1、- 1 -2017-2018 年第二学期蓝圃学校高二 95 班 4 月月考数学试题一.选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的请把答案填在答卷页的表格内1.已知集合 A1，2，3，4， B y|y3 x2， x A，则 A B 等于( )A. 1 B. 4 C. 1，3 D. 1，4【答案】D【解析】因为集合 B 中， x A，所以当 x1 时， y321；当 x2 时， y3224；当 x3 时， y3327；当 x4 时， y34210.即 B1,4,7,10又因为 A1,2,3,4，所以 A B1,4故选 D.视频2.设
2、 是纯虚数，若 是实数，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：设 ，则 ，所以 .考点：复数概念及其运算.【易错点晴】在复数的四则运算上,经常由于疏忽而导致计算结果出错.除了加减乘除运算外,有时要结合共轭复数的特征性质和复数模的相关知识,综合起来加以分析.在复数的四则运算中,只对加法和乘法法则给出规定,而把减法、除法定义为加法、乘法的逆运算.复数代数形式的运算类似多项式的运算,加法类似合并同类项；复数的加法满足交换律和结合律,复数代数形式的乘法类似多项式乘以多项式,除法类似分母有理化；用类比的思想学习复数中的运算问题.- 2 -3.已知命题 p：“ x1，2 ， x2
3、a0” ，命题 q：“ x0R，使 ”，若命题“ p 且 q”是真命题，则实数 a 的取值范围是( )A. a|a2 或 a1 B. a|a1 C. a|a2 或 1 a2 D. a|2 a1【答案】A【解析】【分析】先求解命题 为真命题时，实数 的范围，再由命题 且 为真命题，即可求解实数 的取值范围【详解】由题意，命题 为真命题，则 ， ，所以 ，命题 为真，则 ，解得 或 ，若命题 且 为真命题，则 的取值范围是 或 ，即实数 的取值范围是 或 ，故选 A【点睛】本题主要考查了复合命题的真假判定及应用，其中正确求解命题 为真命题时，实数 的范围，再由命题 且 为真命题求解是解答的关键，着
4、重考查了推理与运算能力4.已知条件 ，条件 ，若 p 是 q 的充分不必要条件，则 a 的取值范围为（ ）A. a3 B. a3 C. a-1 D. a-1【答案】D【解析】试题分析：由 x2-2x-30 可得 ，设 ， ，因为 p 是 q 的充分不必要条件，所以 ，可得 .考点：充分条件与必要条件.【名师点睛】判断充分条件和必要条件的方法(1)命题判断法：设“若 p，则 q”为原命题，那么：原命题为真，逆命题为假时，p 是 q 的充分不必要条件；原命题为假，逆命题为真时，p 是 q 的必要不充分条件；- 3 -原命题与逆命题都为真时，p 是 q 的充要条件；原命题与逆命题都为假时，p 是 q
5、 的既不充分也不必要条件(2)集合判断法：从集合的观点看，建立命题 p，q 相应的集合：p：Ax|p(x)成立，q：Bx|q(x)成立，那么：若 AB，则 p 是 q 的充分条件；若 AB 时，则 p 是 q 的充分不必要条件；若 BA，则 p 是 q 的必要条件；若 BA 时，则 p 是 q 的必要不充分条件；若 AB 且 BA，即 AB 时，则 p 是 q 的充要条件(3)等价转化法：p 是 q 的什么条件等价于非 q 是非 p 的什么条件5.函数 ysin( x )的部分图象如图，则 、 可以取的一组值是( )A. ， B. ， C. ， D. ，【答案】C【解析】【分析】根据函数的部分
6、图象，先确定函数的最小正周期，求得 的值，再代入点 ，即可求解相应的 的值即可【详解】由图象得 ，所以 ，又由 ，当 时， ，所以 ，解得 ，- 4 -当 时， ，故选 C【点睛】本题主要考查了三角函数点图象与性质，由函数的图象求解三角函数的解析式时，通常根据函数的最值确定 （振幅）的值，再由函数的最小正周期，确定 的值，最后代入特殊点求解相应的 的值，即可得到三角函数的解析式 ，着重考查了识图能力，以及推理与运算能力6.由 a11， 给出的数列 an的第 34 项是( )A. B. 100 C. D. 【答案】A【解析】【分析】由数列的递推关系式，分别求解出 ，再寻找出计算的规律，利用等差数
7、列的性质，即可求解【详解】由 ，则 ，由此可知各项分子为 1，分母构成等差数列 ，首项 ，公差为 ，所以 ，所以 ，故选 A【点睛】本题主要考查了数列的递推关系式的应用，其中明确数列的递推关系式，进行逐项求解，找出数列的构成规律是解答的关键，着重考查了推理与运算能力7.给出以下四个命题：若 ab0，则 a0 或 b0；若 ab，则 am2bm2；在 ABC 中，若 sinAsin B，则A B；在一元二次方程 ax2 bx c0 中，若 b24 ac0，则方程有实数根.其中原命题、逆命题、否命题、逆否命题全都是真命题的是( )A. B. C. D. 【答案】C- 5 -【解析】【分析】根据题意
8、，分别写出每个命题的逆命题、否命题和逆否命题，再判断它们的真假，即可得到答案【详解】对于，原命题是：若 ，则 或 ，是真命题，则其逆否命题是真命题；逆命题是：若 或 ，则 ，是假命题，则否命题是假命题；对于，原命题：若 ，则 ，是假命题，所以其逆否命题也是假命题；逆命题是：若 ，则 ，是真命题，则其否命题也是真命题；对于中，原命题：在 中，若 ，则 ，是真命题，则其逆否命题也是真命题；逆命题：在 中，若 ，则 ，是真命题，则其否命题也是真命题；对于中，原命题：在一元二次方程 中，若 ，则方程有实数根，是假命题，则其逆否命题也是假命题；逆命题：在一元二次方程 中，若方程有实数根，则 ，是假命题，
9、则其否命题也是假命题；所以原命题、逆命题、否命题、逆否命题中都是真命题的，只有，故选 C【点睛】本题主要考查了四种命题的书写及真假关系的判定，其中解答中熟记四种命题的书写，以及四种命题的真假关系是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题8.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( ) A. B. C. 13 D. 【答案】C【解析】试题分析：该三视图的几何体是三棱台 ，是正方体中的一部分，如图 ，- 6 -， ， ，所以故选 C考点：三视图，表面积【名师点睛】几何体的三视图，常常可以看作是由基本几何体（如正方体、长方体）切割出的几何体的三视图，因此由这样的三视图作直观图时，
10、可以画出正方体（或长方体） ，在此基础上切割并想象三视图得到所需几何体的直观图，这样画图有一个好处就是几何体中的线面关系（平行与垂直）非常清晰9.已知三角形的三边分别为 a， b， c，内切圆的半径为 r，则三角形的面积为 ；四面体的四个面的面积分别为 S1， S2， S3， S4，内切球的半径为 R.类比三角形的面积可得四面体的体积为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据几何体和平面图形的类比关系，三角形的边应与四面体中的各个面、面积与体积进行类比，利用类比推理，即可得到结论【详解】根据几何体和平面图形的类比关系，三角形的边应与四面体中的各个面进行类比，而面积与体积进行
11、类比，则 的面积为 ，对应于四面体的体积为 ，故选 B【点睛】本题考查了类比推理的应用，其中合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数- 7 -学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定正确而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下)10.甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字记为 a，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜的数字记为 b，且 a， b0，1，2，9.若| a b|1，则称甲乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏，则二人“心有灵犀”的概率为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意得甲乙两人
12、各猜一个数字，共有 种，再由一一列举出满足 的所包含的基本事件的个数，利用古典概型的概率计算公式，即可求解【详解】由题意，可知甲乙两人各猜一个数字，共有 (种)猜字结果，其中满足 的有：当 时， ；当 时， ；当 时， ；当 时， ；当 时， ；当 时， ；当 时， ；当 时， ；当 时， ；当 时， ，共有 种，所以他们“心有灵犀”的概率为 ，故选 A.【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算，其中解答中根据题意，得出基本事件的总数和找出事件所包含的基本事件的个数（列举法）是解答的关键，同时注意认真审题，合理作答，着重考查了推理与运算能力11.函数 f(x)2 x2ln x 的单调递减区
13、间是( )A. B. 和 C. D. 和【答案】A【解析】【分析】求出函数的导数，利用函数的导数小于 0，即可求解函数的递减区间- 8 -【详解】由题意，得 ，又当 时， ，所以函数 的单调递减区间是 ，故选 A.【点睛】本题主要考查了利用导数求解函数的单调区间，其中熟记导数的计算公式以及导数在函数中的应用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力12.已知双曲线 的左，右焦点分别为 F1， F2，点 P 在双曲线的右支上，且|PF1|4| PF2|，则此双曲线的离心率 e 的最大值为( )A. B. C. 2 D. 【答案】B【解析】【分析】根据双曲线的定义，求得 ，再由余弦定理，得 ，根据三角
14、函数的性质，得到当 时，离心率 取得最大值，即可求解【详解】由双曲线的定义知 又 ， 联立解得 ，在 中，由余弦定理，得 ，要求 的最大值，即求 的最小值，当 时，解得 ，即 e 的最大值为 ，故选 B.解法二：由双曲线的定义知 又 ， 联立解得，因为点 P 在右支所以 c- ,即 c- 故 c，即 e 的最大值为 ，故选 B.- 9 -【点睛】本题主要考查了双曲线的几何性质的求解，其中根据双曲线的定义求得 ，再在 中，利用余弦定理得到关于离心率 的关系式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，推理与运算能力，属于中档试题二.填空题：（只要求写出最后结果，并把结果写在答卷页的相应位置
15、上，每题 5 分，共 20分）13. 展开式中 x2的系数为_.【答案】60【解析】【分析】求出二项式 展开式的通项，再根据 ，即可求解 的系数【详解】因为 展开式的通项为 ，所以 展开式中 的系数为 故答案为 【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，其中熟记二项展开式的通项是解答此类问题的关键，着重考查了推理与运算能力14.曲线 y x32 x 在(1，1)处的切线方程为_.【答案】 x y20【解析】试题分析：根据导数的几何意义求出函数在 x=1 处的导数，从而得到切线的斜率，再利用点斜式方程写出切线方程即可解：y=2+3x 2y|x=1 =1而切点的坐标为（1，1）曲线 y=x32x 在
16、 x=1 的处的切线方程为 xy2=0故答案为：xy2=015.程序框图如图所示，该程序运行后输出的 S 的值是_.- 10 -【答案】【解析】【分析】根据给定的程序框图，逐次循环计算，得到计算的周期性，即可求解【详解】由程序框图知：第一次循环 ；第二次循环 ；第三次循环 ；第四次循环 ；第五次循环 ； ，则 S 值的周期为 ，跳出循环体的 值为 ，共循环了 次，输出的 .故答案为 【点睛】识别算法框图和完善算法框图是近年高考的重点和热点解决这类问题：首先，要明确算法框图中的顺序结构、条件结构和循环结构；第二，要识别运行算法框图，理解框图解决的问题；第三，按照框图的要求一步一步进行循环，直到跳
17、出循环体输出结果，完成解答近年框图问题考查很活，常把框图的考查与函数和数列等知识考查相结合16.已知向量 ， ， ，设 X 是直线 OP 上的一点( O 为坐标原点)，那- 11 -么 的最小值是_.【答案】8【解析】【分析】设直线 方程为 ，设出点 坐标为 ，利用向量的坐标运算，得到关于 的关系式，即可求解最小值【详解】直线 方程为 ，设点 坐标为 ，则 ，所以 ，当 时， 的最小值为 故答案为 .【点睛】本题主要考查了向量的坐标表示及向量的运算，其中根据直线 方程，设出点 的坐标，利用向量数量积的坐标运算得出关于 的关系式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力三、解答题：（本大题共 6 小
18、题，满分 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ）17. 中的内角 ， ， 的对边分别是 ，若 ， .（1）求 ；（2）若 ，点 为边 上一点，且 ，求 的面积.【答案】 （1） ；（2） .【解析】【分析】（1）因为 ，所以有 ，求得 ，再利用余弦的倍角公式，即可求解；（2）由余弦定理，化简得 ，解得 ，又 ，则 ，再三角形的面积公式，即可求解【详解】 （1）因为 ，所以有 .从而 .- 12 -故 . （2）由题意得， ，由余弦定理得， .即 ，化简得 ，解得 或 （舍去）.从而 ，又 ，则 .所以 .【点睛】本题主要考查了三角恒等变换和正弦、余弦定理解三角形的应用，在解有关三角
19、形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到18.某大学城校区与本部校区之间的驾车单程所需时间为 ， 只与道路畅通状况有关，对其容量为 500 的样本进行统计，结果如下：（分钟） 25 30 35 40频数（次） 100 150 200 50以这 500 次驾车单程所需时间的频率代替某人 1 次驾车单程所需时间的概率（1）求 的分布列与 ；（2）某天有 3 位教师独自驾车从大学城校区返回本部校区，记 表示这 3 位教师中驾车所用时间少于
20、 的人数，求 的分布列与 ；（3）下周某天张老师将驾车从大学城校区出发，前往本部校区做一个 50 分钟的讲座，结束后立即返回大学城校区，求张老师从离开大学城校区到返回大学城校区共用时间不超过 120分钟的概率【答案】 （1）见解析；（2）见解析；（3） .【解析】【分析】（1）以频率估计频率，即可取得 的分布列，求出期望，得到概率即可；（2）判断分布列是二项分布，然后列出分布列，利用公式求解期望；（3）设 分别表示往返所需时间，设事件 表示“从离开大学城校区到返回大学城校区共用事件不超过 120 分钟” ，则 - 13 -，求解概率即可【详解】 （1）以频率估计频率得 的分布列为：25 30
21、35 400.2 0.3 0.4 0.1 （分钟） ，（2） ， （ ） 0 1 2 3（3）设 ， 分别表示往返所需时间，设事件 表示“从离开大学城校区到返回大学城校区共用时间不超过 120 分钟” ，则【点睛】本题主要考查、随机变量的分布列和数学期望，其中认真审题，准确判断，得到得出离散型随机变量的分布列，求得概率和数学期望是解答关键，能很好的考查考生数学应用意识、基本运算求解能力等.19.如图，在四棱锥 中， 底面 ，底面 为矩形，且 ，为 的中点（1）过点 作一条射线 ，使得 ，求证：平面 平面 ；（2）求二面角 的余弦值的绝对值- 14 -【答案】 （1）见解析；（2） .【解析】试
22、题分析：（1）连线 和 交于点 ，连接 ，则 是 的中点，由中位线定理得 ，由线面平行的判定定理得以 平面 ；同理得 平面 ，进而由面面平行得判定定理可得结论；（2）分别以 ， ， 所在的直线为 轴， 轴， 轴建立如图所示的空间直角坐标系，分别求出平面 的一个法向量和平面 的一个法向量，进而用空间向量夹角余弦公式求解.试题解析：（1）证明：在矩形 中，连线 和 交于点 ，连接 ，则 是 的中点，由于 是 的中点，所以 是 的中位线，则 ，又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，又 ，同理得 平面 ，因为 ，所以平面 平面 （2）解：分别以 ， ， 所在的直线为 轴， 轴， 轴建立如图所示的空间直角
23、坐标系设 ，则 ， ，故 ， ， ， ，所以 ， ， ， ，设平面 的一个法向量为 ，则有 即 令 ，则 ，故 同理，可得平面 的一个法向量 ，所以 ，即二面角 的余弦值的绝对值为 - 15 -考点：1、线面、面面平行得判定定理；2、空间向量夹角余弦公式.20.已知椭圆 ： （ ）的右焦点为 ，且椭圆 上一点 到其两焦点 ，的距离之和为 （1）求椭圆 的标准方程；（2）设直线 ： （ ）与椭圆 交于不同两点 ， ，且 ，若点 满足 ，求 的值【答案】 （1） ；（2） 或 【解析】【分析】（1）由已知求得 ，又由 ，由此能求出椭圆的方程；（2）由 ，得 ，由此利用根的判别式、韦达定理、中垂线的
24、性质，结合已知，即可求出 的值【详解】 （1）由已知 ，得 ，又 ， ，椭圆 的方程为（2）由 得 直线 与椭圆 交于不同两点 、 ， ，得 ，设 ， ， 又由 ，得 ，解得 据题意知，点 为线段的中垂线与直线 的交点，设 的中点为 ，则 ，当 时， ，此时，线段 的中垂线方程为 ，即- 16 -令 ，得 当 时， ，此时，线段 中垂线方程为，即 令 ，得 综上所述， 的值为 或 【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常利用 的关系，确定椭圆（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系
25、数的关系，得到“目标函数”的解析式，确定函数的性质进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等21.已知函数 .（）当 时，求曲线 在 处的切线方程；（）当 时，若不等式 恒成立，求实数 的取值范围.【答案】 （I） ；（II） .【解析】分析：(1)先求切线的斜率和切点的坐标，再求切线的方程.(2)分类讨论求 ，再解0，求出实数 a 的取值范围.详解：（）当 时， ， ， ，即曲线 在 处的切线的斜率为 ，又 ，所以所求切线方程为 .（）当 时，若不等式 恒成立 ，易知 ，若 ，则 恒成立， 在 上
26、单调递增；又 ，所以当 时， ，符合题意 .若 ，由 ，解得 ，则当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增.- 17 -所以 时，函数 取得最小值.则当 ，即 时，则当 时， ，符合题意.当 ，即 时，则当 时， 单调递增， ，不符合题意.综上，实数 的取值范围是 .点睛：（1）本题主要考查导数的几何题意和切线方程的求法，考查利用导数求函数的最小值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理转化能力.(2)解答第 2 问由两次分类讨论，第一次是分类的起因是解不等式 时，右边要化成 ，由于对数函数定义域的限制所以要分类讨论，第二次分类的起因是 是否在函数的定义域 内,大家要理解掌握.请考生
27、在第 22、23 两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分22.已知在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数） ，在极坐标系（与直角坐标系 取相同的长度单位，且以原点 为极点，以 轴正半轴为极轴）中，直线的方程为 .（1）求曲线 在极坐标系中的方程；（2）求直线 被曲线 截得的弦长.【答案】 （1） ；（2）【解析】试题分析：（I）通过分类参数方程中的参数，利用同角三角函数的平方关系，消去参数 ，得到曲线 的直角坐标方程，在根据 化简可得曲线 在极坐标系中的方程；（II）利用普通方程求出交点坐标，得到弦长.试题解析：（I）曲线 的普通方程为 ，即
28、 ，将 代入方程 化简得 .所以，曲线 的极坐标方程是 .（II） 直线 的直角坐标方程为 ，- 18 -由 得直线 与曲线 C 的交点坐标为 ，所以弦长 .考点：参数方程与直角坐标方程、极坐标方程的互化与应用.23.(选修 4-5：不等式选讲)已知函数 （1）求不等式 的解集；（2）若实数 ，且 的最小值为 ，求 的最小值，并指出此时 的值【答案】 （1） ；（2）最小值为 ， .【解析】【分析】（1）把要解的不等式，分类讨论，转化为与之等价的不等式组，求出每个不等式组的解集，取并集，即可求解（2）利用绝对值三角不等式，求得 的最小值为 ，再利用基本不等式求得的最小值，以及此时 的值【详解】 （1）原不等式等价于 或 或 ，解得 或 ，综上所述，不等式 的解集为 .（2）依题意，可知 ， ，故，当且仅当 时等号成立.【点睛】本题主要考查了绝对值不等式问题，对于含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向
