1、11.6 微积分基本定理学习目标 1.直观了解并掌握微积分基本定理的含义.2.会利用微积分基本定理求函数的积分知识点一 微积分基本定理(牛顿莱布尼茨公式)思考 已知函数 f(x)2 x1， F(x) x2 x，则 (2x1)d x 与 F(1) F(0)有什么关系？10答案 由定积分的几何意义知， (2x1)d x (13)12， F(1) F(0)2，故1012 (2x1)d x F(1) F(0)10梳理 (1)微积分基本定理条件： f(x)是区间 a， b上的连续函数，并且 F( x) f(x)；结论： f(x)dx F(b) F(a)；ba符号表示： f(x)dx F(x)| F(b)
2、 F(a)ba ba(2)常见的原函数与被积函数关系 cdx cx| (c 为常数)ba ba xndxError! (n1)ba ba sin xdxcos x| .ba ba cos xdxsin x| .ba ba2 dxln x| (ba0)ba1x ba exdxe x| .ba ba axdxError! (a0 且 a1)ba ba dxError! (ba0)bax ba知识点二 定积分和曲边梯形面积的关系思考 定积分与曲边梯形的面积一定相等吗？答案 当被积函数 f(x)0 恒成立时，定积分与曲边梯形的面积相等，若被积函数 f(x)0不恒成立，则不相等梳理 设曲边梯形在 x 轴
3、上方的面积为 S 上 ，在 x 轴下方的面积为 S 下 ，则(1)当曲边梯形在 x 轴上方时，如图，则 f(x)dx S 上ba(2)当曲边梯形在 x 轴下方时，如图，则 f(x)dx S 下ba(3)当曲 边 梯 形 在 x 轴 上 方 ， x 轴 下 方 均 存 在 时 ， 如 图 ， 则 f(x)dx S 上 S 下 特 别 地 ， 若baS 上 S 下 ，则 f(x)dx0.ba1若 F( x) f(x)，则 F(x)唯一( )2微积分基本定理中，被积函数 f(x)是原函数 F(x)的导数( )3应用微积分基本定理求定积分的值时，被积函数在积分区间上必须是连续函数( )类型一 求定积分
4、命 题 角 度 1 求 简 单 函 数 的 定 积 分例 1 计算下列定积分(1) (2xe x)dx；10(2) dx；21(1x 3cos x)3(3)220(sinco)d;xx(4) (x3)( x4)d x.30考点 利用微积分基本定理求定积分题点 利用微积分基本定理求定积分解 (1) (2xe x)dx( x2 ex)|10 10(1e 1)(0e 0)e.(2) dx21(1x 3cos x)(ln x3sin x)|21(ln 23sin 2)(ln 13sin 1)ln 23sin 23sin 1.(3) 2(sin x2 cos x2)12sin cos 1sin x，x2
5、 x2200(sinco)d(-sin)d20|x (0cos 0) 1.( 2 cos 2) 2(4)( x3)( x4) x27 x12， (x3)( x4)d x30 (x27 x12)d x30Error! 30 0 .(1333 7232 123) 272反思与感悟 (1)当被积函数为两个函数的乘积或乘方形式时一般要转化为和的形式，便于求得原函数 F(x)(2)由微积分基本定理求定积分的步骤第一步：求被积函数 f(x)的一个原函数 F(x)；第二步：计算函数的增量 F(b) F(a)跟踪训练 1 计算下列定积分4(1) dx；21(x x21x)(2)20cosin；(3) (1 )
6、dx.94x x考点 利用微积分基本定理求定积分题点 利用微积分基本定理求定积分解 (1) dx21(x x21x)Error! 21 (1222 1323 ln 2) (12 13 ln 1)ln 2 .56(2)20(cosin)dx20sin x 2|1.(3) (1 )dx94x x ( x)dxError!94 x 94 .(23 1292) (23 1242) 2716命 题 角 度 2 求 分 段 函 数 的 定 积 分例 2 (1)若 f(x)Error!求21()d;fx(2)计算定积分 |32 x|dx.21考点 分段函数的定积分题点 分段函数的定积分解 (1)21()df
7、x x2dx0(cos1)d,x0 1又因为 x2，(sin x x)cos x1，(13x3)5所以原式Error! (sin x x)20|0 1 (sin 00)(013) (sin 2 2) .43 2(2) |32 x|dx213231()d()dx(3 x x2) 1|( x23 x)| .12反思与感悟 分段函数定积分的求法(1)利用定积分的性质，转化为各区间上定积分的和计算(2)当被积函数含有绝对值时，常常去掉绝对值号，转化为分段函数的定积分再计算跟踪训练 2 (1) e|x|dx _.1 1考点 分段函数的定积分题点 分段函数的定积分答案 2e2解析 e|x|dx1 1 e
8、xdx exdx0 1 10e x| e x|0 1 10e 0e 1e 1e 02e2.(2)已知 f(x)Error!求 f(x)dx.20考点 分段函数的定积分题点 分段函数的定积分解 f(x)dx20 (2xe x)dx dx10 21(x1x)( x2e x)| Error!10 21(1e)(0e 0) (1222 ln 2) (121 ln 1)6e ln 2.32类型二 利用定积分求参数例 3 (1)已知 t0， f(x)2 x1，若 f(x)dx6，则 t_.t0(2)已知 2 (kx1)d x4，则实数 k 的取值范围为_21考点 微积分基本定理的应用题点 利用微积分基本定
9、理求参数答案 (1)3 (2) 23， 2解析 (1) f(x)dx (2x1)d x t2 t6，t0 t0解得 t3 或2， t0， t3.(2) (kx1)d xError! k1.21 2132由 2 k14，得 k2.32 23引申探究1若将例 3(1)中的条件改为 f(x)dx f ，求 t.t0 (t2)解 由 f(x)dx (2x1)d x t2 t，t0 t0又 f t1， t2 t t1，得 t1.(t2)2若将例 3(1)中的条件改为 f(x)dx F(t)，求 F(t)的最小值t0解 F(t) f(x)dx t2 t 2 (t0)，t0 (t12) 14当 t 时， F
10、(t)min .12 14反思与感悟 (1)含有参数的定积分可以与方程、函数或不等式综合起来考查，先利用微积分基本定理计算定积分是解决此类综合问题的前提(2)计算含有参数的定积分，必须分清积分变量与被积函数 f(x)、积分上限与积分下限、积分区间与函数 F(x)等概念跟踪训练 3 (1)已知 x(0,1， f(x) (12 x2 t)dt，则 f(x)的值域是_10(2)设函数 f(x) ax2 c(a0)若 f(x)dx f(x0)，0 x01，则 x0的值为_10考点 微积分基本定理的应用7题点 利用微积分基本定理求参数答案 (1)0,2) (2)33解析 (1) f(x) (12 x 2
11、t)dt10( t2 xt t2)| 2 x2( x(0,1)10 f(x)的值域为0,2)(2) f(x)dx (ax2 c)dx10 10Error! c.10a3又 f(x0) ax c，20 ax ，即 x0 或 .a3 20 33 330 x01， x0 .331若 dx3ln 2，则 a 的值是( )a1(2x1x)A5 B4 C3 D2考点 微积分基本定理的应用题点 利用微积分基本定理求参数答案 D解析 dx 2xdx dxa1(2x1x) a1 a11x x2| ln x| a21ln a3ln 2，a1 a1解得 a2.2230(sin)d等于( )A B C. D.32 1
12、2 12 32考点 利用微积分基本定理求定积分题点 利用微积分基本定理求定积分答案 D8解析 230(1sin)d30=co sin 30| .323设 f(x)Error!则 f(x)dx 等于( )20A. B.34 45C. D不存在56考点 分段函数的定积分题点 分段函数的定积分答案 C解析 f(x)dx x2dx (2 x)dxError! Error! .20 10 21 10 21564已知函数 f(x) xn mx 的导函数 f( x)2 x2，则 f( x)dx_.31考点 微积分基本定理的应用题点 微积分基本定理的综合应用答案 23解析 f(x) xn mx 的导函数 f(
13、 x)2 x2， nxn1 m2 x2，解得 n2， m2， f(x) x22 x，则 f( x) x22 x， f( x)dx (x22 x)dx31 31Error! 99 1 .3113 235已知 f(x)Error!计算： f(x)dx. 0解 f(x)dx202()d)f 0 202=(4-)cos,x取 F1(x)2 x22 x，则 F1( x)4 x2；取 F2(x)sin x，则 F2( x)cos x.所以024-dcos9(2 x22 x)20|sin x 2| 21，12即 f(x)dx 21. 0121求定积分的一些常用技巧(1)对被积函数，要先化简，再求积分(2)若
14、被积函数是分段函数，依据定积分“对区间的可加性” ，分段积分再求和(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积分2由于定积分的值可取正值，也可取负值，还可以取 0，而面积是正值，因此不要把面积理解为被积函数对应图形在某几个区间上的定积分之和，而是在 x 轴下方的图形面积要取定积分的相反数.一、选择题1 dx 等于( )21(ex1x)Ae 2ln 2 Be 2eln 2Ce 2eln 2 De 2eln 2考点 利用微积分基本定理求定积分题点 利用微积分基本定理求定积分答案 D解析 (e xln x)|21(ex1x) 21(e 2ln 2)(eln 1)e 2eln 2.2若0
15、(sincos)da2，则实数 a 等于( )A1 B1C D.3 3考点 微积分基本定理的应用题点 利用微积分基本定理求参数10答案 A解析 20(sincos)dxax(cos x asin x)20|0 a(10)1 a2， a1，故选 A.3若 S1 x2dx， S2 dx， S3 exdx，则 S1， S2， S3的大小关系为( )21 211x 21A S10，所以 f(1)lg 10.又当 x0 时， f(x) x 3t2dt x t3| x a3，a0 a0所以 f(0) a3.因为 f(f(1)1，所以 a31，解得 a1.11设 f(x)是一次函数，且 f(x)dx5， x
16、f(x)dx ，则 f(x)的解析式为_10 10176考点 微积分基本定理的应用题点 利用微积分基本定理求参数答案 f(x)4 x3解析 f(x)是一次函数，设 f(x) ax b(a0)， f(x)dx (ax b)dx axdx bdx10 10 10 10 a b5，12 xf(x)dx x(ax b)dx10 10 (ax2)dx bxdx a b .10 1013 12 176Error! 解得Error! f(x)4 x3.12已知 ，则当 (cos xsin x)dx 取最大值时， _.0， 2 0考点 微积分基本定理的应用题点 微积分基本定理的综合应用答案 4解析 (cos
17、xsin x)dx(sin xcos x)| 0 0sin cos 1 sin 1.2 ( 4) ，则 ，0， 2 4 4， 34 14当 ，即 时， 4 2 4sin 1 取得最大值2 ( 4)三、解答题13已知 f(x) (12t4 a)dt， F(a) f(x)3 a2dx，求函数 F(a)的最小值x a 10考点 微积分基本定理的应用题点 微积分基本定理的综合应用解 因为 f(x) (12t4 a)dt(6 t24 at)|x a x a6 x24 ax(6 a24 a2)6 x24 ax2 a2，F(a) f(x)3 a2dx (6x24 ax a2)dx10 10(2 x32 ax
18、2 a2x)|10 a22 a2( a1) 211.所以当 a1 时， F(a)取到最小值为 1.四、探究与拓展14已知函数 f(x)Error!则 f(x)dx 等于( )1 1A. B.3 812 4 312C. D.4 4 4 312考点 分段函数的定积分题点 分段函数的定积分答案 B解析 f(x)dx (x1) 2dx dx，1 1 0 1 101 x2 (x1) 2dxError! ，0 1 0 113 dx 以原点为圆心，以 1 为半径的圆的面积的四分之一，101 x2故 dx ，101 x2 4故 f(x)dx .1 113 4 4 31215已知 f( x)是 f(x)在(0，
19、)上的导数，满足 xf( x)2 f(x) ，且 x2f(x)1x2 2115ln xdx1.(1)求 f(x)的解析式；(2)当 x0 时，证明不等式 2ln xe x22.考点 微积分基本定理的应用题点 微积分基本定理的综合应用(1)解 由 xf( x)2 f(x) ，得1x2x2f( x)2 xf(x) ，1x即 x2f(x) ，1x所以 x2f(x)ln x c(c 为常数)，即 x2f(x)ln x c.又 x2f(x)ln xdx1，21即 cdx1，所以 cx| 1，21 21所以 2c c1，所以 c1.所以 x2f(x)ln x1，所以 f(x) .ln x 1x2(2)证明 由(1)知 f(x) (x0)，ln x 1x2所以 f( x) ，1xx2 2xln x 1x4 2ln x 1x3当 f( x)0 时， x12e， f( x)0 时，0 ，所以 f(x)在(0，12e)上单调递增，在 (12e，)上单调递减所以 f(x)max (f ，e2所以 f(x) ，ln x 1x2 e2即 2ln xe x22.
