1、- 1 -绥芬河市高级中学 2018-2019学年度第一学期期中考试高二理科数学（分值：150 分 考试时间：120 分钟）第 I卷（选择题）一、单选题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分.）1已知实数 满足 且 ，则下列不等式一定成立的是（ ）A B C D 2已知 ，则“ ”是 ，的（ ）A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件3若命题 p是假命题，命题 q是真命题，则（ ）Apq 是真命题 Bpq 是假命题 Cp 是假命题 Dq 是假命题4已知 满足不等式组 ，则目标函数 的最小值是A 4
2、 B 6 C 8 D 105阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（ ）A3 B11 C100 D1236一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）A B C D213217直线 l： 与圆 C： 相切，则直线 l的斜率为( )A1 B2 C1 D28若 ， 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，则下列命题正确的是A 若 ， ， ，则 B 若 ， ， ，则- 2 -C 若 ， ， ，则 D 若 ， ， ，则9椭圆 的长轴长、短轴长和焦点坐标依次为（ ） A ， ， B ， ， C ， ， D ， ，10在正项等比数列 中，若 ， 是方程 的两根，则 的值是（ ）A
3、 B C D 11如图所示，点 是抛物线 的焦点，点 分别在抛物线F24yx,AB及圆 的实线部分上运动，且 总是平行于24yx21轴，则 的周长的取值范围（ ）ABA B C D ,64,62,42,412过双曲线 的右焦点且垂直于 轴的直线与双曲线交于 两点，21(0,)xyabx,AB为虚轴上的一个端点，且 为直角三角形，则此双曲线离心率的值为（ ）DAA B C 或 D 或22222第 II卷（非选择题）二、填空题：（本题共 4小题，每小题 5分，共 20分把答案填在题中的横线上）13过点(1，3)且与直线 x2 y10 垂直的直线的方程是_14以 为渐近线且经过点 的双曲线方程为_y
4、x,15如图，矩形 ABCD中，AB=1，BC=a，PA平面 ABCD，若在 BC上只有一个点 Q满足PQDQ，则 a的值等于 16在 中， 分别是角 的对边，且满足ABC,abc,ABC- 3 -，则 _sin12,cos52CCababc三、解答题17(满分 10分)已知数列 的前 项和 。（）求数列 的通项公式；（）令 ，求数列 的前 项和 。18(满分 12分)在 中，角 所对的边分别为 .已知 .（1）求 的值；（2）求 的面积 .19(满分 12分)已知抛物线的顶点在原点，过点 A 且焦点在 x轴（1）求抛物线方程（2）直线 过定点 B(-1,0)，与该抛物线相交所得弦长为 8，求
5、直线 的方程20(满分 12分)已知圆 : , 点的坐标为(2,-1),过点 作圆 的切线,切点为 , .- 4 -（1）求直线 , 的方程;（2）求过 点的圆的切线长;（3）求直线 的方程.21(满分 12分)如图：直线 平面 ，直线 平行四边形 ，四棱锥 的顶点在平面 上， ， ， ， ， ， ， 、 分别是与 的中点（1）求证： 平面 ；（2）求二面角 的余弦值22(满分 12分)已知椭圆的两焦点为 ，离心率 .（1）求此椭圆的方程；（2）设直线 ： ，若 与此椭圆相交于 ， 两点，且 等于椭圆的短轴长，求 的值；（3）以此椭圆的上顶点 为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形 ，这样的直角
6、三角形是否存在？若存在，请说明有几个；若不存在，请说明理由.- 5 -理科答案参考答案1D【解析】分析：先根据 得到 ，即 ，再结合 ，利用不等式的基本性质即可得到结果.详解： ， ，即 ，又 ， ，故选 D.点睛：本小题主要考查不等关系与不等式应用、不等式的基本性质、实数的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题.2A 【解析】 “ ”是 ，的充分不必要条件，故选 A3D【解析】试题分析：根据题意，由复合命题真假表，依次分析选项即可作出判断解：p 是假命题，q 是真命题，pq 是假命题，选项 A错误；pq 是真命题，选项 B错误；p 是真命题，选项 C错误；q 是假命题，选项 D正确故选
7、：D考点：复合命题的真假4B【解析】画出可行域如图所示，当目标函数 经过点 时， 的值为 ；当目标函数 经过点 时， 的值为 ，故选 B5D试题分析：进入循环前 ；第一次循环， ；第二次循环，10a2130a；第三次循环， ，退出231a2循环，此时输出 ，故选 D. 考点：程序框图.236B【解析】由三视图可知该几何体为如下的底面为边长为 1的等腰直角三角形高为 2的三棱柱去掉如图上部分的四棱锥后得到的几何体由图可知，去掉的四棱锥的底面为直角梯形，上，下底边长分别为- 6 -1,2，梯形高为 ，四棱锥的高为 则22，故选 B21132V三 棱 柱 四 棱 锥7A【解析】依题意知圆心 C(1,
8、1)，圆 C的半径 r ， ， k121k8A【解析】分析：对每个选项逐一分析，利用综合法或举反例的方法进行排除即可得到结论详解：对于选项 A，由 ， 可得 或 ，又 ，所以可得 ，故 A正确对于选项 B，由条件可得 或 ，故 B不正确对于选项 C，由条件可得 或 相交或 异面，故 C不正确对于选项 D，由题意得 ，故 D不正确点睛：点、线、面的位置关系的判断方法（1）平面的基本性质是立体几何的基本理论基础，也是判断线面关系的基础对点、线、面的位置关系的判断，常采用穷举法，即对各种关系都进行考虑，要发挥模型的直观性作用（2）利用线线平行、线面平行、面面平行以及线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定
9、定理、性质定理综合进行推理和判断命题是否正确9B【解析】椭圆 化为标准方程为： ，可得 ， ， ，所以椭圆 的长轴长，短轴长和焦点坐标分别为： ， ， 故选 点睛：本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力10C分析： 为 、 的等比中项，则 ，由韦达定理，求出 ，从而求出 ，因为数列为正项数列，则取正数.详解：因为 、 为方程的两根，由韦达定理， ，为 、 的等比中项，则 ，解得 ，- 7 -因为数列为正项数列，所以 ，故选 C点睛：本题主要考察等比中项的公式，当结果为两个时，需要进行分析，防止多解，等比数列隔项符号相同.11A【解析】由题意知抛物线 的准线为 ，设 两点的坐标分别为 ，24
10、yx1AB、 1,0Axy，则 。2,0Bxy1F由 消去 整理得 ，解得 ，241y230x1x 在图中圆 的实线部分上运动，B24x 。23 的周长为 。FA121234,6FBAxx选 A。点睛：解决与抛物线有关的问题时，要注意抛物线定义的运用。特别是对于焦点弦的问题更是这样，利用定义可将抛物线上的点到焦点的距离（两点间的距离）转化成该点到准线的距离（点到直线的距离） ，然后再借助几何图形的性质可使问题的解决变得简单。12D【解析】 由双曲线 ，可得右焦点 ，则21(0,)xyab,0Fc，22,0,bAcBDba若 表示以 为直角顶点的直角三角形时， 则 ，所以 ；2bba22cabe
11、若 表示以 为直角顶点的直角三角形时，ABD则 ，即 ，则 ，B2,bca0ADB- 8 -即 ，2242, 0bbcccaa又 ，整理得 ，22424则 ，解得 ，40ee综上所述 或 ，故选 D2213【分析】先求出直线 x2 y10 的斜率，再求所求直线的斜率，再写出直线的点斜式方程.【详解】由题得直线 x2 y10 的斜率为 ，所以所求直线的斜率为 2，所以所求的直线的方程为 y-3=2(x-1)即 2x-y+1=0.故答案为：【点睛】(1)本题主要考查两直线垂直的性质和直线方程的求法，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2)如果两直线都存在斜率且互相垂直，则 .直线的点斜
12、式方程为.14214xy【解析】以 为渐近线的双曲线为等轴双曲线，方程可设为 ，代入 20xy点 得 .2,042241xyxy152试题分析:利用三垂线定理的逆定理、直线与圆相切的判定与性质、矩形的性质、平行线的性质即可求出解：连接 AQ，取 AD的中点 O，连接 OQPA平面 ABCD，PQDQ，由三垂线定理的逆定理可得 DQAQ点 Q在以线段 AD的中点 O为圆心的圆上，- 9 -又在 BC上有且仅有一个点 Q满足 PQDQ，BC 与圆 O相切， （否则相交就有两点满足垂直，矛盾 ）OQBC，ADBC，OQ=AB=1，BC=AD=2，即 a=2故答案为：2考点：直线与平面垂直的性质16
13、13c【解析】解：由题意可知： sin12,cos52CCabab平方可得： ，相加可得： 则： .13c点睛：余弦定理在应用时，应注意灵活性，尤其是其变形应用时可相互转化，已知和角函数值，求单角或和角的三角函数值的技巧：把已知条件的和角进行加减或二倍角后再加减，观察是不是常数角，只要是常数角，就可以从此入手，给这个等式两边求某一函数值，可使所求的复杂问题简单化17 （） ；（） .【解析】 【试题分析】(I)利用 求解得通项公式.(II)利用裂项求和法求得前项和 .【试题解析】（）由题意知，当 .（）解：由（）知 = ，T n= 18 （1） ；（2） .【分析】（1）由 a，c 及 cos
14、B的值，利用余弦定理即可求出 b的值；（2）利用三角形面积公式即可求出三角形 ABC的面积【详解】（1） ，由余弦定理可得 - 10 -, ,（2） .【点睛】此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键19 （1） （2）【解析】分析：（1）可先设出抛物线的方程： ，然后代入点计算即可；（2）已知弦长所以要先分析斜率存在与不存在的情况， ）当直线 l的斜率不存在时，直线l：x=-1 验证即可，当直线 l的斜率存在时，设斜率为 k，直线为联立方程根据弦长公式求解即可.详解：（1）设抛物线方程为 抛物线过点 ; ，得 p=2则（2）当直线 l的斜率
15、不存在时，直线 l：x=-1 与抛物线交于 、 ，弦长为4，不合题意当直线 l的斜率存在时，设斜率为 k，直线为消 y得弦长= 解得 得所以直线 l方程为 或点睛：考查抛物线的定义和标准方程，以及直线与抛物线的弦长公式的应用，注意讨论是解题容易漏的地方，属于基础题.20 （1） 或 ；（2） ；（3）【分析】（1）设过点 P的直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径求其斜率即可（2）在 中利用勾股定理求 PA的长（3）利用 AB与 PC垂直的性质求出其斜率，由点斜式写出直线方程.- 11 -【详解】(1).由已知得过点 的圆的切线斜率的存在,设切线方程为 ,即 .则圆心 到直线的距离为 ,即 ,
16、 , 或 .所求直线的切线方程为 或 ,即 或 .(2).在 中, , , , ,过点 的圆 的切线长为 .(3).直线 的方程为 .【点睛】本题考查直线与圆相切的性质，以及切线的相关平面几何性质，属于中档题.解决此类问题要注意对初中学习的圆的平面几何性质灵活使用.21 （1）见解析；（2）【分析】（1）连接 ，由题意可证得平面 平面 ，利用面面平行的性质定理可得平面 ；（2）过 作 ，以 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系，由题意可得平面 的法向量为 ，平面 的法向量为 ，据此计算可得二面角的平面角 的余弦 .【详解】（1）连接 ，底面 为平行四边形，是 的中点， 是 的中点， ， 是 的
17、中点， 是 的中点， ， ， 平面 平面 ， 平面 ， 平面 ；（2）由 平面 ， 平行四边形 ， 平面 底面 ， ， ， - 12 -四边形 为矩形，且 底面 ， ，过 作 ，以 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系（如图） ，由 ， ， ，知 ， 、 、 、 、 ， 、 、，设平面 的法向量为 ，则 ,取 ， ， ，即 ，设平面 的法向量为 则 ,取 ， ， ，即 ，二面角 的平面角 的余弦 .【点睛】本题考查了立体几何中的判断定理和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，明确角的构成
18、.同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.22(1) ;(2) ;(3)见解析.【分析】（1）由题设条件椭圆的两焦点为 ， ，离心率 ，求出 ， 两参数的值，即可求得椭圆的方程；（2）根据直线 与此椭圆相交于 ， 两点，且 等于椭圆的短轴长，故可由弦长公式建立方程求出参数 的值首先要将直线方程与椭圆方程联立，再利用弦长公式建立方程，即可求解；（3）先假设能构成等腰直角三角形 ，其中 ，由题意可- 13 -知，直角边 ， 不可能垂直或平行于 轴，故可设 边所在直线的方程为 （不妨设 ） ，则 边所在直线的方程为 ，将此两直线方程与椭圆
19、的方程联立，分别解出， 两点的坐标，用坐标表示出两线段 ， 的长度，由两者相等建立方程求参数 ，由解的个数判断三角形的个数即可【详解】（1）设椭圆方程为 ，则 ， ，所求椭圆方程为 . （2）由 ，消去 y，得 ，则 得 （*）设 ，则 ， ， ，解得. ，满足（*）(3)设能构成等腰直角三角形 ，其中 ，由题意可知，直角边 ， 不可能垂直或平行于 轴，故可设 边所在直线的方程为 （不妨设 ） ，则 边所在直线的方程为.由 ，得 A用 代替上式中的 k，得，- 14 -由 ，得 k0， 解得 或 ，故存在三个内接等腰直角三角形.【点睛】本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，解题的关键是掌握直线与圆锥曲线位置关系中的相关的知识，如本题中求解的重点是弦长公式的熟练掌握运用，依据条件进行正确转化，分析出建立方程的依据很关键，如本题第二小题利用弦长公式建立方程求参数，第三小题中利用等腰三角形的性质转化为两弦长 与 相等，由此关系得到斜率 所满足的方程，将求解有几个三角形的问题转化为关于 的方程有几个根的问题，此类问题中正确转化，充分利用等量关系是解题的重中之重
