1为了适应新高考改革，尽快推行不分文理教学，对比学生考试情况，采用分层抽样的方法从文科生 900人，理科生 1800人，教师 人中抽取 150人进行问卷分析，已知文科生n抽取的人数为 45人，那么教师被抽取的人数为 （ ）A12 人 B15 人 C21 人 D24 人2已知命题 ： ，则 （ ） p1sin,xRA. B. ,:x 1sin,:xRpC. D. si 3. 2m是直线 ()30xmy与直线 30xmy垂直的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件
2、 D非充分也非必要条件4设 是两条不同直线， 是两个不同的平面，则下列命题不正确的是 ( )n, ,A B/,m则 ,/m则C D/n5棱长分别为 2、 、 的长方体的外接球的表面积为（ ）35A B C D4124486. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的 为 （ ）SA B 22C D3137.已知 ， 均为正实数，且直线 与直线 互相平行，则ab06yax 05)1(yxb的最大值为（ ）A 1 B C D 21418CA BDA1 B1C1D1P EF8.如图，长方体 ABCD A1B1C1D1中， AA1 AB 2， AD 1， E、 F、 G分别是DD1、 AB、 CC1的中
3、点，则异面直线 A1E与 GF所成角的余弦值是（ ）A B C D525009已知 P是ABC 所在平面内一点， ，现将一粒红豆随机撒在ABC2P内，则红豆落在PBC 内的概率是（ ）A B C D141312310直线 与 相交于 A，B 两点， ，则 的值为 0yax:2yxO10Oa（ ）A B C D12311如图在长方形 ABCD中，AB= ，BC=1，E 为线段 DC上一动点，现将 AED沿 AE折起，3使点 D在面 ABC上的射影 K在直线 AE上，当 E从 D运动到 C，则 K所形成轨迹的长度为 ( )A B C D 23233212. 在棱长为 1的正方体 中， 为线段1DA
4、ECB1的中点， 是棱 上的动点，若点 为线段 上的动点，F1CP则 的最小值为（ ）PEA. B. C. D. 62522623二、填空题13为了解某地区某种农产品的年产量 （单位：吨）对价格 （单位：千元/吨）的影响，xy对近五年该农产品的年产量和价格统计如下表： x1 2 3 4 5E GFD1DC1B1A1CBAy7.0 6.5 m3.8 2.2已知 和 具有线性相关关系，且回归方程为 ，那么表中 的值为 x 1.238.69yxm14右图是一个几何体的三视图，侧(左）视图是一个等边三角形，根据图中尺寸(单位：cm),可知这个几何体的体积是 ；15锐角 A为 60，边长为 a的菱形 A
5、BCD沿 BD折成 60的二面角，则 A与 C之间的距离为 ；16.过圆 内一点 作两条相互垂直的弦 AB和 CD, 则四边形 ACBD的162yx)3,2(P面积的最大值为_三、解答题17(本题满分 10分) 2012 年 3月 2日，国家环保部发布了新修订的环境空气质量标准,其中规定：居民区中的 PM2.5年平均浓度不得超过 35微克/立方米，PM2.5 的 24小时平均浓度不得超过 75微克/立方米. 某城市环保部门随机抽取了一居民区去年 40天的 PM2.5的 24小时平均浓度的监测数据，数据统计如下：（1）试确定 ,xy的值，并写出该样本的众数和中位数（不必写出计算过程） ；（2）完
6、成相应的频率分布直方图.（3）求出样本的平均数，并根据样本估计总体的思想，从 PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境是否需要改进？说明理由.18. (本题满分12分)已知命题 对 ，不等式 恒成立；命:p1,m83522maFPEA DCB 第 20 题图题 ,使不等式 成立;若 是真命题， 是假命题，求:qxR022axqpqp的取值范围.a19(本题满分 12分) 设关于 x的一元二次方程 x +2ax+b =0，22（1）若 a是从 0，1，2，3 四个数中任取的一个数， b是从 0，1，2 三个数中任取的一个数，求上述方程有实数根的概率.（2）若 a是从区间0， 3中任取的一个
7、数， b是从区间0， 2中任取的一个数，求上述方程有实数根的概率.20 （本题满分 12分）如图，四棱锥 PABCD的底面 为菱形， A平面 BCD，2PAB， EF、 分别为 、 的中点， 3E（1）求证：平面 A平面 （2）求平面 与平面 P所成的锐二面角的余弦值21(本题满分 12分)）已知：以点 为圆心的圆与 轴交于点 , ，tC2,)0,(tRxOA与 y轴交于点 , ，其中 为原点OB（1）求证： 的面积为定值；A（2）设直线 与圆 交于点 , ，若 ，求圆 的方程42xCMN|OC22 （本题满分 12分）在平面直角坐标系 中，已知以 为圆心的圆的方程为：xOy1C，以 为圆心的
8、圆的方程为： 2(1)xy2C22(3)(4)y（1）若过点 的直线 沿 轴向左平移 3个单位，沿 轴向下平移 4个单位后，回到原来lx的位置，求直线 l被圆 截得的弦长；2C（2）圆 是以 1为半径，圆心在圆 ： 上移动的动圆 ，过圆 上任意一点D32(+1)9xyD分 别作圆 的两条切线 ，切点为 ，求 的取值范围 。P1,PEF,E1CFA长阳一中 20182019学年度第一学期期中考试高二理科数学（答案）一、选择题15 BBACB 610 BCDCD 1112 BA二、填空题13. 5.5 14. 15. 16. 19 3a23三、解答题17. (1) 3.0,4yx，众数为 22.5
9、微克/立方米，中位数为 37.5微克/立方米. 4 分(2）其频率分布直方图如图所示：7分(3)样本平均数为 5.401.82.05672.5.037.521.07 因为 4，所以去年该居民区 PM2.5年平均浓度不符合环境空气质量标准，故该居民区的环境需要改进. 10 分18. 解：若 是真命题，则 ； 3 分p16a或若 Q是真命题则 6分22a或由题意知 、 一真一假。若 真 假，则 ， ，qpq612a则- 1-a若 假 真，则 ， 11分p6122a则 故 的取值范围是 12分 a)6,(,19.解. （1）设事件 A表示 x +2ax+b =0，有实数根，当 a0，b0 时，方程2
10、2x +2ax+b =0有实数根的充要条件是（2a） -4b 0 得 ab 3 分22 2基本事件有 12个（0，0） ， （0，1） ， （0，2） ， （1，0） ， （1，1） ， （1，2） ， （2，0） ， （2，1） ，（2，2） ， （3，0） ， （3，1） ， （3，2）第一个数表示 a的取值，第二个数表示 b的取值，事件A包含有 9个基本事件（0，0） ， （1，0） ， （1，1） ， （2，0） ， （2，1） ， （2，2） ， （3，0） ，（3，1） ， （3，2）事件 A发生的概率为 P（A）= = 6分943（2）实验的全部结果所构成的区域为 203|),(
11、bab，构成事件 A的区域为baab， 203|),( 所求的概率为 P=12分20证明：（1）四边形 ABCD是菱形， 2ADC在 E中， 3， 1E， 22EA 90，即 又 ， B 2 分 P平面 ， A平面 B， A又 P， E平面 ， 4 分又 平面 F，平面 平面 5分（2）由（1）知 平面 AB，而 E平面 PA，平面 PA平面 6分 平面 CD， P由（1）知 E，又 平面 ，又 平面 CD，平面 平面 8 分平面 PA是平面 B与平面 的公垂面所以， 就是平面 PA与平面 所成的锐二面角的平面角10 分在 RtE中， 22347，即 7PE又 2A， 7cos所以平面 B与平
12、面 C所成的锐二面角的余弦值为 12 分21.解：（1） ， OC过 原 点圆224t设圆 的方程是 ，)()(ytx，得 ；令 ，得0xty4,210tx,21，即： 的面积为定值6 分4| tOBASOB OAB（2） 垂直平分线段 ,CNMMN， 直线 的方程是 ，21,ocMNkkOCxy21t21解得 ， t或当 时，圆心 的坐标为 ， ，2t ),(5此时 到直线 的距离 ，圆 与直线 相交于两点C4xy9d42xy当 时，圆心 的坐标为 ， ，2t )1,2(5OC此时 到直线 的距离 , 圆 与直线 不相交，4xy9d 42xy不符合题意舍去2t圆 的方程为 12 分C5)1()2(2y22.解：（1）设直线 l的方程为 ()kx，向左平移 3个单位，向下平移 4个单位后得： 3434ykxkx依题意得 即 ；所以 3分40k3:40lx所以圆心 2(3 )C， 到 的距离为 :0lxy5所以被截得弦长为 . 6分24615（2）动圆 D是圆心在定圆 上移动，半径为 1的圆2(+)9xy设 ，则在 中， ，12ECF1RtPCE11cosCEP有 ,则221coss=11 21cosCEFPC由圆的几何性质得， ，即 ，1Drr14PC216则 的最大值为 ，最小值为 . 故 . 12分 1EF-27-817,8EF D P P F C1 E O x y
