1、1福建师大附中 2018-2019学年第一学期高三期中考试卷数学 (理科)本试卷共 4页 满分 150分，考试时间 120分钟注意事项：试卷分第 I卷和第 II卷两部分，将答案填写在答卷纸上，考试结束后只交答案卷.第 I卷 共 60分一、选择题：本大题有 12小题，每小题 5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1.设 集 合 A x|x2 3x 2 0， B=x|2x 4， 则 A B ( * ) A. R B. C. x|x 1 D. x|x 22.若复数 ( )是纯虚数,则复数 在复平面内对应的点在( * )i1aiaA. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D.
2、第四象限3. 已知命题 p：“ 0，都有 1ae成立” ，则命题 p为（* ）A 0a，有 1ae成立 B 0，有 1ae成立C ，有 成立 D ，有 成立4利用数学归纳法证明“( n1)( n2) ( n n)2 n13(2n1)， nN *”时，从“ n k”变到“ n k1”时，左边应增乘的因式是(* )A2 k1 B2(2 k1)C D2k 1k 1 2k 3k 15. 我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7层塔共挂了 381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2倍，则塔的顶层共有灯（*）A1
3、 盏 B3 盏 C5 盏 D9 盏6. 设 ，则 的大小关系为（* ）250.2log4,l,logabc,abcA B C. Dcbac7.记不等式组 解集为 ,若 ,则实数 的最小值是( ,1,2xyD* )2A0 B1 C2 D4 8.如图，在平面四边形 ACD中， B， A， 012B，B. 若点 E为边 上的动点，则 E的最小值为（ * ） A 216 B 32C 2516D 39.已知函数 （其中 为自然对数的底数） ，则 的大致图象大致1)(xef e)(xfy为( * )A. B. C. D10.如图，圆 O的半径为 1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角 的始边为射线 ，
4、终xOA边为射线 ，过点 作直线 的垂线，垂足为 ，将点 到直线 的距离表示为PMP的函数 ，则 = 在0, 上的图像大致为（* ）x()fy()fx11.已知函数 ()sin3cos(0),fxx若方程 ()1fx在 (0,)上有且只有四个实数根，则实数 的取值范围为（ * ）A. 137(,62 B. 725(,6 C. 25(,6 D. 37(,2612.已知关于 x的方程 2log(|)xeaxa有唯一实数解，则实数 a的值为（*）3A 1 B 1 C 1或 3 D 1或 3第卷 共 90分二：填空题：本大题有 4小题，每小题 5分.13.已知向量 ， 的夹角为 ， ， ，则 _*_.
5、 ab602a1b2ab14已知 满足约束条件 若目标函数 的最大值为xy、 ,xy0,zxyab7，则 的最小值为_*_. 34ab15甲和乙玩一个猜数游戏，规则如下：已知五张纸牌上分别写有 12n（*,5nN1）五个数字，现甲、乙两人分别从中各自随机抽取一张，然后根据自己手中的数推测谁手上的数更大 甲看了看自己手中的数，想了想说：我不知道谁手中的数更大；乙听了甲的判断后，思索了一下说：我也不知道谁手中的数更大假设甲、乙所作出的推理都是正确的，那么乙手中的数是_*_.16在数列 中，若存在一个确定的正整数 T，对任意 满足 ，则称na *nNnTa是周期数列，T 叫做它的周期.已知数列 满足
6、 ，n nx12,(1)x，若数列 的周期为 3，则 的前 100项的和为 * .21nxxnx三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分 12分）如图，在 ABC中, 3, 2BC,点 D在边 AB上, DC, EA, 为垂足.()若 D的面积为 ,求 的长; ()若 62E,求 A的大小.18.(本小题满分 12分）已知数列 na的前 和为 nS，若 0na， 21nnS（）求数列 的通项公式；（）若 3nb，求数列 nb的前 项和 nTEDCBA419.（本小题满分 12分）在直角坐标系 中，曲线 ,曲线 为参数)，以坐标原点为极点，以 轴正半轴为极轴，建立极
7、坐标系.Ox（）求曲线 的极坐标方程；（）已知射线 与曲线 分别交于点 （异于原点 ） ，当 时，求 的取值范围. 20.（本小题满分 12分）已知函数 （ ）.()1fxax0a（）当 2时，解不等式 ；()4f（）若 f，求 的取值范围21. （本小题满分 12分）函数 ()23sincos3s02xfxx，在一个周期内的图象如图所示, A为图象的最高点, B、 C为图象与 轴的交点,且 ABC为正三角形.（）求函数 ()f的解析式；（）将 x的图象上每个点的横坐标缩小为原来的 4倍（纵坐标不变） ，再向右平移3个单位得到函数 ()g，若设 ()x图象在 y轴右侧第一个最高点为 P，试问
8、()gx图象上是否存在点 ,2Q，使得 OPQ，若存在请求出满足条件的点 Q的个数，若不存在，说明理由.22.（本小题满分 12分）已知函数 ()2exfxa（）当 0a时，讨论 ()f的极值情况；（）若 1()0xf，求 的值5EDCBA福建师大附中 2018-2019学年第一学期高三期中考试卷解答数学 (理科)一、选择题：ABDBB ;DCADB,BA 二：填空题：本大题有 4小题，每小题 5分.13. , 14 7 15 78 166723三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分 12分）()由已知得 13sin2BCDSBA， 又 2，3sin2得 3分在
9、 中，由余弦定理得 22 2127cos33CBCBA，所以 D的长为 73 6分()因为 sin2iE 8分在 BC中，由正弦定理得 sinBCD，又 2BCA, 10分得 026sinsiA，11 分 解得 cos,所以 4即为所求. 12分18.(本小题满分 12分）解:（） 21nnaS， 24(1)nSa1 分当 1时， 14()，得 2 分当 时， 21n，1()nnS，3 分2211naa，即 111()()2()nnnaaa，0,n4 分数列 是等差数列，且首项为 1，公差为 2，5 分12()n6 分（）由（）可知， (2)3nnb，231153nT，7 分11()()nn
10、，8分得 23 1211()(2)3 3n nnT9分621113()3nn，10 分化简得 nnT12 分19.（本小题满分 12分）解：(1)因为 ，所以曲线 的普通方程为： ，由 ，得曲线 的极坐标方程 ，对于曲线 , ,则曲线 的极坐标方程为(2)由(1)得 , ，因为 ，则20.（本小题满分 12分）解：（1）f (x)2|x1|x2| 3x 4， x 1，x， 1 x 2，3x 4， x 2 )所以，f (x)在（,1上递减，在1，）上递增，又 f(0)f ( )4，故 f(x)4 的解集为 x|0x . 83 836分（2）若 a1，f (x)(a1)|x1|x1|xa|a1，当
11、且仅当 x1 时，取等号，故只需 a11，得 a2. .7分若 a1，f (x)2|x1|，f (1)01，不合题意. .9分若 0a1，f (x)a|x1|a|xa|(1a)|xa|a(1a)，当且仅当 xa 时，取等号，故只需 a(1a)1，这与 0a1 矛盾. .11分综上所述， a 的取值范围是2，). .12 分21. （本小题满分 12分）由已知得: ()23sincos3ssin3cos23sin2xfxxxx 2分 A为图象的最高点， A的纵坐标为 2,又 ABC为正三角形，所以 4BC3分 2T可得 8, 即 得 44分, ()3sin()4fxx5分,（）由题意可得 23s
12、ing, ,23P7分法一：作出如右下图象，由图象可知满足条件的点 Q是存在的，而且有两个8 分7注：以上方法虽然能够得到答案，但其理由可信度不高，故无法给满分.法二：由 OPQ得 0A，即 23sin0，即 24sin2，由此作出函数 2yx及yx图象，由图象可知满足条件的 Q点有两个.10 分(注：数形结合是我们解题中常用的方法，但就其严密性而言，仍有欠缺和不足.)法三：由 P得 0A，即 23sin0，即24sin02，问题转化为研讨函数 ()24si2hxx零点个数。 ()4coshxx， ()4sih，当 时， ()sin0h恒成立，从而说明函数 ()在 ,中是单调递增函数10 分，
13、又 ， ，故存在 0,2，使得 0()从而函数 在区间0,单调递减，在区间 ,2单调递增11 分 又 h， 2， 302h，由零点存在定理得:函数 ()hx在区间 3,和区间 3,2上各有一个零点12 分22.（本小题满分 12分）解：（） feexxaa 1分12x 因为 0，由 0fx得， 1或ln2xa当 e时， e0xfx， fx单调递增，故 f无极值2 分当 0时， ln21a , f, 的关系如下表：xlln2al,11,f+ 0 0 +单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增故 fx有极大值 2ln2lfa，极小值 1efa4 分8当 e2a时， ln1a x, f, fx的
14、关系如下表：1,ln2alln2,af+ 0 0 +x单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增故 f有极大值 1efa，极小值 2llf5 分综上：当 e02a时， 有极大值 2na，极小值 ea；当 时， fx无极值；当 e时， 有极大值 e，极小值 2l6 分（）令 ()egxfa，则 1()0xg （i）当 0a时， 20x，所以当 1时， e2xfa， gx单调递减， 所以 x，此时 ()，不满足题意8 分（ii）由于 g与 ()fx有相同的单调性，因此，由（）知：当 e2a时， 在 R上单调递增，又 10，所以当 1x时， 0；当 时， gx故当 时，恒有 1()xg，满足题意9 分当 e02a时， 在 ln2,a单调递减，所以当 ln,x时， ()0，此时 1()0g，不满足题意10 分当 e2a时， 在 1,ln2a单调递减，所以当 ,lx时， ()0gx，此时 1()0g，不满足题意 11 分 综上所述： e2a 12 分
