1、131.1 数系的扩充和复数的概念学习目标 1.了解引进虚数单位 i 的必要性，了解数集的扩充过程.2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.3.掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件知识点一 复数的概念及代数表示思考 为解决方程 x22 在有理数范围内无根的问题，数系从有理数扩充到实数；那么怎样解决方程 x210 在实数系中无根的问题呢？答案 设想引入新数 i，使 i 是方程 x210 的根，即 ii1，方程 x210 有解，同时得到一些新数梳理 (1)复数定义：把集合 C a bi|a， bR中的数，即形如 a bi(a， bR)的数叫做复数，其中i 叫做虚
2、数单位 a 叫做复数的实部， b 叫做复数的虚部表示方法：复数通常用字母 z 表示，即 z a bi(a， bR)，这一表示形式叫做复数的代数形式(2)复数集定义：全体复数所成的集合叫做复数集表示：通常用大写字母 C 表示知识点二 两个复数相等的充要条件在复数集 C a bi|a， bR中任取两个数 a bi， c di (a， b， c， dR)，我们规定：a bi 与 c di 相等的充要条件是 a c 且 b d.2知识点三 复数的分类(1)复数( a bi， a， bR)Error!(2)集合表示：1若 a， b 为实数，则 z a bi 为虚数( )2复数 z bi 是纯虚数( )3
3、若两个复数的实部的差和虚部的差都等于 0，那么这两个复数相等( )类型一 复数的概念例 1 (1)给出下列几个命题：若 zC，则 z20；2i1 虚部是 2i；2i 的实部是 0；若实数 a 与 ai 对应，则实数集与纯虚数集一一对应；实数集的补集是虚数集其中真命题的个数为( )A0 B1C2 D3(2)已知复数 z a2(2 b)i 的实部和虚部分别是 2 和 3，则实数 a， b 的值分别是_考点 复数的概念题点 复数的概念及分类答案 (1)C (2) ，52解析 (1)令 ziC，则 i212a3，即 a22 a30，解得 a3 或 a3 或 a1，则实数 x 的值是_考点 复数的概念题
4、点 由复数的分类求未知数答案 2解析 由题意知Error!得 x2.1对于复数 z a bi(a， bR)，可以限制 a， b 的值得到复数 z 的不同情况2两个复数相等，要先确定两个复数的实、虚部，再利用两个复数相等的充要条件进行判断.一、选择题1设 a， bR， “a0”是“复数 a bi 是纯虚数”的( )A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件7D既不充分也不必要条件考点 复数的概念题点 复数的概念及分类答案 B解析 因为 a， bR，当“ a0”时“复数 a bi 不一定是纯虚数，也可能 b0，即a bi0R” 而当“复数 a bi 是纯虚数” ，则“ a0”一定成立所以 a，
5、 bR， “a0”是“复数 a bi 是纯虚数”的必要不充分条件2以 2i 的虚部为实部，以 i2i 2的实部为虚部的新复数是( )5 5A22i B i5 5C2i D. i5 5考点 复数的概念题点 求复数的实部和虚部答案 A解析 设所求新复数 z a bi(a， bR)，由题意知复数 2i 的虚部为 2，复数 i2i 2 i2(1)2 i 的实部为5 5 5 52，则所求的 z22i.故选 A.3若( x y)i x1( x， yR)，则 2x y的值为( )A. B2 C0 D112考点 复数相等题点 由复数相等求参数答案 D解析 由复数相等的充要条件知，Error!解得 Error!
6、 x y0.2 x y2 01.4下列命题中：若 x， yC，则 x yi1i 的充要条件是 x y1；纯虚数集相对于复数集的补集是虚数集；若( z1 z2)2( z2 z3)20，则 z1 z2 z3.正确命题的个数是( )A0 B1C2 D3考点 复数的概念8题点 复数的概念及分类答案 A解析 取 xi， yi，则 x yi1i，但不满足 x y1，故错；错，故选 A.5若 sin 2 1i( cos 1)是纯虚数，则 的值为( )2A2 k (kZ) B2 k (kZ) 4 4C2 k (kZ) D. (kZ) 4 k2 4考点 复数的概念题点 由复数的分类求未知数答案 B解析 由题意，
7、得Error!解得Error! (kZ)， 2 k ， kZ. 46若复数 z i 是纯虚数(i 为虚数单位)，则 tan 的值为(cos 45) (sin 35) ( 4)( )A7 B17C7 D7 或17考点 复数的概念题点 由复数的分类求未知数答案 C解析 复数 z i 是纯虚数，(cos 45) (sin 35)cos 0，sin 0，45 35sin ，tan ，35 34则 tan 7.( 4) tan 11 tan 34 11 347已知关于 x 的方程 x2( m2i) x22i0( mR)有实数根 n，且 z m ni，则复数 z等于( )A3i B3iC3i D3i9考点
8、 复数相等题点 由复数相等求参数答案 B解析 由题意知 n2( m2i) n22i0，即Error! 解得Error! z3i，故选 B.二、填空题8设 mR， m2 m2( m21)i 是纯虚数，其中 i 是虚数单位，则 m_.考点 复数的概念题点 由复数的分类求未知数答案 2解析 由Error!即 m2.9已知 z1( m2 m1)( m2 m4)i， mR， z232i.则 m1 是 z1 z2的_条件考点 复数相等题点 由复数相等求参数答案 充分不必要解析 当 z1 z2时，必有 m2 m13， m2 m42，解得 m2 或 m1，显然 m1是 z1 z2的充分不必要条件10已知复数
9、z m2(1i) m(mi)( mR)，若 z 是实数，则 m 的值为_考点 复数的概念题点 由复数的分类求未知数答案 0 或 1解析 z m2 m2i m2 mi( m2 m)i，所以 m2 m0，所以 m0 或 1.11复数 z( a22 a3)(| a2|1)i 不是纯虚数，则实数 a 的取值范围是_考点 复数的概念题点 由复数的分类求未知数答案 (，1)(1，)解析 若复数 z( a22 a3)(| a2|1)i 是纯虚数，则a22 a30，| a2|10，解得 a1，当 a1 时，复数 z( a22 a3)(| a2|1)i 不是纯虚数1012已知 log 12(m n)( m2 3
10、m)i1，且 nN *，则 m n_.考点 复数的概念题点 由复数的分类求未知数答案 1 或 2解析 由题意得Error!由，得 m0 或 m3.当 m0 时，由 12log(m n)1，得 0n2， n1 或 n2.当 m3 时，由 12l(m n)1，得 0n32，3 n1，即 n 无自然数解 m， n 的值分别为 m0， n1 或 m0， n2.故 m n 的值为 1 或 2.三、解答题13实数 m 为何值时，复数 z ( m22 m3)i 分别是 (1)实数；(2)虚数；(3)纯虚mm 2m 1数考点 复数的概念题点 由复数的分类求未知数解 (1)要使 z 是实数， m 需满足 m22
11、 m30，且 有意义，即 m10，解得mm 2m 1m3.(2)要使 z 是虚数， m 需满足 m22 m30，且 有意义，即 m10，解得 m1 且mm 2m 1m3.(3)要使 z 是纯虚数， m 需满足 0， m10，mm 2m 1且 m22 m30，解得 m0 或 m2.四、探究与拓展14定义运算 ad bc，如果( x y)( x3)i ，求实数 x， y 的值|a bc d| |3x 2y i y 1|考点 复数相等题点 由复数相等求参数解 由定义运算 ad bc，|a bc d|11得 3 x2 y yi，|3x 2y i y 1|故有( x y)( x3)i3 x2 y yi.因为 x， y 为实数，所以Error!得Error! 得 x1， y2.15已知集合 M( a3)( b21)i,8，集合 N3i，( a21)( b2)i满足 M NM，且 M N，求整数 a， b 的值考点 复数相等题点 由复数相等求参数解 由题意，得( a3)( b21)i3i，或 8( a21)( b2)i，或( a3)( b21)i( a21)( b2)i.由，得 a3， b2，由，得 a3， b2，中， a， b 无整数解，不符合题意综上， a3， b2 或 a3， b2 或 a3， b2.
