1、1回扣 6 立体几何1四棱柱、直四棱柱、正四棱柱、正方体、平行六面体、直平行六面体、长方体之间的关系2三视图(1)三视图的正(主)视图、侧(左)视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线画三视图的基本要求：正俯一样长，俯侧一样宽，正侧一样高(2)三视图排列规则：俯视图放在正(主)视图的下面，长度与正(主)视图一样；侧(左)视图放在正(主)视图的右面，高度和正(主)视图一样，宽度与俯视图一样3柱、锥、台、球体的表面积和体积侧面展开图 表面积 体积直棱柱 长方形 S2 S 底 S 侧 V S 底 h2圆柱 长方形 S2 r22 rl V r2l棱锥 由若干三角形构成
2、S S 底 S 侧 V S底 h13圆锥 扇形 S r2 rl V r2h13棱台 由若干个梯形构成 S S 上底 S 下底 S 侧 V (S S) h13 SS圆台 扇环S r 2( r r)l r2V ( r2 rr r 2)13h球 S4 r2 V r34334平行、垂直关系的转化示意图(1)(2)两个结论Error! a b，Error! b .1混淆“点 A 在直线 a 上”与“直线 a 在平面 内”的数学符号关系，应表示为A a， a .2在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线为虚线在还原空间几何体实际形状时一
3、般是以正(主)视图和俯视图为主3易混淆几何体的表面积与侧面积的区别，几何体的表面积是几何体的侧面积与所有底面面积之和，不能漏掉几何体的底面积；求锥体体积时，易漏掉体积公式中的系数 .134不清楚空间线面平行与垂直关系中的判定定理和性质定理，忽视判定定理和性质定理中的条件，导致判断出错如由 ， l， m l，易误得出 m 的结论，就是因为忽视面面垂直的性质定理中 m 的限制条件5注意图形的翻折与展开前后变与不变的量以及位置关系对照前后图形，弄清楚变与不变的元素后，再立足于不变的元素的位置关系与数量关系去探求变化后的元素在空间中的位置与数量关系6几种角的范围两条异面直线所成的角：0 90；直线与平
4、面所成的角：0 90.41.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A16B26C32D20254 3答案 C解析 由三视图知，该几何体的直观图如图，其表面积为S 34 34 54 5432，故选 C.12 12 12 122直三棱柱 ABCA1B1C1的直观图及三视图如图所示， D 为 AC 的中点，则下列命题中是假命题的是( )A AB1平面 BDC1B A1C平面 BDC1C直三棱柱的体积 V4D直三棱柱的外接球的表面积为 4 35答案 D解析 由三视图可知，直三棱柱 ABCA1B1C1的侧面 B1C1CB 是边长为 2 的正方形，底面 ABC 是等腰直角三角形， AB
5、BC， AB BC2.连接 B1C 交 BC1于点 O，连接 OD.在 CAB1中， O， D 分别是 B1C， AC 的中点， OD AB1，又 OD平面 BDC1， AB1平面 BDC1， AB1平面 BDC1.故 A 正确；在直三棱柱 ABC A1B1C1中， AA1平面 ABC， AA1 BD.又 AB BC2， D 为 AC 的中点， BD AC，又 AA1 AC A， AA1， AC平面 AA1C1C， BD平面 AA1C1C，又 A1C平面 AA1C1C， BD A1C.又 A1B1 B1C1， A1B1 B1B， B1C1 B1B B1，B1C1， B1B平面 B1C1CB，
6、A1B1平面 B1C1CB，又 BC1平面 B1C1CB， A1B1 BC1. BC1 B1C，且 A1B1 B1C B1， A1B1， B1C平面 A1B1C， BC1平面 A1B1C，又 A1C平面 A1B1C， BC1 A1C，又 BD BC1 B， BD， BC1平面 BDC1，6 A1C平面 BDC1.故 B 正确；V S ABCC1C 2224，故 C 正确；12此直三棱柱的外接球的半径为 ，其表面积为 12，D 错故选 D.33已知直线 l， m 和平面 ，则下列结论正确的是( )A若 l m， m ，则 l B若 l ， m ，则 l mC若 l m， l ，则 m D若 l
7、， m ，则 l m答案 B解析 若 l m， m ，则 l 或 l ，故 A 错误；若 l ， m ，则 l m，B 正确；若 l m， l ，则 m 或 m ，故 C 错误；若 l ， m ，则 l m 或 l， m 异面，故选 B.4已知互相垂直的平面 ， 交于直线 l.若直线 m， n 满足 m ， n ，则( )A m l B m nC n l D m n答案 C解析 由题意知， l， l ， n ， n l.故选 C.5已知 m， n 为异面直线， m平面 ， n平面 ，直线 l 满足l m， l n， l ， l ，则( )A 且 l B 且 l C 与 相交，且交线垂直于 lD
8、 与 相交，且交线平行于 l答案 D解析 假设 ，由 m平面 ， n平面 ，得 m n，这与已知 m， n 为异面直线矛盾，那么 与 相交，设交线为 l1，则 l1 m， l1 n，在直线 m 上任取一点作 n1平行于 n，那么 l1和 l 都垂直于直线 m 与 n1所确定的平面，7所以 l1 l.6.如图，正方体 AC1的棱长为 1，过点 A 作平面 A1BD 的垂线，垂足为点 H，以下四个命题：点 H 是 A1BD 的垂心； AH 垂直于平面 CB1D1；直线 AH 和 BB1所成的角为 45； AH的延长线经过点 C1，其中假命题的个数为( )A0 B1 C2 D3答案 B解析 AB A
9、A1 AD， BA1 BD A1D，三棱锥 A BA1D 为正三棱锥，点 H 是 A1BD 的垂心，故正确；平面 A1BD 与平面 B1CD1平行， AH平面 A1BD， AH平面 CB1D1，故正确； AA1 BB1， A1AH 就是直线 AH 和 BB1所成的角，在直角三角形 AHA1中， AA11， A1H ，23 32 2 63sin A1AH ，故错误；63 22根据正方体的对称性得到 AH 的延长线经过点 C1，故正确，故选 B.7.如图，在四边形 ABCD 中， AD BC， AD AB， BCD45， BAD90，将 ADB 沿 BD折起，使平面 ABD平面 BCD，构成三棱锥
10、 A BCD.则在三棱锥 A BCD 中，下列命题正确的是( )A平面 ABD平面 ABCB平面 ADC平面 BDCC平面 ABC平面 BDC8D平面 ADC平面 ABC答案 D解析 因为在四边形 ABCD 中， AD BC， AD AB， BCD45， BAD90，所以 BD CD.又平面 ABD平面 BCD，且平面 ABD平面 BCD BD， CD平面 BCD，所以 CD平面 ABD，则 CD AB，又 AD AB， AD CD D， AD， CD平面 ADC，所以 AB平面 ADC，又 AB平面 ABC，所以平面 ABC平面 ADC，故选 D.8长方体的顶点都在同一球面上，其同一顶点处的
11、三条棱长分别为 3,4,5，则该球面的表面积为( )A25 B50C75 D. 12523答案 B解析 设球的半径为 R，由题意可得(2 R)23 24 25 250，4 R250，球的表面积为 S4 R250.9.如图，三棱锥 A BCD 的棱长全相等，点 E 为棱 AD 的中点，则直线 CE 与 BD 所成角的余弦值为( )A. B.36 32C. D.336 12答案 A解析 取 AB 中点 G，连接 EG， CG. E 为 AD 的中点， EG BD. GEC 为 CE 与 BD 所成的角设 AB1，9则 EG BD ，12 12CE CG ，32cos GECEG2 EC2 GC22
12、EGEC .(12)2 (32)2 (32)221232 3610.如图，在正方形 ABCD 中， E， F 分别是 BC， CD 的中点， AC EF G.现在沿 AE， EF， FA把这个正方形折成一个四面体，使 B， C， D 三点重合，重合后的点记为 P，则在四面体P AEF 中必有( )A AP PEF 所在平面B AG PEF 所在平面C EP AEF 所在平面D PG AEF 所在平面答案 A解析 在折叠过程中， AB BE， AD DF 保持不变Error! AP平面 PEF.1011.如图，在空间四边形 ABCD 中，点 M AB，点 N AD，若 ，则直线 MN 与平面 B
13、DC 的AMMB ANND位置关系是_答案 平行解析 由 ，得 MN BD.AMMB ANND而 BD平面 BDC， MN平面 BDC，所以 MN平面 BDC.12.如图，在长方体 ABCDA B C D中， E， F， G， H 分别是棱AD， BB， B C， DD的中点，从中任取两点确定的直线中，与平面 AB D平行的有_条答案 6解析 如图，连接 EG， EH， FG， EF， HG， EH FG 且 EH FG， EFGH 四点共面，由 EG AB， EH AD，EG EH E， AB AD A，可得平面 EFGH 与平面 AB D平行，符合条件的共有 6 条1113如图，在正四棱柱
14、 ABCD A1B1C1D1中， AB1， AA12，点 P 是平面 A1B1C1D1内的一个动点，则三棱锥 P ABC 的正(主)视图与俯视图的面积之比的最大值为_答案 2解析 因为在正四棱柱 ABCD A1B1C1D1中， AB1， AA12，所以三棱锥 P ABC 的正(主)视图是底边为 1，高为 2 的三角形，其面积为 1；三棱锥 P ABC 的俯视图面积的最小值是ABC 的面积，其面积为 .12所以三棱锥 P ABC 的正(主)视图与俯视图的面积之比的最大值为 2.14设 m， n 是不同的直线， ， ， 是不同的平面，有以下四个命题：Error! ；Error! m ；Error!
15、 ；Error! m .其中，正确的命题是_(填序号)答案 解析 中平行于同一平面的两平面平行是正确的；中 m， 可能平行，相交或直线在平面内；中由面面垂直的判定定理可知结论正确；中 m， 可能平行或线在面内15如图(1)，在边长为 4 的菱形 ABCD 中， DAB60，点 E， F 分别是边 CD， CB 的中点，AC EF O，沿 EF 将 CEF 翻折到 PEF，连接 PA， PB， PD，得到如图(2)所示的五棱锥P ABFED，且 PB .10(1)求证： BD PA；12(2)求四棱锥 P BFED 的体积(1)证明 点 E， F 分别是边 CD， CB 的中点， BD EF.菱
16、形 ABCD 的对角线互相垂直， BD AC， EF AC， EF AO， EF PO. AO平面 POA， PO平面 POA， AO PO O， EF平面 POA， BD平面 POA，又 PA平面 POA， BD PA.(2)解 设 AO BD H.连接 BO， DAB60， ABD 为等边三角形， BD4， BH2，HA2 ， HO PO ，3 3在 Rt BHO 中， BO ，BH2 HO2 7在 PBO 中， BO2 PO210 PB2， PO BO. PO EF， EF BO O， EF平面 BFED，BO平面 BFED， OP平面 BFED，梯形 BFED 的面积 S (EF BD
17、)HO3 ，12 313四棱锥 P BFED 的体积V SPO 3 3.13 13 3 316.如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是直角梯形， ABC90，AB CD， AB AD2， CD1，侧面 PAD底面 ABCD，且 PAD 是以 AD 为底的等腰三角形(1)证明： AD PB；(2)若三棱锥 C PBD 的体积等于 ，问：是否存在过点 C 的平面 CMN，分别交 PB， AB 于点12M， N，使得平面 CMN平面 PAD？若存在，求出 CMN 的面积；若不存在，请说明理由(1)证明 取 AD 中点 E，连接 PE， BE， PAD 为等腰三角形， PA PD， PE
18、 AD，在直角梯形 ABCD 中，由 AB AD2， CD1，得 BC ， DAB60，3则 ABD 为正三角形， BE AD，又 PE BE E， PE， BE平面 PBE， AD平面 PEB，又 PB平面 PEB， AD PB.(2)解 由(1)知， PE AD，又平面 PAD底面 ABCD，平面 PAD平面 ABCD AD，PE平面 PAD， PE平面 ABCD，14则 VC PBD VP BDC PE DCBC ，13 12 12 PE .3取 PB 中点 M， AB 中点 N，连接 CM， MN， CN，由 MN PA， CN AD 可知，平面 CMN平面 PAD，取 BE 中点 G，连接 MG， MG PE， MG PE，12 MG CN.S CMN CNMG 2 .12 12 32 32
