1、- 1 -2018 年下期期中考试高二年级理科数学试题时量：120 分钟 分值：150 分一、选择题：本题共 12 小题 每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1不等式 x（x2）0 的解集是（ ） A（0，2） B（，0）（2，） C（，0） D（2，）2已知 那么一定正确的是（ ）dcba,A B C Dbdaccbdadbca3等比数列 an满足 a1=3， =6，则 ( ) 3357A21 B42 C63 D844.等轴双曲线 2(0)xy 1 的两条渐近线的夹角是（ ）A.30 B.45 C.60 D.905在ABC 中， ，则 b=（ ）
2、8,6,75aA. B. C. D. 6934396对于原命题：“已知 ，若 ，则 ”，以及它的逆命题、否命bcR、ab2cb题、逆否命题，在这 4 个命题中，真命题的个数为（ ）A0 个 B1 个 C2 个 D4 个7. “ ”是 “ ”的（ ） 2aln()0aA充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件8. 设 x,y 满足约束条件 ，则 的最大值为（ ）70315xy 2zxyA. 8 B.10 C. 3 D. 29我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7 层塔共挂了 381 盏
3、灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层共有灯（ ）A1 盏 B2 盏 C3 盏 D5 盏10在 ABC 中， AB ， AC1， B ，则 ABC 的面积等于 ( ) 3 6A. B. C. 或 D. 或334 32 3 32 34- 2 -11设 分别是双曲线 的左、右焦点若双曲线上存在点 ，使12,F21xyabM，且 ，则双曲线离心率为（ ）60M12FMA B C D3 2512将离心率为 的双曲线 的实半轴长 和虚半轴长 同时增加 个单位长1e1Ca()ba(0)m度，得到离心率为 的双曲线 ，则（ ） 22A对任意的 ， B当 时， ；当 时，,ab1e21
4、eb21eC对任意的 ， D当 时， ；当 时，,2baa二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13若 与 7 的等差中项为 4，则实数 _a14在ABC 中， ，b2，c3，则 A_15以双曲线 的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为_142yx16. 已知数列 是公差不为 0 的等差数列，对任意大于 2 的正整数 ，记集合na n的元素个数为 ，把 的各项摆成如图,1ijxNjijnncn所示的三角形数阵，则数阵中第 17 行由左向右数第 10 个数为_ 3c456c78c91012三解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 （本题满分 10
5、分） 已知 是首项为 ，公差为 的等差数列， 是其前 项的和，na1dnS且 ， 63S求数列 的通项 及5naS- 3 -18. （本题满分 12 分）在 中， 、 、 分别为角 、 、 所对的边，ABCabcABC2cos0bCac(1) 求角 的大小；(2) 若 ，求 外接圆的半径.=219 （本题满分 12 分）已知命题 ：( a2)(6 a)0；命题 ：函数 在 R 上pq()4)xfa是增函数；若命题“ 或 ”为真，命题“ 且 ”为假，求实数 的取值范围qp20. （本题满分 12 分）轮船 A 从某港口 C 将一些物品送到正航行的轮船 B 上，在轮船 A 出发时，轮船 B 位于港
6、口 C 北偏西 且与 C 相距 20 海里的 P 处，并正以 30 海里的航速30沿正东方向匀速行驶，假设轮船 A 沿直线方向以 v 海里/小时的航速匀速行驶，经过 t小时与轮船 B 相遇，若使相遇时轮船 A 航距最短，则轮船 A 的航行速度大小应为多少？- 4 -21.（本题满分 12 分）已知数列 是各项均为正数的等比数列，且na（1）数列 的通项公式；（2）设数列 满足1234,2,a nb，求该数列 的前 n 项和 .1.(*)5nbNbT22. （本题满分 12 分）已知椭圆 ， 为右焦点，圆 ， 为椭C：214xyF2:1OxyP圆 上一点，且 位于第一象限，过点 作 与圆 相切于
7、点 ，使得点 ， 在CPPTTFT的两侧.O（）求椭圆 的焦距及离心率；（）求四边形 面积的最大值.FT- 5 -2018 年下期期中考试高二年级理科数学答案命题人：蒋晖林 审题人：陈善明 时量：120 分钟 分值：150 分一、 选择题：ACBDB CBACD AD 11设 分别是双曲线 的左、右焦点若双曲线上存在点 ，使12,F21xyabM，且 ，则双曲线离心率为（ A ）1260M12MFA B C D3 25【解析】由点 在双曲线上，且 ，则 ，又 ，1124,MFa1260F所以在 中，由余弦定理得 ，解得12F264cos60a 3e12将离心率为 的双曲线 的实半轴长 和虚半轴
8、长 同时增加 个单位长e1C()ba(0)m度，得到离心率为 的双曲线 ，则（ D ） 22A对任意的 ， B当 时， ；当 时，,ab1e21eb21eC对任意的 ， D当 时， ；当 时，,2baa【解析】不妨设双曲线 的焦点在 轴上，即其方程为： ，则双曲线 的方程1Cx21xyb2C为：， ，)()(22mbyax2211abea，22 )(me当 时， ，所以 ，所以ab()(0)bababmbma，所以 ；当 时， ，2221e()()()0ab- 6 -所以 ，所以 ，所以 ；.bma22bma21e二填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13若 a 与 7 的
9、等差中项为 4，则实数 a_1_14在ABC 中， ，b2，c3，则 A_ 3C_15以双曲线 的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为_ _16. 已知数列 是公差不为 0 的等差数列，对任意大于 2 的正整数 ，记集合na n的元素个数为 ，把 的各项摆成如图,1ijxNjijnncn所示的三角形数阵，则数阵中第 17 行由左向右数第 10 个数为_293_ 【解析】设 1nad，则 12ijaijd，由题意 1ij，当 1i，2j时， ij 取最小值 1，当 n， 时， 2ij取最大值 3n，易知i可取遍 ,23n， ，即 3c.数阵中前 16 行共有116个数，所以第 17 行左数第 10
10、 个数为 1489c三解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 （本小题满分 10 分） 已知 是首项为 ，公差为 的等差数列， 是其前 项的na1dnS和，且 ， 63S求数列 的通项 及5nS解：由 ，有有 10653ad 解得 173ad 4 分7()0nn7 分21172S； 10 分18.在 中， 、 、 分别为角 、 、 所对的边， ABCabcABC2cos0bCac(1)求角 的大小；(2) 若 ，求 外接圆的半径.=解：（1） ，由余弦定理得：2cos0c- 7 -， -2 分220abca， -3 分则 -5 分221oscB . -7 分03(2
11、) 设 外接圆的半径为 ，由正弦定理知ACR-11 分242sinibRB,-12 分319 （本题满分 12 分）已知命题 ： (a2)(6 a)0；命题 ：函数 在 Rpq()4)xfa上是增函数；若命题“ 或 ”为真，命题“ 且 ”为假，求实数 的取值范围qa解： p 真时，( a2)(6 a)0，解得 21，解得 a3. 6 分由命题“ p 或 q”为真， “p 且 q”为假，可知命题 p， q 中一真一假 7 分当 p 真， q 假时，得 3 a6. 9 分当 p 假， q 真时，得 a2. 11 分因此实数 a 的取值范围是(，23,6) 12 分20.轮船 从某港口 C 将一些物
12、品送到正航行的轮船 上，在轮船 出发时，轮船 位于港口 C 北偏西 且与 C 相距 20 海里的 处，并正以 30 海里的航速沿正东方向匀速行驶，假设轮船 沿直线方向以 海里/小时的航速匀速行驶，经过 小时与轮船 相遇，若使相遇时轮船 航距最短，则轮船 的航行速度大小应为多少？解：设相遇时轮船 航行的距离为 海里，则.当 时， ， ，10 分- 8 -即轮船 以 海里/小时的速度航行，相遇时轮船 航距最短. 12 分21.（本小题满分 12 分）已知数列 是各项均为正数的等比数列，且na（1）数列 的通项公式；（2）设数列 满足1234,2,a nb，求该数列 的前 n 项和 .1.(*)5n
13、bNT解：（1）设等比数列 的公比为 ，由已知得 2 分naq2153aq又 ，解得 3 分10,aq12； 5 分2n（2）由 可得31.()51nbN当 时，有 ，12.23b，整理得 7 分1nn(),(2)nn当 符合上式,b 8 分1(2)nn设 ，2135()2nT 10 分3()2nn两式相减得 21(3)n nn 12 分()n22.已知椭圆 ， 为右焦点，圆 ， 为椭圆 上一点，且 位C：24xyF2:1OxyPCP于第一象限，过点 作 与圆 相切于点 ，使得点 ， 在 的两侧.PTTFT（）求椭圆 的焦距及离心率；（）求四边形 面积的最大值.O解：（）在椭圆 ： 中， ， ，所以 ，C214xy2a1b23cab故椭圆 的焦距为 ，离心率 5 分3c3e- 9 -（）设 （ ， ） ，0(,)Pxy00y则 ，故 214224x所以 ，222003| 1TOTyx所以 ， 03|Px|4OPST又 ， ，故 (,)(,)F0032Fy因此3()OPTTxSS四 边 形22000314xyy 由 ，得 ，即 ，2014xy2010x所以 ，36OFPTSy四 边 形当且仅当 ，即 ， 时等号成立. 12 分204xy02x0
