1、1第 4 讲 导数的热点问题考情考向分析 利用导数探求函数的极值、最值是函数的基本问题，高考中常与函数零点、方程根及不等式相结合，难度较大热点一 利用导数证明不等式用导数证明不等式是导数的应用之一，可以间接考查用导数判定函数的单调性或求函数的最值，以及构造函数解题的能力例 1 (2018全国)已知函数 f(x) aexln x1.(1)设 x2 是 f(x)的极值点，求 a，并求 f(x)的单调区间；(2)证明：当 a 时， f(x)0.1e(1)解 f(x)的定义域为(0，)， f( x) aex .1x由题设知， f(2)0，所以 a .12e2从而 f(x) exln x1， f( x)
2、 ex .12e2 12e2 1x当 02 时， f( x)0.所以 f(x)的单调递增区间为(2，)，单调递减区间为(0,2)(2)证明 当 a 时， f(x) ln x1.1e exe2设 g(x) ln x1( x(0，)，则 g( x) .exe exe 1x当 01 时， g( x)0.所以 x1 是 g(x)的最小值点故当 x0 时， g(x) g(1)0.因此，当 a 时， f(x)0.1e思维升华 用导数证明不等式的方法(1)利用单调性：若 f(x)在 a， b上是增函数，则 x a， b，则 f(a) f(x) f(b)；对 x1， x2 a， b，且 x11 时， g( x
3、)0， g(x)单调递增所以 g(x) g(1)0.因此 f(x)e0.热点二 利用导数讨论方程根的个数方程的根、函数的零点、函数图象与 x 轴的交点的横坐标是三个等价的概念，解决这类问题可以通过函数的单调性、极值与最值，画出函数图象的走势，通过数形结合思想直观求解例 2 (2018雅安三诊)设函数 f(x)( x1)e x x2.k23(1)当 k0，解得 x0，令 f( x)0，解得 x0，令 f( x)0，k2又 f(x)在0，)上单调递增，所以函数 f(x)在0，)上只有一个零点在区间(，0)中，因为 f(x)( x1)e x x2x1 x2，k2 k2取 x 1(，0)，2k于是 f
4、 1 2(2k 1)(2k 1) k2(2k 1) 0，k2又 f(x)在(，0)上单调递减，故 f(x)在(，0)上也只有一个零点，所以函数 f(x)在定义域(，)上有两个零点；当 k0 时， f(x)( x1)e x在单调递增区间0，)内，只有 f(1)0.而在区间(，0)内， f(x)1 时，令 g( x)0，解得 x1 ， x2 .d2 13 d2 13可得 g(x)在(， x1)上单调递增，在 x1， x2上单调递减，在( x2，)上单调递增所以 g(x)的极大值为g(x1) g 6 0.( d2 13 ) 23d2 19 3g(x)的极小值为g(x2) g 6 .(d2 13 )
5、23d2 19 3若 g(x2)0，则由 g(x)的单调性可知函数 y g(x)至多有两个零点，不合题意若 g(x2)27，也就是| d| ，此时| d|x2， g(|d|)| d|6 0，且10 32| d|0， f(x)在区间(16,96)内为增函数，所以 f(x)在 x16 处取得最小值，此时 n 15.9616答 需新建 5 个桥墩才能使余下工程的费用 y 最小思维升华 利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)建模：分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式 y f(x)(2)求导：求函数的导数 f( x)，解方程 f( x)0.(3)
6、求最值：比较函数在区间端点和使 f( x)0 的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值(4)作答：回归实际问题作答跟踪演练 3 图 1 是某种称为“凹槽”的机械部件的示意图，图 2 是凹槽的横截面(阴影部分)示意图，其中四边形 ABCD 是矩形，弧 CmD 是半圆，凹槽的横截面的周长为 4.若凹槽的强度 T 等于横截面的面积 S 与边 AB 的乘积，设 AB2 x， BC y.(1)写出 y 关于 x 的函数表达式，并指出 x 的取值范围；7(2)求当 x 取何值时，凹槽的强度最大解 (1)易知半圆 CmD 的半径为 x，故半圆 CmD 的弧长为 x.所以 42 x2 y x，得 y .
7、4 2 x2依题意知 00， T 为关于 x 的增函数；169 12当 0，则由 f( x)0，得 xln a.8当 x(，ln a)时， f( x)0.所以 f(x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增(2)(i)若 a0，由(1)知， f(x)至多有一个零点(ii)若 a0，由(1)知，当 xln a 时， f(x)取得最小值，最小值为 f(ln a)1 ln 1aa.当 a1 时，由于 f(ln a)0，故 f(x)只有一个零点；当 a(1，)时，由于 1 ln a0，1a即 f(ln a)0，故 f(x)没有零点；当 a(0,1)时，1 ln a2e 2 20，故 f
8、(x)在(，ln a)上有一个零点设正整数 n0满足 n0ln ，(3a 1)则 f(n0) e(a a2) n0e n02 n00.由于 ln ln a，(3a 1)因此 f(x)在(ln a，)上有一个零点综上， a 的取值范围为(0,1)押题预测已知 f(x) asin x， g(x)ln x，其中 aR， y g1 (x)是 y g(x)的反函数(1)若 00， m0 恒成立，求满足条件的最小整数 b 的值押题依据 有关导数的综合应用试题多考查导数的几何意义、导数与函数的单调性、导数与不等式等基础知识和基本方法，考查分类整合思想、转化与化归思想等数学思想方法本题的命制正是根据这个要求进
9、行的，全面考查了考生综合求解问题的能力(1)证明 由题意知 G(x) asin(1 x)ln x，9G( x) acos(1 x)(x0)，1x当 x(0,1)，01,00，故函数 G(x)在区间(0,1)上是增函数(2)证明 由(1)知，当 a1 时，G(x)sin(1 x)ln x 在(0,1)上单调递增sin(1 x)ln x0， m0 恒成立，即当 x(0，)时， F min0.(x)又设 h(x) F e x2 mx2，(x)h( x)e x2 m， m0， h(x)单调递增，又 h(0)0，则必然存在 x0(0,1)，使得 h(x0)0， F(x)在(0， x0)上单调递减，在(
10、x0，)上单调递增， F(x) F(x0) e mx 2x0 b20，20则 b mx 2 x02，又 e2 mx020，20 m ， 22x0 b 0e x 2 x0 2 22x0 2010 0ex x02，(x02 1)又 m 0 x02， x0(0，ln 2)恒成立，(x02 1)令 m(x) ex x2， x(0，ln 2)，(x2 1)则 m( x) (x1)e x1，12令 n(x) (x1)e x1，12则 n( x) xex0，12 m( x)在(0，ln 2)上单调递增， m( x)m(0) 0，12 m(x)在(0，ln 2)上单调递增， m(x)0)，求当下潜速度 v 取
11、什么值时，总用氧量最少解 (1)由题意，得下潜用时 (单位时间)，60v用氧量为 (升)；(v10)3 1 60v 3v250 60v水底作业时的用氧量为 100.99(升)；11返回水面用时 (单位时间)，60v2 120v用氧量为 1.5 (升)，120v 180v总用氧量 y 9( v0)3v250 240v(2)y ，6v50 240v2 3v3 2 00025v2令 y0，得 v10 ，32当 010 时， y0，函数单调递增，32当 00 时， f(x)g(x)(1)解 因为 f( x)1 ，ax2 x2 ax2 (x 0)若 a0，则 f( x)0 在定义域内恒成立， f(x)在
12、(，0)，(0，)上单调递增；若 a0，则由 f( x)0，解得 x ，a a由 f( x)0)，ax12h( x)1 (x0)，ax2 1x x2 x ax2设 p(x) x2 x a，则由 a0 知，方程 p(x)0 的判别式 14 a0，设 p(x)0 的正根为 x0， x x0 a0，20 p(1)11 a a1，又 p(0) a1)F( x)2 0 恒成立，1x 2x 1x F(x)在(1，)上为增函数，又 F(1)2020， F(x)0，即 h(x)min0，当 x(0，)且 a0 时， f(x)g(x)3(2018长春模拟)已知函数 f(x)ln x， g(x) x m(mR)(
13、1)若 f(x) g(x)恒成立，求实数 m 的取值范围；(2)已知 x1， x2是函数 F(x) f(x) g(x)的两个零点，且 x10)，则 F( x) 1 (x0)，1x 1 xx当 x1 时， F( x)0，所以 F(x)在(1，)上单调递减，在(0,1)上单调递增， F(x)在 x1 处取得最大值1 m，若 f(x) g(x)恒成立，则1 m0，即 m1.(2)证明 由(1)可知，若函数 F(x) f(x) g(x)有两个零点，则 mF ，(1x1)由 F(x1) F(x2)0， mln x1 x1，即证 ln mln x1ln x10，1x2 2x x2 2x 1x2故 h(x)
14、在(0,1)上单调递增， h(x)0 得 x0，由 f( x)0， f(0)10，3e2 f(x)有两个零点(2)证明 f( x)e x 2 x，(ax 1 a) x0 是 f(x)的极值点， f(0) a10， a1， f(x)( x1)e x x2，故要证( x1)e xln( x1) x1，令 x1 t， t0，即证 tet1 ln t t2( t0)，设 h(x)e xexln x x2( x0)，即证 h(x)0( x0)，h( x)ee x(x1) 11xe( x1) (x0)，(ex1ex)14令 u(x)e x (x0)， u( x)e x 0，1ex 1ex2 u(x)在(0
15、，)上单调递增，又 u(1)e 0， u 2e ex0时， u(x)0， h( x)0， h(x) h(x0)e x0 ln x0 x02e x0 ln 01 x021 x01 x020.1ex0综上得证5(2018滨海新区七所重点学校联考)已知函数 f(x) ln x(其中 a0，e2.7)1 xax(1)当 a1 时，求函数 f(x)在(1， f(1)点处的切线方程；(2)若函数 f(x)在区间2，)上为增函数，求实数 a 的取值范围；(3)求证：对于任意大于 1 的正整数 n，都有 ln n .12 13 1n(1)解 f(x) ln x，1 xx f( x) (x0)，x 1x2 f(
16、1)0， f(1)0， f(x)在点(1， f(1)处的切线方程为 y0.(2)解 f(x) ln x，1 xax f( x) (x0， a0)，ax 1ax2 f(x)在2，)上为增函数， f( x)0 对任意 x2，)恒成立 ax10 对任意 x2，)恒成立，即 a 对任意 x2，)恒成立1x当 x2，)时， max ，(1x) 1215 a ，即所求正实数 a 的取值范围是 .12 12， )(3)证明 当 a1 时， f(x) ln x， f( x) ，1 xx x 1x2当 x1 时， f( x)0， f(x)在(1，)上是增函数则当 x1 时， f(x)f(1)0，当 n1 时，令
17、 x 1，nn 1 f(x) ln ln 0，1 nn 1nn 1 nn 1 1n nn 1ln ，ln ，ln ，ln ，nn 11n 2112 3213 nn 11nln ln ln ，21 32 nn 112 13 1n即 ln ，(2132nn 1)12 13 1nln n ，12 13 1n即对于任意大于 1 的正整数 n，都有 ln n .12 13 1nB 组 能力提高6已知函数 f(x)e x2ln x， g(x) x2 ax b(a， bR)(1)若对任意的 x(0，)，不等式 f(x)x2 m2ln x 恒成立，求实数 m 的取值范围；(2)若对任意的实数 a，函数 F(x
18、) f(x) g(x) x22ln x 在(0，)上总有零点，求实数 b 的取值范围解 (1)对任意的 x(0，)，不等式 f(x)x2 m2ln x 恒成立可转化为不等式m0， n(x)单调递增从而当 x0，)时， n(x) n(ln 2)22ln 20，即 m( x)0，所以 m(x)在0，)上单调递增， m(x)的最小值是 m(0)1，16所以 m1，即 m 的取值范围为(，1(2)函数 F(x) f(x) g(x) x22ln x 在(0，)上总有零点，即 F(x)e x ax b 在(0，)上总有零点若 a1.以下证明：当 b1 时， F(x)e x ax b 在(0，)上总有零点若
19、 a0，(ba) ( ba)且 F(x)在(0，)上连续，故 F(x)在 上必有零点；(0， ba)若 a0， F(0)1 bx21 x2在 x(0，)时恒成立，取 x0 a b0，则 F(x0) F(a b)e a b a(a b) b(a b)2 a2 ab b ab b(b1)0，由于 F(0)1 b0，故 F(x)在(0， a b)上必有零点综上，实数 b 的取值范围是(1，)7已知 x1 为函数 f(x)( x2 ax)ln x x 的一个极值点(1)求实数 a 的值，并讨论函数 f(x)的单调性；(2)若方程 f(x) mx22 x 有且只有一个实数根，求实数 m 的值解 (1)函
20、数 f(x)的定义域为(0，)f( x)( x2 ax) (2 x a)ln x11x x(2 x a)ln x( a1)因为 x1 为函数 f(x)的一个极值点，所以 f(1)1(2 a)ln 1( a1)2 a0，解得 a2.故 f(x)( x22 x)ln x x，f( x) x(2 x2)ln x1( x1)(12ln x)17令 f( x)0，解得 x11， x21e .ee当 x 时， f( x)0，函数 f(x)单调递增；(0，ee)当 x 时， f( x)0，函数 f(x)单调递增(2)方程 f(x) mx22 x，即( x22 x)ln x x mx22 x，整理得( x22 x)ln x x mx2.因为 x0，所以 m .x2 2xln x xx2 x 2ln x 1x令 g(x) ln x ，x 2ln x 1x (1 2x) 1x则 g( x) ln x .2x2 (1 2x) 1x 1x2 2ln x x 1x2令 h(x)2ln x x1，则 h( x) 10 恒成立，2x所以函数 h(x)在(0，)上单调递增又 h(1)0，所以当 x(0,1)时， h(x)0，即 g( x)0， g(x)单调递增所以 g(x)的最小值为 g(1)10，当 x0 或 x时， g(x)，所以当 f(x) mx22 x 有且只有一个实数根时， m1.
