1、- 1 -绥芬河市高级中学 2018-2019学年度第一学期期中考试高二文科数学（分值：150 分 考试时间：120 分钟）第 I卷（选择题）一、选择题：（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分.）1过点 ，斜率为 1的直线方程是( )A B C D 2已知 ，则“ ”是 ，的（ ）A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件3若命题 p是假命题，命题 q是真命题，则（ ）Apq 是真命题 Bpq 是假命题 Cp 是假命题 Dq 是假命题4某单位青年职工、中年职工、老年职工的人数之比为 7:5:3，为了
2、了解该单 位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本 . 若样本中的青年职工为 14人，则样本容量为（ ）A14 B30 C35 D25 5阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（ ）A3 B11 C100 D1236一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）A B C D321323127直线 l： y k(x2)2 与圆 C： x2 y22 x2 y0 相切，则直线 l的斜率为( )A1 B2 C1 D28若 ， 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，则下列命题正确的是- 2 -A 若 ， ， ，则 B 若 ， ， ，则C 若 ， ， ，则 D 若 ， ，
3、 ，则9 的焦点到渐近线的距离为A B 2 C 1 D 10假设你家订了一份牛奶，奶哥在早上 6:007:00 之间随机地把牛奶送到你家，而你在早上 6:307:30 之间随机地离家上学，则你在离开家前能收到牛奶的概率是（ ）A B C D 11如图所示，点 是抛物线 的焦点，点 分别在抛物线 及圆F24yx,AB24yx的实线部分上运动，且 总是平行于 轴，则 的周长的取值范围214xyxFA（ ）A B C D ,6,62,42,412已知点 是椭圆 上一点， 分别为椭圆的左、右焦点， 为P1342yx12,FM的内心，若 成立，则 的值为（ ）12F2211MPMPFSSA B C D2
4、 3第 II卷（非选择题）二、填空题：（本题共 4小题，每小题 5分，共 20分把答案填在题中的横线上）13经过两点 ， 的椭圆的标准方程1,3P210,为_14若命题“ ， ”是真命题，则实数xR210ax的取值范围为 .a15如图，在三棱柱 中， 底面 ，- 3 -， ， 是 的中点，则直线 与 所成角的余弦值为_ 16如图，圆 O与离心率为 的椭圆 相切于点 M(0,1)，过点 M引两条互相垂直的直线 l1， l2，两直线与两曲线分别交于点 A， C与点B， D(均不重合)若 P为椭圆上任一点，记点 P到两直线的距离分别为 d1， d2，则 的最大值是_三、解答题17(满分 10分)（1
5、）已知双曲线 C经过点（1，1） ，它渐近线方程为 ，求双曲线 的标准方程。（2）已知双曲线过点 ，一个焦点为 ，求双曲线的标准方程。18(满分 12分)某中学组织了一次高二学生数学学业水平模拟测试，学校从测试合格的男、女生中各随机抽取 100人的成绩进行统计分析，分别制成了如图所示的男生和女生数学成绩的频率分布直方图（）若所得分数大于等于 80分认定为优秀，求男、女生优秀人数各有多少人？（）在（）中的优秀学生中用分层抽样的方法抽取 5人，从这 5人中任意任取 2人，求至少有一名男生的概率19(满分 12分)如图，四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD，PA=2 ，BC=CD=2，- 4
6、-（1）求证：BD平面 PAC；（2）若侧棱 PC上的点 F满足 PF=7FC，求三棱锥 FBCD 的体积20(满分 12分)如图,在平面直角坐标系中,已知 PAB的周长为 8,且点 A,B的坐标分别为( -1,0),(1,0).(1)试求顶点 P的轨迹 C1的方程.(2)若动点 P1( )在曲线 C1上,试求动点 Q( , )的轨迹 C2的方程.21(满分 12分)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费 x(单位：千元)对年销售量 y(单位：t)和年利润 z(单位：千元)的影响对近 8年的年宣传费 xi和年销售量yi(i1,2，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统
7、计量的值xy81i(xi )2(wi )81i2(xi )(yi81i)y (wi )81i(yi )46.6 563 6.8 289.8 1.6 1 469 108.8- 5 -表中 wi ,ix81i(1)根据散点图判断， y a bx与 y c d 哪一个适宜作为年销售量 y关于年宣传费 x的x回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立 y关于 x的回归方程；(3)已知这种产品的年利润 z与 x， y的关系为 z0.2 y x.根据(2)的结果回答下列问题：年宣传费 x49 时，年销售量及年利润的预报值是多少？年宣传费 x为何值时，年利润的预报
8、值最大？附：对于一组数据( u1， v1)，( u2， v2)，( un， vn)，其回归直线 v u 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 ， . 12niiiiiu22(满分 12分) 已知椭圆的两焦点为 ， ，离心率 .（1）求此椭圆的方程；（2）设直线 ： ，若 与此椭圆相交于 ， 两点，且 等于椭圆的短轴长，求 的值；（3）以此椭圆的上顶点 为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形 ，这样的直角三角形是否存在？若存在，请说明有几个；若不存在，请说明理由.- 6 -文科参考答案1A【详解】 直线过点 ，斜率为 则直线的点斜式方程为：故选 【点睛】本题考查的知识点是直线的点斜式方程，按照计算公式
9、进行求解，属于基础题。2A【解析】 “ ”是 ，的充分不必要条件，故选 A3D【解析】试题分析：根据题意，由复合命题真假表，依次分析选项即可作出判断解：p 是假命题，q 是真命题，pq 是假命题，选项 A错误；pq 是真命题，选项 B错误；p 是真命题，选项 C错误；q 是假命题，选项 D正确故选：D考点：复合命题的真假4B【解析】试题分析：根据题意青年职工、中年职工、老年职工的人数之比为 7:5:3，那么设样本容量为 n，则可知青年职工的抽取的 14人，那么必有 14=n ,故可知 n=30,选 B.考点：本试题主要考查了分层抽样的方法的运用。点评：解决该试题的关键是理解分层抽样是等比例抽样
10、，且比例为 n:N.5D 试题分析：进入循环前 ；第一次循环， ；第二次10a2130a循环， ；第三次循环， ，退出循环，此时输出2310a230，故选 D. 考点：程序框图.16B【解析】由三视图可知该几何体为如下的底面为边长为 1的等腰直角三角形高为 2的三棱柱去掉如图上部分的四棱锥后得到的几何体由图可知，去掉的四棱锥的底面为直角梯形，上，下底边长分别为 1,2，梯形高为 ，四棱锥的高为 则 ，故选 B221123V三 棱 柱 四 棱 锥7A【解析】依题意知圆心 C(1,1)，圆 C的半径 r ， ， k121k8A 【解析】分析：对每个选项逐一分析，利用综合法或举反例的方法进行排除即可
11、得- 7 -到结论详解：对于选项 A，由 ， 可得 或 ，又 ，所以可得 ，故 A正确对于选项 B，由条件可得 或 ，故 B不正确对于选项 C，由条件可得 或 相交或 异面，故 C不正确对于选项 D，由题意得 ，故 D不正确点睛：点、线、面的位置关系的判断方法（1）平面的基本性质是立体几何的基本理论基础，也是判断线面关系的基础对点、线、面的位置关系的判断，常采用穷举法，即对各种关系都进行考虑，要发挥模型的直观性作用（2）利用线线平行、线面平行、面面平行以及线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定定理、性质定理综合进行推理和判断命题是否正确9C【分析】分别求出双曲线的焦点坐标和渐近线方程，利用点到直线
12、的距离公式，能求出结果9. C【详解】双曲线的方程为 焦点坐标为 ，渐近线方程为双曲线 的焦点到渐近线的距离为 故选 C.【点睛】本题考查有关双曲线的基本运算问题，解题的关键是分清双曲线中的各个量的含义及其关系，然后再根据题目的要求求解.10D【解析】试题分析：设送报人到达的时间为 x，此人离家的时间为 y，以横坐标表示报纸送到时间，以纵坐标表示此人离家时间，建立平面直角坐标系，作图求面积之比即可详解：设送奶人到达的时间为 x，此人离家的时间为y，以横坐标表示奶送到时间，以纵坐标表示此人离家时间，建立平面直角坐标系（如图）则此人离开家前能收到牛奶的事件构成区域如图示所求概率 P=1 ，故选：D
13、点睛：本题考查几何概型的会面问题，准确作图利用面积作为几何测度是解决问题的关键，属中档题本题考查了几何概型概率的求法；在利用几何概型的概率公式来求其概率时，几- 8 -何“测度”可以是长度、面积、体积、角度等，其中对于几何度量为长度，面积、体积时的等可能性主要体现在点落在区域 上任置都是等可能的，而对于角度而言，则是过角的顶点的一条射线落在 的区域（事实也是角）任一位置是等可能的11A【解析】由题意知抛物线 的准线为 ，设 两点的坐标分别为 ，24yx1AB、 1,0Axy，则 。由 消去 整理得 ，解得2,0Bxy1F24yxy23x，1 在图中圆 的实线部分上运动， 。24xy213x 的
14、周长为 。FAB1 4,6FBAx选 A。点睛：解决与抛物线有关的问题时，要注意抛物线定义的运用。特别是对于焦点弦的问题更是这样，利用定义可将抛物线上的点到焦点的距离（两点间的距离）转化成该点到准线的距离（点到直线的距离） ，然后再借助几何图形的性质可使问题的解决变得简单。12D 【解析】试题分析：设内接圆的半径为 ，因为r，所以 ；又椭圆的定义可知2211MPFFMPSS1212MPFMFSSAAA，X 所以 ， |ac，arcab， 2ab故选 A考点：椭圆的简单性质【一题多解】设 的内切圆的半径为 为 的内心，12PFrM12PF，2211MMPFSS 2|2rrr12| |PF1212
15、|，点 是椭圆上一点， 分别为椭圆的左、右焦点 1 ab，故选 D2ab- 9 -13 【解析】设方程为 ，代入 ， 得2541xy21mxny,310,2， ，解得 ， ，故方程为 19mn542541xy14 试题分析：因为“ ， ”是真命题，所以2, R0a，故实数 的取值范围是 . 考点：全称命题.402aaa2,15 【解析】分析：记 中点为 E，则 ，则直线 与 所成角即为 与 所成角，设 ，从而即可计算.详解：记 中点为 E，并连接 ， 是 的中点，则 ， 直线 与 所成角即为 与 所成角，设 ， ，.故答案为： .点睛：(1)求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移的方法一般有
16、三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移(2)求异面直线所成的角的三步曲：即“一作、二证、三求” 其中空间选点任意，但要灵活，经常选择“端点、中点、等分点” ，通过作三角形的中位线，平行四边形等进行平移，作出异面直线所成的角，转化为解三角形问题，进而求解16 ； 【解析】分析：由题意首先求得椭圆方程，然后结合勾股定理可得的数学表达式，结合纵坐标的取值范围和二次函数的性质即可求得最终结果.详解：由题意知： 解得 ，可知：椭圆 C的方程为 ，圆 O的方程为 .设 ，因为 ,则 ,因为 ，所以 ,因为 ，所以当 时， 取得最大值为 ,点睛：本题主要考查
17、椭圆的方程的求解，椭圆中的最值问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.17解：（1） ;- 10 -【解析】分析：（1）根据已知渐近线方程可设双曲线方程为 ，代入已知点即可.解析：设双曲线的方程为 ，将点 代入可得 。故答案为 。点睛：本题考查对抛物线和双曲线方程的理解，特别是已知渐近线如何设方程值得好好学习，属于基础题.（2） 由已知可得双曲线焦点在 轴上且 ，将点 代入双曲线方程，可求出，即得双曲线的标准方程18 （I） , ；（II） .3045710【解析】试题分析：（）由频率分布直方图可分别得到男生，女生优秀的频率，再乘以总人数 ，即可得到男、女生优秀人数；（）构建有序实数
18、对，用枚举法列举所有可能的1情形和满足题意的情形，再利用古典概型的计算公式求解即可.试题解析：解：（）由题可得，男生优秀人数为 人，10.0213女生优秀人数为 人10.5.345（）因为样本容量与总体中的个体数的比是 ，01所以样本中包含男生人数为 人，女生人数为 人12535设两名男生为 ， ，三名女生为 ， ， 1A21B3则从 5人中任意选取 2人构成的所有基本事件为： ， ， ， 12,A1,B12,A， ， ， ， ， ， 共 10个，13,B1,2,23, 323每个样本被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的记事件 ：“选取的 2人中至少有一名男生” ，则事件 包含的
19、基本事件有： ， CC12,A， ， ， ， ， 共 7个1,AB1,13,AB21,2,AB23,所以 ，即选取的 2人中至少有一名男生的概率为 70P 10- 11 -19 （1）见解析 （2）【解析】 （1）BC=CD=2，BCD 为等腰三角形，再由 ，BDAC再由 PA底面 ABCD，可得 PABD而 PAAC=A，故 BD平面 PAC（2）侧棱 PC上的点 F满足 PF=7FC，三棱锥 FBCD 的高是三棱锥 PBCD 的高的 BCD 的面积 SBCD = BCCDsinBCD= = 三棱锥 FBCD 的体积 V= = =20 （1） + =1(x3).（2） x2+y2=1(x1)
20、 【解析】(1)由题意,可得顶点 P满足 PA+PB=6,故顶点 P的轨迹 C1是以 A,B为焦点的椭圆,但要除去椭圆的左、右两个顶点.则 a=3,c=1,所以 b2=a2-c2=8,故轨迹 C1的方程为 + =1(x3).(2)由题意,知点 P1(x1,y1)在曲线 C1上,故 + =1(x13).设 =x, =y,则 x1=3x,y1=2 y.代入 + =1(x13),得 x2+y2=1(x1),所以动点 Q( , )的轨迹 C2的方程为 x2+y2=1(x1).21(1)见解析 (2) 100.668 (3)见解析 【解析】试题分析：(1)根据散点图与 的图象更接近可得， 适宜ycdyc
21、dx作为回归方程类型；(2) 令 ，可由于 ， wx812iiiiiw108.6= ， ，可先建立 关于 的线性回归方程，从而可建立 关于 的线cyd10.6y yx性回归方程；(3) 将 代入所求回归方程即可得结果；宣传费为49x，换元后，利用二次函数的性质可得结果.3.2zx试题解析：(1)由散点图可以判断， y c d 适宜作为年销售量 y关于年宣传费 x的回归方程类型 (2)令 w ，先建立 y关于 w的线性回归方程由于x- 12 - 68， 563686.8100.6，所以 yd812iiiiiwy108.6cydw关于 w的线性回归方程为 100.668 w，因此 y关于 x的回归
22、方程为 100.668 yx(3)由(2)知，当 x49 时，年销售量 y的预报值 100.668 576.6，49年利润 z的预报值 576.60.24966.32 根据(2)的结果知，年利润 z的预报z值0.2(100.668 ) x x13.6 20.12.z所以当 6.8，即 x46.24 时， 取得最大值x13.62z故年宣传费为 46.24千元时，年利润的预报值最大22(1) ;(2) ;(3)见解析.【分析】 （1）由题设条件椭圆的两焦点为 ， ，离心率 ，求出 ， 两参数的值，即可求得椭圆的方程；（2）根据直线 与此椭圆相交于 ， 两点，且 等于椭圆的短轴长，故可由弦长公式建立
23、方程求出参数 的值首先要将直线方程与椭圆方程联立，再利用弦长公式建立方程，即可求解；（3）先假设能构成等腰直角三角形 ，其中 ，由题意可知，直角边 ， 不可能垂直或平行于 轴，故可设 边所在直线的方程为（不妨设 ） ，则 边所在直线的方程为 ，将此两直线方程与椭圆的方程联立，分别解出 ， 两点的坐标，用坐标表示出两线段 ， 的长度，由两者相等建立方程求参数 ，由解的个数判断三角形的个数即可【详解】（1）设椭圆方程为 ，则 ， ，所求椭圆方程为 . - 13 -（2）由 ，消去 y，得 ，则 得 （*）设 ，则 ， ， ，解得. ，满足（*）(3)设能构成等腰直角三角形 ，其中 ，由题意可知，直
24、角边 ， 不可能垂直或平行于 轴，故可设 边所在直线的方程为 （不妨设 ） ，则 边所在直线的方程为.由 ，得 A用 代替上式中的 k，得 ，由 ，得k0， 解得 或 ，故存在三个内接等腰直角三角形.【点睛】本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，解题的关键是掌握直线与圆锥曲线位置关系中的相关的知识，如本题中求解的重点是弦长公式的熟练掌握运用，依据条件进行正确转化，分析出建立方程的依据很关键，如本题第二小题利用弦长公式建立方程求参数，第三小题中利用等腰三角形的性质转化为两弦长 与 相等，由此关系得到斜率 所满足的方程，将求解有几个三角形的问题转化为关于 的方程有几个根的问题，此类问题中正确转化，充分利用等量关系是解题的重中之重
