1、- 1 -2018-2019 学年度上学期期中考试高一年级数学试卷答题时间：120 分钟 满分：150 分 命题人：高一备课组一、 选择题（本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分）1.命题“存在 R， 0”的否定是 0x02xA.不存在 R, 0 B.存在 R, 0 0x2xC.对任意的 , 0 D.对任意的 , 00x R2.已知全集为 ，集合 ， ，则集合R21|M1)2(ln|xN（ ）)(NC.A1,.B1,.C2,1.D2,13如果 ，那么下列各式一定成立的是（ ）0abA B C D2acb2abab4. 已知函数 ，则 =（ ）0,log)(5xxf )51(fA. B
2、 C D4414415.矩形 ABCD 中，AB=4，BC=3，沿 AC 将三角形 ABC 折起，得到的四面体 ABCD 的体积的最大值为（ ）A. B C D4312524556. 的一个充分但不必要的条件是 ( )025xA. B. C. D. 102x61x213x7.已知互不重合的直线 ,互不重合的平面 ,给出下列四个命题，正确命题的个数是ab若 ， ， ，则 a/a/b若 ， ， 则若 ， ， ，则 若 ， ，则 /a/- 2 -A1 B 2 C 3 D 48. 已知 ，则 的 ( )0,0xyzxyz2xzyA 最大值为 B最小值为 818C 最大值为 D最小值为9已知直线 m、
3、n 及平面 ，其中 m n，那么在平面 内到两条直线 m、 n 距离相等的点的集合可能是：（1）一条直线；（2）一个平面；（3）一个点；（4）空集。其中正确的是（ ）A （1） （2） （3） B （1） （4） C （1） （2） （4） D （2） （4）10函数 ，若 ， ， ，则有（ ）xefaflnbf1ln3cfA B C Dcbabccabca11.设函数 ， ，若 ，使得 和2()3fx()2gx0xR0()fx同时成立，则 的取值范围为( )0()gA. B. C. D.7,6,(,)(7,)(,2)12将边长为 2 的正ABC 沿着高 AD 折起，使BDC=120，若折起后
4、 A、B、C、D 四点都在球 O 的表面上，则球 O 的表面积为( )A B C D7713213二、填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分）13.已知圆锥的母线长为 4cm，圆锥的底面半径为 1cm，一只蚂蚁从圆锥的底面 A 点出发，沿圆锥侧面爬行一周回 到点 A，则蚂蚁爬行的最短路程长为 cm14. 已知 ，则 的最小值是 0,21xyx4xy15.若函数 在区间 上为单调递减函数，则实数 的取值范围()log()af(,1a为_16一个半径为 1 的小球在一个内壁棱长为 的正四面体容器内可向各个方向自由运动，36则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是 - 3 -三、解
5、答题（本大题共 6 小题，共 70 分）17. (本题满分 10 分)已知幂函数 在 上单调递增，函数 .24(1mfxx(0,)()2xgk（）求 的值；（）当 时，记 ， 的值域分别为集合 ，设命题 ,命题,()fgx,ABAp:，若命题 是 成立的必要条件，求实数 的取值范围.Bxq:pqk18. (本题满分 12 分)解关于 的不等式x102ax19(本题满分 12 分)如图，在三棱柱 ABCA 1B1C1中，D 是 AC 的中点，A 1D平面 ABC，AB=BC，平面 BB1D 与棱A1C1交于点 E（）求证：ACA 1B；（）求证：平面 BB1D平面 AA1C1C；20. (本题满
6、分 12 分)某厂家拟在 2019 年举行促销活动，经过调查测算，该产品的年销量（即该厂的年产量）（单位：万件）与年促销费用 （ ） （单位：万元）满足 （ 为常数）. xt0421kxt如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是 1 万件. 已知 2019 年生产该产品的固定投入为 6 万元，每生产 1 万件该产品需要再投入 12 万元，厂家将每件产品 的销售价格定为每件产品平均成本的 1.5 倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分）.- 4 -（）将该厂家 2019 年该产品的利润 万元表示为年促销费用 万元的函数；yt（）该厂家 2019 年的年促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？21.
7、 (本题满分 12 分)如图 C,D 是以 AB 为直径的圆上的两点， ,F 是 AB 上的一点，且23,ABDACB,将圆沿 AB 折起，使点 C 在平面 ABD 的射影 E 在 BD 上，已知13AFB 2E(1)求证：AD 平面 BCE（2）求证 AD/平面 CEF；（3）求三棱锥 A-CFD 的体积22(本题满分 12 分)已知函数 ，若同时满足以下条件：(fxD 在 D 上单调递减或单调递增；()存在区间 ，使 在 上的值域是 ，那么称 为闭函,ab()fx,ab,ab()fxD数（1）求闭函数 符合条件的区间 ；3()f,（2）判断函数 是不是闭函数？若是请找出区间 ； 若不是请说
8、明理由；2lgx,ab（3）若 是 闭函数，求实数 的取值范围()fkk- 5 -答案和解析1.D2. 【答案】D【解析】试题分析： ,1|0|22xMx,选 D1|(ln)=|Nx=|1()|12RRCNMCNx3.C【分析】根据不等式的性质判断即可【解答】解：ab0，ab0，a+b0， ，（ab） （a+b）=a 2b 20，即 a2b 2，故 C 正确，A，D 不正确当 c=0 时，ac=bc，故 B 不一定正确，故选：C【点评】本题考查了不等式的性质，掌握基本性质是关键，属于基础题4.解：由题 ，选 B. 5111()(log)(224fff5.【分析】当平面 ABC平面 ACD 时，
9、得到的四面体 ABCD 的体积取最大值，由此能求出四面体 ABCD 的体积的最大值【解答】解：矩形 ABCD 中，AB=4，BC=3，沿 AC 将三角形 ABC 折起，当平面 ABC平面 ACD 时，得到的四面体 ABCD 的体积取最大值，此时点 B 到平面 ACD 的距离 d= = = ，SADC = =6，四面体 ABCD 的体积的最大值为：V= = = 故选：C6.B7. C- 6 -8.解析： . 选 Axzy2 xz x 2z 2 xzx2 4xz 4z2 1xz 4zx 4 189.C10.D11.【答案】A【解析】试题分析：函数 的图象恒过定点（1，4） ， 的 图象恒2()3f
10、xa()2gxa过定点（2，0） ，利用这两个定点，结合图象解决由 知 ，又存在 ，使得 ，2()fx0ff（ ） ， （ ） 0R0f（ ） 知 即 或 ，另 中恒过（2，0） ，43a2a6()gxa故由函数的图象知：a=0 时， 恒大于 0，显然不成立223fxax（ ）若 时， ， ；000g7,af若 a0 时， ，002x此时函数 图象的对称 ，故函数在区间 为增函数，2()3fa12x2a（ ， ）又 不成立故选 A.014ffx，考点：一元二次不等式的解法- 7 -12.【分析】由题意，将边长为 2 的正ABC 沿着高 AD 折起，使BDC=120，可得三棱锥ABCD，且 AD
11、 垂直于底面BCD，求解底面BCD 外接圆，利用球心与圆心垂直构造直角三角形即可求解球 O 的半径，可得球 O 的表面积【解答】解：由题意，将边长为 2 的正ABC 沿着高 AD 折起，使BDC=120，可得三棱锥ABCD，且 AD 垂直于底面BCD，底面BCD 中BDC=120，DC=DB=1，那么 BC= ，底面BCD 外接圆半径：2r= ，即 r=1AD 垂直于底面BCD，AD= ，球心与圆心的距离为 ，球心与圆心垂直构造直角三角形，球 O 的半径 R2= = 球 O 的表面积 S=4R 2=7故选：B【分析】要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结
12、果13.【解答】解：由题意知，底面圆的直径为 2，故底面周长等于 2设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为 n，根据底面周长等于展开后扇形的弧长得，2= ，解得 n=90，所以展开图中圆心角为 90，根据勾股定理求得到点 A 的最短的路线长是： 【点评】本题考查蚂蚁爬行的最短路程长的求法，考查圆锥的展开图等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题14.642- 8 -15. 【分析】因为函数 f（x）=log a（x 2ax+2）为函数 y=logax 与 y=x2ax+2 的复合函数，复合函数的单调性是同则增，异则减，讨论 a1，0a1，结合二次函数的单调性，同时还要保证真数恒大于
13、零，由二次函数的图象和性质列不等式即可求得 a 的范围【解答】解：函数 在区间（，1上为单调递减函数，a1 时，y=x 2ax+2 在（，1上为单调递减函数，且 x2ax+20 在（，1）上恒成立，需 y=x2ax+2 在（，1上的最小值 1a+2=3a0，且对称轴 x= a1，2a3；0a1 时，y=x 2ax+2 在（，1上为单调递增函数，不成立综上可得 a 的范围是2，3） 16. 4817 解：（）依题意得： 或2(1),0m2m当 时， 在 上单调递减，与题设矛盾，舍去2m2()fx0, 4 分 0（）当 时， ， 单调递增， ，1,()fgx 1,42,4ABk由命题 是 成立的必
14、要条件，得 ， pqB 20k10 分18.解：原不等式等价于 (1)20ax(1)当 时， 解集为0a,(2)当 时，原不等式可化为 ，()x因为 ， 所以解集为12a1,2)a(3)当 时， ， 解集为01(,)(,)a(4)当 时，原不等式等价于 ， 即 ，220x2()0x解集为 (,)(,)- 9 -(5)当 时， ， 解集为12a1(,)(2,)a综上所述，当 时，解集为 ； 当 时，解集为 ；001(,2)a当 时，解集为 ； 当 时，解集为0(,2)(,)(,)说明：每种情况 2 分，最后综上 2 分19.【分析】 （）推导出 A1DAC，BDAC，从而 AC平 面 A1BD，
15、由此能证明 ACA 1B（）推导出 A1DBD，BDAC，从而 BD平面 A1ACC1，由此能证明平面 BB1D平面AA1C1C（）推导出 B1BA 1A，从而 B1B平面 A1ACC1，由此能证明 B1BDE【解答】证明：（）因为 A 1D平面 ABC，所以 A 1DAC 因为ABC 中，AB=BC，D 是 AC 的中点，所以 BDAC 因为 A 1DBD=D，（3 分）所以 AC平面 A1BD 所以 ACA 1B （） 因为 A 1D平面 ABC，因为 BD平面 ABC，所以 A 1DBD 由（）知 BDAC因为 ACA 1D=D，所以 BD平面 A1ACC1 因为 BD平面 BB1D，所
16、以 平面 BB1D平面 AA1C1C 20.解：（）由题意有 4k，得 3 1 分- 10 -故 34.21xt 6 35(2)36(4)21xyxtxtt870t6 分（）由（）知： 191225()2759215yttt当且仅当 9,2t即 时， y有最大值. 11 分答: 2019 年的年促销费用投入 2.5 万元时，该厂家利润最大. 12 分21 （本小题满分 12 分）（1）证明：依题意： ADB平面 CECEAD 平面 4 分B（2）证明： 中， ， BRt262E中， ， AD3A3 EFF/在平面 外， 在平面 内，CCE 平面 8 分/AD（3）解：由（2）知 ， ，且EF/
17、AD1BED 到 的距离等于 到 的距离为 1 F 23FAS平面 CB 12 分62331CESVFADAFDA- 11 -22.【分析】 （1）由 y=x 3在 R 上单减，可得 ，可求 a，b（2）由函数 y=2x+lgx 在（0，+）单调递增可知 即 ，结合对数函数的单调性可判断（3）易知 y=k+ 在2，+）上单调递增设满足条件 B 的区间为a，b，则方程组有解，方程 x=k+ 至少有两个不同的解，即方程 x2（2k+1）x+k22=0 有两个都不小于 k 的不根结合二次方程的实根分布可求 k 的范围另解：（1）易知函数 f（x）=x 3是减函数，则有 ，可求（2）取特值说明即可，不
18、是闭函数（3）由函数 f（x）=k+ 是闭函数，易知函数是增函数，则在区间a，b上函数的值域也是a，b，说明函数 f（x）图象与直线 y=x 有两个不同交点，结合函数的 图象可求【解答】解：（1）y=x 3在 R 上单减，所以区间a，b满足解得 a=1，b=1（2） 函数 y=2x+lgx 在（0，+）单调递增假设存在满足条件的区间a，b，ab，则即lgx=x 在（0，+）有两个不同的实数根，但是结合对数函数的单调性可知，y=lgx 与y=x 只有一个交点故不存在满足条件的区间a，b，函数 y=2x+lgx 是不是闭函数（3）易知 y=k+ 在2，+）上单调递增设满足条件 B 的区间为a，b，
19、则方程组有解，方程 x=k+ 至少有两个不同的解即方程 x2（2k+1）x+k 22=0 有两个都不小于 k 的不根- 12 - 得 ，即所求另解：（1）易知函数 f（x）=x 3是减函数，则有 ，解得 ，（2）函数 y=2x+lgx 在（0，+）单调递增假设存在满足条件的区间a，b，ab，则即lgx=x 在（0，+）有两个不同的实数根，但是结合对数函数的单调性可知，y=lgx 与 y=x 只有一个根，所以，函数 y=2x+lgx 是不是闭函（3）由函数 f（x）=k+ 是闭函数，易知函数是增函数，则在区间a，b上函数的值域也是a，b，说明函数 f（x）图象与直线 y=x 有两个不同交点，令 k+则有 k=x = ，（令 t= ） ，如图则直线若有两个交点，则有 k 【点评】本题主要考查了函数的单调性的综合应用，方程的解与函数的交点的相互转化关系的应用，综合应用了函数的知识及数形结合思想、转化思
