1、1福建师大附中 2018-2019 学年上学期期中考试高二数学试卷（文科）时间： 120 分钟 满分： 150 分试卷说明：（1）本卷共三大题，23 小题，解答写在答卷的指定位置上，考试结束后，只交答卷。（2）考试过程中不得使用计算器或具有计算功能的电子设备。第卷（选择题，共 60 分）一、选择题：每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的1某学校为了调查高一年级的 200 名学生完成课后作业所需时间，采取了两种抽样调查的方式：第一种由学生会的同学随机抽取 20 名同学进行抽查；第二种由教务处对该年级的学生进行编号，从 001 到 200，抽取学号最后
2、一位为 2 的同学进行调查则这两种抽样的方法依次是(*)A分层抽样，简单随机抽样 B简单随机抽样，分层抽样C分层抽样，系统抽样 D简单随机抽样，系统抽样2. 袋中装有黑、白两种颜色的球各三个，现从中取出两个球.设事件 P 表示“取出的都是黑球” ；事件 Q 表示“取出的都是白球” ；事件 R 表示“取出的球中至少有一个黑球” 则下列结论正确的是(*)A P 与 R 是互斥事件 B P 与 Q 是对立事件C Q 和 R 是对立事件 D Q 和 R 是互斥事件，但不是对立事件3. 已知 A， B 两名同学在 5 次数学考试中的成绩统计如茎叶图所示，若 A， B 两人的平均成绩分别是 xA， xB，
3、观察茎叶图，下列结论正确的是(*)A xAxB， B 比 A 成绩稳定C xAxB， A 比 B 成绩稳定4某商品的销售量 y(件)与销售价格 x(元/件)存在线性相关关系，根据一组样本数据(xi， yi)(i1,2， n)，用最小二乘法建立的回归方程为 10 x200，则下列结论y 2正确的是(*)A y 与 x 具有正的线性相关关系B若 r 表示变量 y 与 x 之间的线性相关系数，则 r10C当销售价格为 10 元时，销售量为 100 件D当销售价格为 10 元时，销售量在 100 件左右5.某公司的班车在 7:30，8:00，8:30 发车，小明在 7:50 至 8:30 之间到达发车
4、站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过 10 分钟的概率是(*)A.31B. C. D.223346.在等差数列 an中， a3 a927 a6， Sn表示数列 an的前 n 项和，则 S11(*)A18 B99 C198 D2977.如果 3 个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3 个数为一组勾股数，从 1，2，3，4，5 中任取 3 个不同的数，则这 3 个数构成一组勾股数的概率为(*)A. B. C. D.10018.设 , ,则 是 的(*)3log:2xp87:2xqpqA.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件9.
5、已知 na为等比数列， ， 568a，则 10a(*)472aA.7 B.5 C. D.10. 的内角 的对边分别为 成等比数列，且 ，则 (*)ABC、 cb、 ac2BosA. 41B.3C. 42D. 311为计算 1190S ，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入(*)A 1i B 2i C 3 D 4开 始0, 0N T S NT S输 出1i100i1NNi 11TTi结 束是 否312.在 中， ，则 的最大值为(*)ABC60,3Ao2BCA. B. C. D.7252卷（非选择题，共 90 分）二、填空题：每小题 5 分,共 30 分.13.将 2 本不同的数学书和 1
6、本语文书在书架上随机排成一行，则 2 本数学书相邻的概率为 * 14若 |b|； 2； ba，正确的有 * 1a1b ba ab15从某小学随机抽取 100 名同学，将他们的身高(单位：厘米)数据绘制成频率分布直方图(如下图)由图中数据可知 a * _，估计该小学学生身高的中位数为 * 16.若变量 满足约束条件 则 的最小值为 * ,xy329,6xy2zxy17.若关于 的不等式 在区间 上有解,则实数 的取值范围为 * 02m1m18. 在 中， 为 边上一点， ,若ABCD135,23ADBBC，则 * 2三、解答题:5 小题，共 60 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.19
7、.（本小题满分 12 分）在 ABC 中，内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c已知 bsinA=acos(B )6（）求角 B 的大小；（）若 3b， ABC 的面积为 32，求 ABC 的周长20.（本小题满分 12 分）已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为 240，160，160现采用分层抽样的方法从中抽取 7 名同学去某敬老院参加献爱心活动4（）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？（）设抽出的 7 名同学分别用 A， B， C， D， E， F， G 表示，现从中随机抽取 2 名同学承担敬老院的卫生工作（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果
8、；（ii）设 M 为事件“抽取的 2 名同学来自同一年级”，求事件 M 发生的概率21.（本小题满分 12 分）已知数列 是公差为 的等差数列，数列 满足na3nb， nbbb1213,，（）求 的通项公式；n（）求 的前 项和a22.（本小题满分 12 分）某公司计划购买 1 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个 200 元. 在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个 500 元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：16171819202
9、1件件件061016204记 x 表示 1 台机器在三年使用期内需更换的易损零件数， y 表示 1 台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元） ， n表示购机的同时购买的易损零件数.5（I）若 n=19，求 y 与 x 的函数解析式；（II）若要求“需更换的易损零件数不大于 n”的频率不小于 0.8，求 n的最小值；（III）假设这 100 台机器在购机的同时每台都购买 18 个易损零件，或每台都购买 19 个易损零件，分别计算这 100 台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买 1 台机器的同时应购买 18 个还是 19 个易损零件？23. (本小题满分 12 分)已
10、知数列 的前 项和为 ， =1， ， ，其中 为常数.nanS1a0n1nnaS()证明： ；2（）是否存在 ，使得 为等差数列？并说明理由.n6师大附中 20182019 学年度第一学期期中考试高二数学（文科）试题参考答案一、选择题：112：DCADB BCADB BA 二、填空题： 13 14 15. 16.17. 18.32370,. 63m52三、解答题：19. （）解：在 ABC 中，由正弦定理 ，可得 ，又由siniabABsiniAaB，得 ，即 ，可得 又sincos()6bAaBsincos()6aBcos()6t3因为 ，可得 B= 0， 3（II）因为 ABC 的面积为
11、2，所以 ，所以 ，又因为32sin1ac8ac，所以 ，所以 ABC 的周长为ac3os92 320 （）解：由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为 322，由于采用分层抽样的方法从中抽取 7 名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取 3 人，2 人，2 人（）（i）解：从抽出的 7 名同学中随机抽取 2 名同学的所有可能结果为A， B， A， C， A， D， A， E， A， F， A， G， B， C， B， D， B， E，B， F， B， G， C， D， C， E， C， F， C， G， D， E， D， F， D， G，E， F， E， G， F，
12、G，共 21 种（ii）解：由（） ，不妨设抽出的 7 名同学中，来自甲年级的是 A， B， C，来自乙年级的是 D， E，来自丙年级的是 F， G，则从抽出的 7 名同学中随机抽取的 2 名同学来自同一年级的所有可能结果为 A， B， A， C， B， C， D， E， F， G，共 5 种所以，事件 M 发生的概率为 P（ M）= 52121.（I）由已知， 121,3abb得 a，所以数列 na是首项为 2，公差为 3 的等差数列，通项公式为 n.（II）由（I）和 1n ，得 1nb，又因为212,3b因此 n是首项2,4,67为 1，公比为 3的等比数列.所以， nb通项公式为 ，所
13、以13nnb记 的前 项和为 nS，则1nnbana110 3323 nnS所以 nn 3231 2147631427 3131-23131312 3322-n1-n 1-n2 1-n1 S nSn nnn nn所 以所 以 22 （）当 19x时， 80y；当 19x时，57)(5038y，所以 y与 的函数解析式为)(,19,7,Nxx.（）由柱状图知，需更换的零件数不大于 19 的概率为 0.7，需更换的零件数不大于 20的概率为 0.9，故 n的最小值为 20.（）若每台机器在购机同时都购买 18 个易损零件，则这 100 台机器中有 46 台在购买易损零件上的费用为 3600，24
14、台的费用为 4100，20 台的费用为 4600，10 台的费用为5100，因此这 100 台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为 4070.若每台机器在购机同时都购买 19 个易损零件，则这 100 台机器中有 70 台在购买易损零件上的费用为 3800，20 台的费用为 4300，10 台的费用为 4800，因此这 100 台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为 4000.8比较两个平均数可知，购买 1 台机器的同时应购买 19 个易损零件.23.解：()由题设 ， ，两式相减nnaS121nnaS，由于 ，所以 121na0（）由题设 =1， ，可得 ，由()知212131a假设 为等差数列，则 成等差数列， ，解得 ；n 3,a324证明 时， 为等差数列：由 知4n24na数列奇数项构成的数列 是首项为 1，公差为 4 的等差数列21m 213ma令 则 ，21,nna(2)数列偶数项构成的数列 是首项为 3，公差为 4 的等差数列2m 241ma令 则 ，2,nn1na(2) （ ） ，1na*N1n因此，存在存在 ，使得 为等差数列. 4a
