1、- 1 -辽宁省凌源二中 2018 届高三数学三校联考试题 理（含解析）第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 ， ，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】求解一元二次不等式可得： ，求解指数不等式可得： ，据此可得： ，本题选择 D 选项.2. 记复数 的虚部为 ，已知复数 （ 为虚数单位） ，则 为（ ）A. B. 2 C. D. 3【答案】A【解析】由题意可得： ，则 .本题选择 A 选项.3. 已知曲线 在点 处的切线的倾斜角为 ，则 （ ）A. B. C. 2
2、 D. 【答案】B【解析】由题意可得： ，则： ，结合同角三角函数基本关系可得： .本题选择 B 选项.点睛：同角三角函数基本关系式的应用：- 2 -(2)关于 sin ，cos 的齐次式，往往化为关于 tan 的式子4. 2017 年 8 月 1 日是中国人民解放军建军 90 周年，中国人民银行为此发行了以此为主题的金银纪念币.如图所示是一枚 8 克圆形金质纪念币，直径 ，面额 100 元.为了测算图中军旗部分的面积，现用 1 粒芝麻向硬币内投掷 100 次，其中恰有 30 次落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】根据题意，可估计军旗的面积大约
3、是 .故选 B.5. 已知圆 （ ） ，当 变化时，圆 上的点与原点 的最短距离是双曲线 （ ）的离心率，则双曲线 的渐近线为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】圆 E 的圆心到原点的距离 ，据此可得，当 m=4 时，圆 上的点与原点 的最短距离是 ，即双曲线的离心率为 ，据此可得： ，双曲线 （ ）的渐近线为 .- 3 -本题选择 C 选项.6. 已知数列 为等比数列，且 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由等比数列的性质可得： ，结合 可得： ，结合等比数列的性质可得： ，即： .本题选择 B 选项.7. 执行如图的程序框图，若输出的 的值为 ，则中应填（
4、）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意可得： ，即 时推出循环，则中应填 .本题选择 C 选项.8. 已知函数 为 内的奇函数，且当 时， ，记， ， ，则 间的大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】利用奇函数的性质 可得： ，即当 时，函数的解析式为： ，令 ，由函数的奇偶性的定义可得函数 g(x)是定义域内的偶函数，且： ，- 4 -即函数 在区间 上单调递减，且： ，结合函数的单调性可得： .本题选择 C 选项.9. 已知一几何体的三视图如图所示，俯视图是一个等腰直角三角形和半圆，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】结合三视图
5、可知，该几何体是一个半圆柱与一个底面是等腰直角三角形的三棱锥组成的组合体，其体积为： .本题选择 D 选项.点睛：(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解10. 已知函数 （ ）的部分图象如图所示，其中.即命题 ，命题 ：将 的图象向右平移 个单位，得到函数 的图象 .则以下判断正确的是（ ）A. 为真 B. 为假C. 为真 D. 为真- 5 -【答案】C【解析】由 可得： ，解得： ，结合 可得： ，结合 可得：
6、 ，函数的解析式为： ，则命题 p 是真命题.将函数 的图像上所有的点向右平移 个单位，所得函数的解析式为：的图像，即命题 q 为假命题，则 为假命题； 为真命题； 为真命题； 为假命题.本题选择 C 选项.11. 抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线的焦点为 ，一条平行于 轴的光线从点 射出，经过抛物线上的点 反射后，再经抛物线上的另一点 射出，则 的周长为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】抛物线方程中：令 可得 ，即 ，结合抛物线的光学性质， AB 经过焦点
7、 F，设执行 AB 的方程为 ，与抛物线方程联立可得： ，据此可得： ，且： ，将 代入 可得 ，故 ，故 ,故 ABM 的周长为 ,本题选择 D 选项.- 6 -12. 已知数列 与 的前 项和分别为 ， ，且 ， ， ，若 ， 恒成立，则 的最小值是（ ）A. B. 49 C. D. 【答案】C【解析】当 时， ，解得： 或 (舍去)，且： ，两式作差可得： ，整理可得： ，结合数列为正项数列可得： ,数列 是首项为 3，公比为 3 的等差数列， ，则： ，据此裂项求和有：结合恒成立的条件可得： .本题选择 C 选项.点睛：使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切
8、不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 已知在 中， ， ，若边 的中点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，则 _.- 7 -【答案】1【解析】依题意，得 ，故 是以 为底边的等腰三角形，故 ，所以 .所以 .14. 在 的展开式中，含 项的为 ， 的展开式中含 项的为 ，则的最大值为 _.【答案】【解析】 展开式的通项公式为： ，令 可得： ，则 ，结合排列组合的性质可知 ，由 ，当且仅当 时等号成立.综上可得： 的最大值为 .(2)求两个多项式的积的特定项，可
9、先化简或利用分类加法计数原理讨论求解15. 已知 满足 其中 ，若 的最大值与最小值分别为 1， ，则实数 的取值范围为_.【答案】【解析】作出可行域如图所示（如图阴影部分所示）- 8 -设 ，作出直线 ，当直线 过点 时， 取得最小值 ；当直线 过点 时， 取得最大值 .即 ，当 或 时， .当 时， .所以 ，解得 .点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.16. 在九章算术中，将四个面都
10、为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑（bi no）.已知在鳖臑 中， 平面 ， ，则该鳖臑的外接球与内切球的表面积之和为_.【答案】【解析】设 的中点为 ，如图，由 ，且 为直角三角形，得 .由 两两垂直，可知 为 和 的斜边，故点 到点 的距离相等，故点 为鳖臑的外接球的球心，设高鳖臑的外接球的半径与内切球的半径分别为 ,- 9 -则由 .得 ，解得 .由等体积法，知 .即 ，解得 .故该鳖臑的外接球与内切球的表面积之和为.三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知向量 ， ，设函数 .将函数 的图象向右平移 个单位，得到函数 的图象.
11、（1）若 ，求函数 的值域；（2）已知 分别为 中角 的对边，且满足 ， ， ，求 的面积.【答案】(1) ；(2) .【解析】试题分析：(1)结合题意可得 . .结合函数的定义域和三角函数的性质可得函数 的值域是 ；(2)由题意得到三角方程： .据此可得 ，然后利用余弦定理求得 .最后利用面积公式可得 的面积是 .试题解析：（1）由题意，得.所以- 10 -.因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，所以函数 的值域为 .（2）因为 ，所以 .因为 ，所以 .所以 ，解得 .所以 .又 ，且 ， ，所以 .所以 的面积 .18. 如图，在四棱锥 中，底面 为直角梯形，其中 ， ，侧面平面 ，且 ，动点
12、 在棱 上，且.（1）试探究 的值，使 平面 ，并给予证明；（2）当 时，求直线 与平面 所成的角的正弦值.- 11 -【答案】(1)当 时， 平面 .证明见解析；(2) .【解析】试题分析：（1）连接 交 于点 ，连接 通过证得 ，即可证得 平面 ；（2）取 的中点 ,连接 ，可得 两两垂直，建立空间直角坐标系，设 与平面 所成的角为 ，则 ， 为平面 的一个法向量.试题解析：（1）当 时， 平面 .证明如下：连接 交 于点 ，连接 . ， . ， . .又 平面 ， 平面 ， 平面 .（2）取 的中点 ,连接 .则 .平面 平面 ，平面 平面 ，且 ， 平面 . ，且 ，四边形 为平行四边
13、形， .又 ， .由 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系 .则 ， ， ， ， ， .当 时，有 ，可得 .- 12 - ， ， .设平面 的一个法向量为 ，则有 即令 ，得 ， .即 .设 与平面 所成的角为 ，则 .当 时，直线 与平面 所成的角的正弦值为 .点睛：高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面：求异面直线所成的角，关键是转化为两直线的方向向量的夹角；求直线与平面所成的角，关键是转化为直线的方向向量和平面的法向量的夹角；求二面角，关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键.19. 如今我们的互联网生活日益丰富，除了可以很方
14、便地网购，网上叫外卖也开始成为不少人日常生活中不可或缺的一部分.为了解网络外卖在 市的普及情况， 市某调查机构借助网络进行了关于网络外卖的问卷调查，并从参与调查的网民中抽取了 200 人进行抽样分析，得到下表：（单位：人）（1）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过 0.15 的前提下认为 市使用网络外卖的情况与性别有关？（2）现从所抽取的女网民中利用分层抽样的方法再抽取 5 人，再从这 5 人中随机选出 3人赠送外卖优惠券，求选出的 3 人中至少有 2 人经常使用网络外卖的概率；将频率视为概率，从 市所有参与调查的网民中随机抽取 10 人赠送礼品，记其中经常使用网络外卖的人数为 ，求 的数学
15、期望和方差.参考公式： ，其中 .- 13 -参考数据：【答案】(1)不能在犯错误的概率不超过 0.15 的前提下认为 市使用网络外卖情况与性别有关.(2) ； ； .【解析】试题分析：（1）计算 的值，进而可查表下结论；（2）由分层抽样的抽样比计算即可；由 列联表，可知抽到经常使用网络外卖的网民的频率为 ，将频率视为概率，即从 市市民中任意抽取 1 人，恰好抽到经常使用网络外卖的市民的概率为 ，由题意得.试题解析：（1）由列联表可知 的观测值， .所以不能在犯错误的概率不超过 0.15 的前提下认为 市使用网络外卖情况与性别有关.（2）依题意，可知所抽取的 5 名女网民中，经常使用网络外卖的
16、有 （人） ，偶尔或不用网络外卖的有 （人）.则选出的 3 人中至少有 2 人经常使用网络外卖的概率为 .由 列联表，可知抽到经常使用网络外卖的网民的频率为 ，将频率视为概率，即从 市市民中任意抽取 1 人，恰好抽到经常使用网络外卖的市民的概率为 .由题意得 ，所以 ；- 14 -.20. 已知椭圆 （ ）的左、右焦点分别为点 ，其离心率为 ，短轴长为 .（1）求椭圆 的标准方程； （2）过点 的直线 与椭圆 交于 两点，过点 的直线 与椭圆 交于 两点，且，证明：四边形 不可能是菱形.【答案】(1) ；(2)证明见解析.【解析】试题分析：（1）由 ， 及 ，可得方程；（2）易知直线 不能平行
17、于 轴，所以令直线 的方程为 与椭圆联立得，令直线 的方程为 ，可得 ，进而由 是菱形，则 ，即 ，于是有 由韦达定理代入知无解.试题解析：（1）由已知，得 ， ，又 ，故解得 ，所以椭圆 的标准方程为 .（2）由（1） ，知 ，如图，易知直线 不能平行于 轴.所以令直线 的方程为 ， .- 15 -联立方程 ，得 ，所以 ， .此时 ，同理，令直线 的方程为 ， ，此时 ， ，此时 .故 .所以四边形 是平行四边形.若 是菱形，则 ，即 ，于是有 .又 ，所以有 ，整理得到 ，即 ，上述关于 的方程显然没有实数解，故四边形 不可能是菱形.21. 已知函数 （ ） ，其中 为自然对数的底数.（
18、1）讨论函数 的单调性及极值；（2）若不等式 在 内恒成立，求证： .【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.【解析】试题分析：(1)由题意可得导函数的解析式 ，分类讨论可得：当 时， 在内单调递增，没有极值；当 时， 在区间 内单调递减，在区间- 16 -内单调递增， 的极小值为 ，无极大值.（2）分类讨论：当 时， 明显成立；当 时，由（1） ，知 在 内单调递增，此时利用反证法可证得结论；当 时，构造新函数 ，结合函数的单调性即可证得题中的结论.试题解析：（1）由题意得 .当 ，即 时， ， 在 内单调递增，没有极值.当 ，即 时，令 ，得 ，当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单
19、调递增，故当 时， 取得极小值 ，无极大值.综上所述，当 时， 在 内单调递增，没有极值；当 时， 在区间 内单调递减，在区间 内单调递增， 的极小值为 ，无极大值.（2）当 时， 成立.当 时，由（1） ，知 在 内单调递增，令 为 和 中较小的数，所以 ，且 ，则 ， .所以 ，与 恒成立矛盾，应舍去.当 时， ，- 17 -即 ，所以 .令 ，则 .令 ，得 ，令 ，得 ，故 在区间 内单调递增，在区间 内单调递减.故 ，即当 时， .所以 .所以 .而 ，所以 .请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 在平面直角坐标系 中，已知曲线 的参数方程
20、为 （ ， 为参数）.以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 .（1）当 时，求曲线 上的点到直线 的距离的最大值；（2）若曲线 上的所有点都在直线 的下方，求实数 的取值范围.【答案】(1) ；(2) .【解析】试题分析：(1)由题意结合点到直线距离公式可得距离的解析式为 ，结合三角函数的性质可得曲线 上的点到直线 的距离的最大值为 .(2)原问题等价于对 ，有 恒成立，结合恒成立的条件可得实数- 18 -的取值范围是 .试题解析：（1）直线 的直角坐标方程为 .曲线 上的点到直线 的距离，当 时， ，即曲线 上的点到直线 的距离的最大值为
21、 .（2）曲线 上的所有点均在直线 的下方，对 ，有 恒成立，即 （其中 ）恒成立， .又 ，解得 ，实数 的取值范围为 .23. 已知函数 .（1）解不等式 ；（2）记函数 的值域为 ，若 ，证明： .【答案】(1) ；(2)证明见解析.【解析】试题分析：(1)将函数的解析式写成分段函数的形式，然后分类讨论可得不等式的解集为；(2)利用绝对值不等式的性质可得， g(x)的值域为 .然后结合恒成立的条件即可证得题中的不等式.试题解析：（1）依题意，得于是得- 19 -或 或解得 .即不等式 的解集为 .（2） 当且仅当 时，取等号， .原不等式等价于. ， ， . . .点睛：绝对值不等式的解法： 法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想
