1、1第 1 节 随机抽样最新考纲 1.理解随机抽样的必要性和重要性；2.会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样方法.会用随机抽样的基本方法解决一些简单的实际问题.知 识 梳 理1.简单随机抽样(1)定义：从元素个数为 N 的总体中不放回地抽取容量为 n 的样本，如果每一次抽取时总体中的各个个体有相同的可能性被抽到，这种抽样方法叫做简单随机抽样.(2)最常用的简单随机抽样的方法：抽签法和随机数法.(3)应用范围：总体中的个体数较少.2.系统抽样(1)定义：当总体数量很大时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体得到所需要的样本，这种抽样方法
2、叫做系统抽样.(2)系统抽样的操作步骤第一步编号：先将总体的 N 个个体编号；第二步分段：确定分段间隔 k，对编号进行分段，当 (n 是样本容量)是整数时，取 k ；Nn Nn第三步确定首个个体：在第 1 段用简单随机抽样确定第一个个体编号 s(s k)；第四步获取样本：按照一定的规则抽取样本，通常是将 s 加上间隔 k 得到第 2 个个体编号(s k)，再加 k 得到第 3 个个体编号( s2 k)，依次进行下去，直到获取整个样本.(3)应用范围：总体中的个体数较多.3.分层抽样(1)定义：在抽样时，将总体中各个个体按某种特征分成若干个互不重叠的几部分，每一部分叫做层，在各层中按层在总体中所
3、占比例进行简单随机抽样或系统抽样，这种抽样方法叫做分层抽样.(2)应用范围：当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样.常用结论与微点提醒1.三种抽样方法的共同点都是等概率抽样，即抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，体现了这三种抽样方法的客观性和公平性.若样本容量为 n，总体容量为 N，每个个体被抽到2的概率是 .nN2.系统抽样抽取的个体编号从小到大成等差数列.诊 断 自 测1.思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)简单随机抽样每个个体被抽到的机会不一样，与先后有关.( )(2)系统抽样在起始部分抽样时采用简单随机抽样.( )(3)分层抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关
4、.( )(4)要从 1 002 个学生中用系统抽样的方法选取一个容量为 20 的样本，需要剔除 2 个学生，这样对被剔除者不公平.( )答案 (1) (2) (3) (4)2.(教材习题改编)在“世界读书日”前夕，为了了解某地 5 000 名居民某天的阅读时间，从中抽取了 200 名居民的阅读时间进行统计分析.在这个问题中，5 000 名居民的阅读时间的全体是( )A.总体 B.个体C.样本的容量 D.从总体中抽取的一个样本解析 由题目条件知，5 000 名居民的阅读时间的全体是总体；其中 1 名居民的阅读时间是个体；从 5 000 名居民某天的阅读时间中抽取的 200 名居民的阅读时间是从总
5、体中抽取的一个样本，样本容量是 200.答案 A3.某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是( )A.抽签法 B.系统抽样法C.分层抽样法 D.随机数法解析 因为总体由有明显差异的几部分构成，所以用分层抽样法.故选 C.答案 C4.从 2 017 名学生中选取 50 名学生参加全国数学竞赛，若采用以下方法选取：先用简单随机抽样法从 2 017 名学生中剔除 17 名学生，剩下的 2 000 名学生再按系统抽样的方法抽取，则每名学生入选的概率( )A.不全相等 B.均不相等3C.都相等，且为
6、 D.都相等，且为502 017 140解析 从 N 个个体中抽取 M 个个体，则每个个体被抽到的概率都等于 .MN答案 C5.从 300 名学生(其中男生 180 人，女生 120 人)中按性别用分层抽样的方法抽取 50 人参加比赛，则应该抽取男生人数为_.解析 因为男生与女生的比例为 18012032，所以应该抽取男生人数为 50 30.33 2答案 30考点一 简单随机抽样及其应用【例 1】 (1)下列抽取样本的方式属于简单随机抽样的个数为( )从无限多个个体中抽取 100 个个体作为样本.盒子里共有 80 个零件，从中选出 5 个零件进行质量检验.在抽样操作时，从中任意拿出一个零件进行
7、质量检验后再把它放回盒子里.从 20 件玩具中一次性抽取 3 件进行质量检验.某班有 56 名同学，指定个子最高的 5 名同学参加学校组织的篮球赛.A.0 B.1 C.2 D.3(2)总体由编号为 01，02，19，20 的 20 个个体组成，利用下面的随机数表选取 5 个个体，选取方法是从随机数表第 1 行的第 5 列和第 6 列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第 5 个个体的编号为( )A.08 B.07 C.02 D.01解析 (1)不是简单随机抽样，因为被抽取样本的总体的个数是无限的，而不是有限的；不是简单随机抽样.因为它是有放回抽样；不是简单随机抽样.因为这是“一次性”抽
8、取，而不是“逐个”抽取；不是简单随机抽样.因为不是等可能抽样.故选 A.(2)从第 1 行第 5 列和第 6 列组成的数 65 开始由左到右依次选出的数为08，02，14，07，01，所以第 5 个个体编号为 01.答案 (1)A (2)D4规律方法 1.简单随机抽样是从含有 N(有限)个个体的总体中，逐个不放回地抽取样本，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等.2.一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是制签是否方便；二是号签是否易搅匀，一般地，当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法.而随机数表法适用于总体中个体数较多的情形：随机数表法的操作要点：编号，选起始数，读数，获取样本.【
9、训练 1】 (1)下面的抽样方法是简单随机抽样的是( )A.在某年明信片销售活动中，规定每 100 万张为一个开奖组，通过随机抽取的方式确定号码的后四位为 2709 的为三等奖B.某车间包装一种产品，在自动包装的传送带上，每隔 30 分钟抽一包产品，称其重量是否合格C.某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取 2 人、14 人、4 人了解对学校机构改革的意见D.用抽签方法从 10 件产品中选取 3 件进行质量检验(2)利用简单随机抽样，从 n 个个体中抽取一个容量为 10 的样本.若第二次抽取时，余下的每个个体被抽到的概率为 ，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率为( )13A. B.
10、C. D.14 13 514 1027解析 (1)选项 A，B 是系统抽样，C 项是分层抽样，D 是简单随机抽样.(2)依题意，得 ，解之得 n28.9n 1 13故每个个体在抽样过程中被抽到的概率 P .1028 514答案 (1)D (2)C考点二 系统抽样及其应用【例 2】 (1)(2018安徽皖北联考)某学校采用系统抽样方法，从该校高一年级全体 800名学生中抽 50 名学生做视力检查.现将 800 名学生从 1 到 800 进行编号.已知从 3348 这16 个数中抽到的数是 39，则在第 1 小组 116 中随机抽到的数是( )A.5 B.7 C.11 D.13(2)(2018长沙
11、雅礼中学质检)在一次马拉松比赛中，35 名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示：5若将运动员按成绩由好到差编为 135 号，再用系统抽样方法从中抽取 7 人，则其中成绩在区间139，151上的运动员人数是_.解析 (1)把 800 名学生分成 50 组，每组 16 人，各小组抽到的数构成一个公差为 16 的等差数列，39 在第 3 组.所以第 1 组抽到的数为 39327.(2)依题意，可将编号为 135 号的 35 个数据分成 7 组，每组有 5 个数据，从每组中抽取一人.成绩在区间139，151上共有 20 个数据，分在 4 个小组内，每组抽取 1 人，共抽取 4 人.答案 (1)B
12、 (2)4规律方法 1.如果总体容量 N 能被样本容量 n 整除，则抽样间隔为 k ，否则，可随机地Nn从总体中剔除余数，然后按系统抽样的方法抽样，特别注意，每个个体被抽到的机会均是 .nN2.系统抽样中依次抽取的样本对应的号码就是一个等差数列，首项就是第 1 组所抽取样本的号码，公差为间隔数，根据等差数列的通项公式就可以确定每一组内所要抽取的样本号码.【训练 2】 (1)(2018郑州模拟)为规范学校办学，某省教育厅督察组对某所高中进行了抽样调查.抽到的班级一共有 52 名学生，现将该班学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为 4 的样本，已知 7 号、33 号、46 号同学在样本中，那
13、么样本中还有一位同学的编号应是( )A.13 B.19 C.20 D.51(2)(2018湖北重点中学适应模拟)某校高三年级共有 30 个班，学校心理咨询室为了了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为 1 到 30，现用系统抽样的方法抽取 5 个班进行调查，若抽到的编号之和为 75，则抽到的最小的编号为_.解析 (1)由系统抽样的原理知，抽样的间隔为 52413，故抽取的样本的编号分别为7，713，7132，7133，即 7 号，20 号，33 号，46 号.样本中还有一位同学的编号为 20.6(2)系统抽样的抽取间隔为 6.设抽到的最小编号为 x，305则 x(6 x)(12 x)(18
14、x)(24 x)75，所以 x3.答案 (1)C (2)3考点三 分层抽样及其应用【例 3】 (1)(2017江苏卷)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为 200，400，300，100 件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取 60 件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取_件.(2)某学校三个兴趣小组的学生人数分布如下表(每名同学只参加一个小组)(单位：人).篮球组 书画组 乐器组高一 45 30 a高二 15 10 20学校要对这三个小组的活动效果进行抽样调查，按小组分层抽样的方法，从参加这三个兴趣小组的学生中抽取 30 人，结果篮球组被抽出 12
15、人，则 a 的值为_.解析 (1)因为样本容量 n60，样本总体 N2004003001001 000，所以抽取比例为 .nN 601000 350因此应从丙种型号的产品中抽取 300 18(件).350(2)由分层抽样得 ，解得 a30.1245 15 30120 a答案 (1)18 (2)30规律方法 1.分层抽样中分多少层，如何分层要视具体情况而定，总的原则是：层内样本的差异要小，两层之间的样本差异要大，且互不重叠.2.进行分层抽样的相关计算时，常用到的两个关系(1) ；样 本 容 量 n总 体 的 个 数 N 该 层 抽 取 的 个 体 数该 层 的 个 体 数(2)总体中某两层的个体
16、数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比.【训练 3】 (1)(2015北京卷)某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有 320 人，则该样本中的老年教师人数为( )类别 人数老年教师 9007中年教师 1 800青年教师 1 600合计 4 300A.90 B.100 C.180 D.300(2)(2018唐山调研)甲、乙两套设备生产的同类型产品共 4 800 件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为 80 的样本进行质量检测.若样本中有 50 件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为_件.解析 (1)设该样本中的老年教师人数为
17、 x，由题意及分层抽样的特点得 ，故x900 3201 600x180.(2)由题设，抽样比为 .804 800 160设甲设备生产的产品为 x 件，则 50， x3 000.x60故乙设备生产的产品总数为 4 8003 0001 800.答案 (1)C (2)1 8008基础巩固题组(建议用时：25 分钟)一、选择题1.为了了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )A.简单随机抽样 B.按性别分层抽样C.按学段分层抽样 D.
18、系统抽样解析 不同的学段在视力状况上有所差异，所以应该按照学段分层抽样.答案 C2.(2018呼和浩特质检)为了解 1 000 名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为 40 的样本，则分段的间隔为( )A.50 B.40 C.25 D.20解析 根据系统抽样的特点分段间隔为 25.1 00040答案 C3.下列抽样试验中，适合用抽签法的为( )A.从某厂生产的 5 000 件产品中抽取 600 件进行质量检验B.从某厂生产的两箱(每箱 18 件)产品中抽取 6 件进行质量检验C.从甲、乙两厂生产的两箱(每箱 18 件)产品中抽取 6 件进行质量检验D.从某厂生产的 5 000 件
19、产品中抽取 10 件进行质量检验解析 因为 A，D 中总体的个体数较大，不适合用抽签法；C 中甲、乙两厂生产的产品质量可能差别较大，因此未达到搅拌均匀的条件，也不适合用抽签法；B 中总体容量和样本容量都较小，且同厂生产的产品可视为搅拌均匀了.答案 B4.(一题多解)(2018青岛测试)某中学有高中生 3 500 人，初中生 1 500 人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为 n 的样本，已知从高中生中抽取 70 人，则 n 为( )A.100 B.150 C.200 D.2509解析 法一 由题意可得 ，解得 n100.70n 70 3 5001 500法二 由题
20、意，抽样比为 ，总体容量为 3 5001 5005 000，故 n703 500 1505 000 100.150答案 A5.在一个容量为 N 的总体中抽取容量为 n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为 p1， p2， p3，则( )A.p1 p2 p3 B.p2 p3 p1C.p1 p3 p2 D.p1 p2 p3解析 由随机抽样的知识知，三种抽样中，每个个体被抽到的概率都相等，故选 D.答案 D6.我国古代数学名著九章算术有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米 1 534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得 254 粒
21、内夹谷 28 粒，则这批米内夹谷约为( )A.134 石 B.169 石C.338 石 D.1 365 石解析 由随机抽样的含义，该批米内夹谷约为 1 534169(石).28254答案 B7.将参加英语口语测试的 1 000 名学生编号为 000，001，002，999，从中抽取一个容量为 50 的样本，按系统抽样的方法分为 50 组，如果第一组编号为000，001，002，019，且第一组随机抽取的编号为 015，则抽取的第 35 个编号为( )A.700 B.669C.695 D.676解析 由题意可知，第一组随机抽取的编号 l15，分段间隔数 k 20，由题意知抽出的这些号码是以 15
22、 为首项，20 为公差的等差Nn 1 00050数列，则抽取的第 35 个编号为 15(351)20695.答案 C8.交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查.假设四个社区驾驶员的总人数为 N，其中甲社区有驾驶员 96人.若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为 12，21，25，43，则这四个社10区驾驶员的总人数 N 为( )A.101 B.808C.1 212 D.2 012解析 甲社区每个个体被抽到的概率为 ，样本容量为 12212543101，所以四1296 18个社区中驾驶员的总人数 N 808.10118答
23、案 B二、填空题9.某校高一年级有 900 名学生，其中女生 400 名.按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为 45 的样本，则应抽取的男生人数为_.解析 设男生抽取 x 人，则有 ，解得 x25.45900 x900 400答案 2510.(2018武汉调研)从编号为 0，1，2，79 的 80 件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量是 5 的样本，若编号为 28 的产品在样本中，则该样本中产品的最大编号为_.解析 由系统抽样知，抽样间隔 k 16，805因为样本中含编号为 28 的产品，则与之相邻的产品编号为 12 和 44.故所取出的 5 个编号依次为 12，28，44
24、，60，76，即最大编号为 76.答案 7611.在距离央视春晚直播不到 20 天的时候，某媒体报道，由六小龄童和郭富城合演的猴戏节目被毙，为此，某网站针对“是否支持该节目上春晚”对网民进行调查，得到如下数据：网民态度 支持 反对 无所谓人数(单位：人) 8 000 6 000 10 000若采用分层抽样的方法从中抽取 48 人进行座谈，则持“支持”态度的网民抽取的人数为_.解析 持“支持”态度的网民抽取的人数为 48 48 16.8 0008 000 6 000 10 000 1311答案 1612.从编号为 001，002，500 的 500 个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本
25、中编号最小的两个编号分别为 007，032，则样本中最大的编号应该为_.解析 根据系统抽样的定义可知样本的编号成等差数列，令 a17， a232， d25，所以725( n1)500，所以 n20，最大编号为 72519482.答案 482能力提升题组(建议用时：10 分钟)13.福利彩票“双色球”中红色球的号码由编号为 01，02，33 的 33 个个体组成，某彩民利用下面的随机数表选取 6 组数作为 6 个红色球的编号，选取方法是从随机数表第 1 行的第 6 列和第 7 列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第 6 个红色球的编号为( )A.23 B.09 C.02 D.17解析
26、从随机数表第 1 行的第 6 列和第 7 列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出的 6 个红色球的编号依次为 21，32，09，16，17，02，故选出的第 6 个红色球的编号为 02.答案 C14.某工厂的三个车间在 12 月份共生产了 3 600 双皮靴，在出厂前要检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽取，若从第一、二、三车间抽取的产品数分别为a， b， c，且 a， b， c 构成等差数列，则第二车间生产的产品数为( )A.800 B.1 000C.1 200 D.1 500解析 因为 a， b， c 成等差数列，所以 2b a c.所以 b.所以第二车间抽取的产品数占抽样
27、产品总数的 .根据分层抽样的性质，可a b c3 13知第二车间生产的产品数占总数的 ，即为 3 6001 200.13 13答案 C15.采用系统抽样方法从 960 人中抽取 32 人做问卷调查，为此将他们随机编号为121，2，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为 9.抽到的 32 人中，编号落入区间1，450的人做问卷 A，编号落入区间451，750的人做问卷 B，其余的人做问卷 C.则抽到的人中，做问卷 B 的人数为_.解析 由系统抽样的特点，知抽取号码的间隔为 30，抽取的号码依次为960329，39，69，939.落入区间451，750的有 459，489，729
28、，这些数构成首项为459，公差为 30 的等差数列，设有 n 项，显然有 729459( n1)30，解得 n10.所以做问卷 B 的有 10 人.答案 1016.一个总体中有 90 个个体，随机编号 0，1，2，89，依从小到大的编号顺序平均分成 9 个小组，组号依次为 1，2，3，9.现用系统抽样方法抽取一个容量为 9 的样本，规定：如果在第 1 组随机抽取的号码为 m，那么在第 k 组中抽取的号码个位数字与 m k 的个位数字相同，若 m8，则在第 8 组中抽取的号码是_.解析 由题意知 m8， k8，则 m k16，也就是第 8 组抽取的号码个位数字为 6，十位数字为 817，故抽取的号码为 76.答案 76
