1、1第12课时 二次函数毕节中考考情及预测近五年中考考情 2019年中考预测年份 考查点 题型 题号 分值二次函数的图象与平移 选择题 7 3二次函数图象与系数的关系选择题 15 3二次函数的应用 解答题 25(2) 62018二次函数的综合 解答题 27 162017 二次函数的综合 解答题 27 16二次函数图象与系数的关系,选择题 14 32016二次函数的综合 解答题 27 16二次函数图象与系数的关系选择题 14 3二次函数的应用 解答题 25(2) 62015二次函数的综合 解答题 27 16二次函数的性质 选择题 11 3二次函数的应用 解答题 25 122014二次函数的综合 解
2、答题 27 16预计将以压轴题的形式考查二次函数，也有可能以选择题的形式考查二次函数的性质.毕节中考真题试做二次函数的图象与性质1.（2018毕节中考）已知二次函数yax 2bxc（a0）的图象如图所示，下列结论：abc0；2ab0；b 24ac0；abc0，其中正确的个数是（ D ）A.1 B.2 C.3 D.4二次函数的图象与平移2.（2018毕节中考）将抛物线yx 2向左平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度，平移后所得新抛物线的表达式为（ A ）A.y（x2） 25 B.y（x2） 25C.y（x2） 25 D.y（x2） 25二次函数的应用3.（2014毕节中考）某工厂生产的某种产
3、品按质量分为10个档次，第1档次（最低档次）的产品一天能生产95件，每件利润6元.每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件.（1）若生产第x档次的产品一天的总利润为y元（其中x为正整数，且1x10），求出y关于x的函数关系式；（2）若生产第x档次的产品一天的总利润为1 120元，求该产品的质量档次.解：（1）第一档次的产品一天能生产95件，每件利润6元，每提高一个档次，每件利润加2元，但一天生产2量减少5件，第x档次，提高的档次是（x1）档.y62（x1）955（x1），即y10x 2180x400（其中x是正整数，且1x10）；（2）由题意，得10x 2180x4001 120，
4、即x 218x720，解得x 16，x 212（舍去）.答：该产品的质量档次为第6档.二次函数的综合4.（2018毕节中考）如图，以D为顶点的抛物线yx 2bxc交x轴于A，B两点，交y轴于点C，直线BC的表达式为y x3.（1）求抛物线的表达式；（2）在直线BC上有一点P，使POPA的值最小，求点P的坐标；（3）在x轴上是否存在一点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形与BCD相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.解：（1）点B，C在直线yx3上，B（3，0），C（0，3）.又点B，C在抛物线yx 2bx c上，93bc0，c3，b2，c3.抛物线的表达式为yx 22x3；（2）
5、作点A关于直线BC的对称点A，连接AO，交BC于点P，连接AA，AB，则BC垂直平分AA，POPA的最小值为AO.抛物线的表达式为yx 22x3，当y0时，x 22x30，解得x 11，x 23.点A（1，0）.OBOC3，OA4.又BOC90，OBC45，ABAB4，ABCABC45，ABA 90，ABAB，A（3，4）.直线AO的表达式为y x.43点P是直线AO和BC的交点，3 解得y 43x，y x 3， ) x 97，y 127.)点P ；(97， 127)（3）在x轴上存在点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形与BCD相似.点D是抛物线yx 22x3的顶点，D（1，4）.又A（1，0
6、），B（3，0），C（0，3），AC ，BC3 ，BD2 ，CD ，10 2 5 2CD 2BC 2BD 2.BCD为直角三角形，且BCD90. ，BCDCOA90，OACD OCBC ACBD 22COABCD.当点Q与原点重合时，CQABCD，此时Q（0，0）；过点C作QCAC，交x轴于点Q.由CAOQAC，AOCACQ90，得COAQCA，则COAQCABCD，则 ，即AQ 10，则OQ9，此时Q（9，0）.ACAQ AOAC AC2AO （ 10） 21综上所述，在x轴上存在点Q（0，0）或（9，0），使得以A，C，Q为顶点的三角形与BCD相似.毕节中考考点梳理二次函数的概念及解析式1
7、.二次函数的定义一般地，若两个变量x，y之间的对应关系可以表示成yax 2bxc（a，b，c是常数，a0）的形式，则称y是x的二次函数，其中，a叫做二次项系数，b叫做一次项系数，c叫做常数项.2.三种表示方法（1）一般式：yax 2bxc（a0）；（2）顶点式：ya（xh） 2k（a0），其中二次函数的顶点坐标是（h，k）；（3）两点式：ya（xx 1）（xx 2）（a0），其中x 1，x 2为抛物线与x轴交点的横坐标.3.三种表达式之间的关系顶点式 一般式 两点式 配 方 因 式 分 解 44.二次函数表达式的确定（1）求二次函数表达式一般用待定系数法，根据所给条件的不同，要灵活选用函数表达
8、式；当已知抛物线上任意三点时，通常设为yax 2bxc的形式；当已知抛物线的顶点或对称轴时，通常设为ya（xh） 2k的形式；当已知抛物线与x轴的交点或交点的横坐标时，通常设为ya（xx 1）（xx 2）的形式.（2）步骤：设二次函数的表达式；根据已知条件，得到关于待定系数的方程组；解方程组，求出待定系数的值，从而写出函数的表达式.二次函数的图象及其性质5.图象性质函数 二次函数yax2bxc（a，b，c为常数，a0）图象对称轴 直线x b2a 直线x b2a顶点坐标 (b2a， 4ac b24a ) ( b2a， 4ac b24a )增减性在对称轴的左侧，即当xb2a时，y的值随x值的增大而
9、减小；在对称轴的右侧，即当xb2a时，y的值随x值的增大而增大.简记为左减右增.在对称轴的左侧，即当xb2a时，y的值随x值的增大而增大；在对称轴的右侧，即当xb2a时，y的值随x值的增大而减小，简记为左增右减.最值抛物线有最低点，当 x b2a时，y有最小值，y 最小值 .4ac b24a抛物线有最高点，当x 时b2a，y有最大值，y 最大值 .4ac b24a6.系数a，b，c与二次函数图象的关系项目字母 字母的符号 图象的特征a0 开口向上aa0 开口向下 b0 对称轴为y轴ab0（b与a同号） 对称轴在y轴左侧bab0（b与a异号） 对称轴在y轴右侧c0 经过原点 c0 与y轴正半轴相
10、交cc0 与y轴负半轴相交b24ac b24ac0 与x轴有唯一交点5（顶点）b24ac0 与x轴有两个不同 交点b24ac0 与x轴没有交点当x1时，yabc.当x1时，yabc.若abc0，即x1时，y0.特殊关系若abc0，即x1时，y0.二次函数图象的平移7.平移步骤（1）将抛物线解析式转化为顶点式ya（xh） 2k，确定其顶点坐标；（2）保持抛物线的形状不变，平移顶点坐标（h，k）即可.8.平移规律移动方向 平移前的解析式 平移后的解析式 规律向左平移m个单位长度ya（xh） 2k ya（xhm） 2k 左加向右平移m个单位长度ya（xh） 2k ya（xhm） 2k 右减向上平移m
11、个单位长度ya（xh） 2k ya（xh） 2km 上加向下平移m个单位长度ya（xh） 2k ya（xh） 2km 下减口诀：左加右减，上加下减.二次函数与一元二次方程的关系9.二次函数与一元二次方程及b 24ac的关系二次函数yax 2bxc与x轴的交点情况一元二次方程ax 2bxc0根的情况 b24ac有两个交点（x 1，0），（x 2，0）. 有两个不相等的实数根x 1，x 2. b24ac0只有一个交点，交点坐标为.(b2a， 0) 有两个相等的实数根x 1x 2 .b2a b24ac0没有交点. 没有实数根. b24ac01.（2016毕节中考）一次函数yaxc（a0）与二次函数y
12、ax 2bxc（a0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ D ）2.（2018成都中考）关于二次函数y2x 24x1，下列说法正确的是（ D ）6A.图象与y轴的交点坐标为（0，1）B.图象的对称轴在y轴的右侧C.当x0时，y的值随x值的增大而减小D.y的最小值为33.（2018安顺模拟）如图，已知经过原点的抛物线yax 2bxc（a0）的对称轴是直线x1，下列结论：ab0，abc0，当2x0时，y0. 正确的个数是（ D ）A.0个 B.1个 C.2个 D.3个4.（2018哈尔滨中考）将抛物线y5x 21向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为（ A ）A.y5（x
13、1） 21 B.y5（x1） 21C.y5（x1） 23 D.y5（x1） 235.（2018安徽中考）小明大学毕业回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各50盆.售后统计，盆景的平均每盆利润是160元，花卉的平均每盆利润是19元.调研发现：盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元；每减少1盆，盆景的平均每盆利润增加2元；花卉的平均每盆利润始终不变.小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加x盆，第二期盆景与花卉售完后的利润分别为W 1，W 2（单位：元）.（1）用含x的代数式分别表示W 1，W 2；（2）当x取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大，最大总利
14、润是多少？解：（1）W 1（50x）（1602x）2x 260x8 000，W 219（50x）19x950；（2）由题意，得W 总 W 1W 22x 241x8 950.20， 10.25，412（ 2）当x10时，W 总 最大，W总 的最大值为210 241108 9509 160.答：当x10时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大，最大总利润是9 160元.6.（2015毕节中考）如图，抛物线yx 2bxc与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，顶点M关于x轴的对称点是M.（1）求抛物线的解析式；（2）若直线AM与此抛物线的另一个交点为C，求CAB的面积；7（3）是否存在过
15、A，B两点的抛物线，其顶点P关于x轴的对称点为Q，使得四边形APBQ为正方形？若存在，求出此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由.解：（1）将A，B两点的坐标代入yx 2bxc，得解得1 b c 0，9 3b c 0， ) b 2，c 3.)抛物线的解析式为yx 22x3；（2）yx 22x3（x1） 24，点M的坐标为（1，4），点M的坐标为（1，4）.设直线AM的解析式为ykxb，将A，M点的坐标代入，得解得 k b 0，k b 4， ) k 2，b 2.)直线AM的解析式为y2x2.联立直线AM与抛物线的解析式，得解得y 2x 2，y x2 2x 3， ) x1 1，y1 0， )x2
16、5，y2 12.)点C的坐标为（5，12）.S CAB 41224；12（3）存在过A，B两点的抛物线，其顶点P关于x轴的对称点为Q，使得四边形APBQ为正方形.由APBQ是正方形，A（1，0），B（3，0），得P（1，2），Q（1，2）或P（1，2），Q（1，2）.当顶点P（1，2）时，设抛物线的解析式为ya（x1） 22，将A点坐标代入，得4a20，解得a .12此时抛物线的解析式为y （x1） 22；12当顶点P（1，2）时，设抛物线的解析式为ya（x1） 22，将A点坐标代入，得4a20，解得a .12此时抛物线的解析式为y （x1） 22.128综上所述，存在抛物线y （x1） 22
17、或y （x1） 22，使得四边形APBQ为正方形.12 12中考典题精讲精练二次函数的图象与性质例1 （2014毕节中考）抛物线y2x 2，y2x 2，y x2共有的性质是（ B ）12A.开口向下B.对称轴是y轴C.都有最高点D.y的值随x值的增大而增大【解析】二次函数yax 2bxc（a0）的图象具有如下性质：若a0，抛物线yax 2bxc（a0）的开口向上，当x 时，y的值随x值的增大而减小；当x 时，y的值随x值的增大而增大；当x 时，b2a b2a b2ay取最小值 ，即顶点是抛物线的最低点；若a0，抛物线yax 2bxc（a0）的开口向下，当x4ac b24a时，y的值随x值的增大
18、而增大；当x 时，y的值随x值的增大而减小；当x 时，y取最大值 ，b2a b2a b2a 4ac b24a即顶点是抛物线的最高点.抛物线y2x 2开口向上，对称轴为y轴，有最低点，顶点为原点；抛物线y2x 2开口向下，对称轴为y轴，有最高点，顶点为原点；抛物线y x2开口向上，对称轴为y轴，有最低点，顶点为原点.12二次函数图象的平移例2 （20 18安顺模拟）将抛物线 y2x 2向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度所得的抛物线解析式为（ D ）A.y2（x1） 2 B.y2（x1） 22C.y2（x1） 22 D.y2（x1） 21【解析】根据二次函数平移的特点“左加右减、上加下减
19、”的方法可以得出抛物线平移后的解析式.二次函数图象与系数的关系例3 （2018恩施中考）抛物线yax 2bxc的对称轴为直线x1，部分图象如图，下列判断中：abc0；b 24ac0；9a3bc0；若点（0.5，y 1），（2，y 2）均在 抛物线上，则y 1y 2；5a2bc0.正确的个数是（ B ）9A.2 B.3 C.4 D.5【解析】对于二次函数yax 2bxc（a0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a0时，抛物线开口向上；当a0时，抛物线开口向下；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab0），对称轴在y轴左侧；当a与b异号时（即ab0），对称轴
20、在y轴右侧；常数项c决定抛物线与y轴交点的位置：抛物线与y轴交于点（0，c）.抛物线与x轴交点个数由决定：b 24ac0时，抛物线与x轴有2个不同交点；b 24ac0时，抛物线与x轴有1个交点；b 24ac0时，抛物线与x轴没有交点.对称轴在y轴左侧，ab0.抛物线 与y轴的交点在x轴下方，c0. abc0；抛物线与x轴有两个交点，b 24ac0；抛物线与x轴交于（3，0），9a3bc0；点（0.5，y 1），（2，y 2）均在抛物线上，1.52，y 1y 2； 抛物线的对称轴为x1，经过（1，0）， 1，abc0，b2a，c3a.b2a5a2bc5a4a3a2a0.二次函数的应用例4 （20
21、18衢州中考）某游乐园有一个直径为16 m的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3 m处达到最高，高度为5 m，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合.如图，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系.（1） 求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式；（2）王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8 m的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？（3）经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到32 m，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇
22、合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度.【解析】（1）根据顶点坐标可设二次函数的顶点式，代入点（8，0），求出a值；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出当y1.8时x的值，由此即可得出结论；（3）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出抛物线与y轴的交点坐标，由抛物线的形状不变可设改造后水柱所在抛物线（第一 象限部分）的函数表达式，代入点（16，0）可求出b的值，再利用配方法将二次函数表达式变形为顶点式，即可得出结论.【答案】解：（1）设水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为ya（x3） 25（a0），将（8，0）代入ya（x3） 25，得25a50，解得a .1510水柱所在抛物线
23、（第一象限部分）的函数表达式为y （x3） 25（0x8）；15（2）当y1.8时， （x3） 251.8，15解得x 11（舍去），x 27.答：为了不被淋湿，身高1.8 m的王师傅站立时必须在离水池中心7 m以内；（3）当x0时，y （x3） 25 .15 165设改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y x2bx .15 165该函数图象过点（16，0），0 16216b ，解得b3.15 165改 造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y x23x .15 165 15(x 152)2 28920答：扩建改造后喷水池水柱的最大高度为 m.28920二次函数的综合例
24、5 （2017毕节中考）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A（1，0），B（4，0），C（0，4）三点，点P是直线BC下方抛物线上一动点.（1）求这个二次函数的解析式；（2）是否存在点P，使POC是以OC为底边的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；（3）动点P运动到什么位置时，PBC面积最大，求出此时P点坐标和PBC的最大面积.【解析】（1）由A，B，C三点坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式；（2）由题意可知点P在线段OC的垂直平分线上，则可求得点P的纵坐标，代入抛物线解析式可求得点P的坐标；（3）过P作PEx轴，交x轴于点E，交直线BC于点F，用点P
25、的坐标可表示出PF的长，则可表示出PBC的面积，利用二次函数的性质可求得PBC面积的最大值及点P的坐标.【答案】解：（1）设抛物线的解析式为yax 2bxc，把A（1，0），B（4，0），C（0，4）三点坐标代入，得，解得a b c 0，16a 4b c 0c 4， ) a 1，b 3，c 4.)抛物线的解析式为yx 23x4；11（2）作OC的垂直平分线DP，交OC于点D，交BC下方抛物线于点P，如图1，则POPC，此时P点即为满足条件的点.点C（0，4），D（0，2），点P的纵坐标为2.把y2代入yx 23x4，解得x 或x （舍去）.存在点P，使POC是以OC为底边的等腰3 172 3
26、172三角形，此时P点坐标为 ；(3 172 ， 2)（3）设P点坐标为（t，t 23t4）.过点P作PEx轴于点E，交直线BC于点F，如图2，则S PBC S PFC S PFB PFOE PFBE PF（OEBE） PFOB.B（4，0），C（0，4），12 12 12 12直线BC的解析式为yx4，F（t，t4）.PF（t4）（t 23t4）（t2） 24.当t2时，PF有最大值4.S PBC 有最大值 448，此时t 23t46.12当点P运动到点（2，6）时，PBC的面积最大，最大面积为8.1.已知一次函数y xc的图象如图，则二次函数yax 2bxc在平面直角坐标系中的图象可能是（
27、 D ba）122.（2018上海中考）下列对二次函数yx 2x的图象的描述，正确的是（ C ）A.开口向下B.对称轴是y轴C.经过原点D.在对称轴右侧部分是下降的3.（2018北部湾中考）将抛物线y x26x21向左平移2个单位长度后，得到新抛物线的解析式为（ D 12）A.y （x8） 2512B.y （x4） 2512C.y （x8） 2312D.y （x4） 23124.（2018广安中考）抛物线y（x2） 21可以由抛物线yx 2平移而得到，下列平移正确的是（ D ）A.先向左平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度B.先向左平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度C.先向右平移
28、2个单位长度，然后向上平移1个单位长度D.先向右平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度5.（2018滨州中考）如图，若二次函数yax 2bxc（a0）图象的对称轴为x1，与y轴交于点C，与x轴交于点A，B（1，0），有下列结论：二次函数的最大值为abc；abc0；b 24ac0；当y0时，1x3.其中正确的个数是（ B ）A.1 B.2 C.3 D.4,（第5题图） 6.（2018白银中考）如图是二次函数yax 2bxc（a，b，c是常数，a0）图象的一部分，与x轴的交点A在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是x1.对于下列说法：ab0；2ab0；3ac0；abm13（amb）（m为实数
29、）；当1x3时，y0.其中正确的是（ A ）,（第6题图）A. B.C. D.7.（2018北京中考）跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y（单位： m）与水平距离x（单位： m）近似满足函数关系yax 2bxc（a0）.如图记录了某运动员起跳后的x与y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为（ B ）A.10 m B.15 m C.20 m D.22.5 m8.（2018滨州中考）如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高
30、度y（单位： m）与飞行时间x（单位： s）之间具有函数关系y5x 220x，请根据要求解答下列问题：（1）在飞行过程中，当小球的飞行高度为15 m时，飞行时间是多少？（2）在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？（3）在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？14解：（1）当y15时，155x 220x，解得x 11，x 23.答：在飞行过程中，当小球的飞行高度为15 m时，飞行时间是1 s或3 s；（2）当y0时，05 x220x，解得x 10，x 24.x 2x 14.答：在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是4 s；（3）y5x 220x5（x2） 220，当x2时，
31、y取得最大值，此时，y20.答：在飞行过程中，小球飞行高度第2 s时最大，最大高度是20 m.9.（2018毕节模拟）已知抛物线yax 2axb（a0）与直线y2xm有一个公共点M（1，0），且ab.（1）求b与a的关系式和抛物线的顶点D的坐标（用含a的代数式表示）；（2）直线与抛物线的另外一个交点记为N，求DMN的面积与a的关系式；（3）当a1时，直线y2x与抛物线在第二象限交于点G，点G，H关于原点对称 ，现将线段GH沿y轴向上平移t个单位长度（t0），若线段GH与抛物线有两个不同的公共点，试求t的取值范围.解：（1）点M（1，0）在抛物线yax 2axb上，aab0，即b2a，yax 2
32、ax2aa ，(x12)2 9a4抛物线顶点D的坐标为 ；(12， 9a4)（2）点M（1，0）在直线y2xm上，021m，解得m2，y2x2.由题意，得 y 2x 2，y ax2 ax 2a， )则ax 2（a2）x2a20，解得x1或x 2.2aN点坐标为 .(2a 2， 4a 6)ab，a2a，a0.15如图1，设抛物线的对称轴交直线MN于点E，点E的横坐标为 .12又点E在直线y2x2上，E .(12， 3)设DMN的面积为S.M（1，0），N ，(2a 2， 4a 6)SS DEN S DEM | 1| （3）| a；12(2a 2) 9a4 274 3a 278（3）当 a1时，抛物线的解析式为yx 2x2 .(x12)2 94点G为抛物线与直线y2x的交点，x 2x22x，解得x 12，x 21，G（1，2）.点G，H关于原点对称，H（1，2）.设直线GH平移后的解析式为y2xt，当点H平移后落在抛物线上时，坐标为（1，0），把（1，0）代入y2xt，得t2 .当线段GH与抛物线有两个不同的公共点时，方程x 2x22xt，即x 2x2t0有两个不相等的根，14（t2）94t0，t .942t .94
