1、1课时规范练 32 基本不等式及其应用基础巩固组1.设 00,b0,a,b 的等比中项是 1,且 m=b+ ,n=a+ ,则 m+n 的最小值是( )1a 1bA.3 B.4 C.5 D.64.函数 y= (x-1)的图象的最低点的坐标是 ( )x2+2x+2x+1A.(1,2) B.(1,-2) C.(1,1) D.(0,2)5.(2017 山东日照一模,文 6)已知圆 x2+y2+4x-2y-1=0 上存在两点关于直线 ax-2by+2=0(a0,b0)对称,则 的最小值为( )1a+4bA.8 B.9 C.16 D.186.要制作一个容积为 4 m3,高为 1 m 的无盖长方体容器 .已
2、知该容器的底面造价是每平方米 20 元,侧面造价是每平方米 10 元,则该容器的最低总造价是( )A.80 元 B.120 元 C.160 元 D.240 元7.若两个正实数 x,y 满足 =1,并且 x+2ym2+2m 恒成立,则实数 m 的取值范围是( )2x+1yA.(- ,-2)4, + ) B.(- ,-42, + )C.(-2,4) D.(-4,2)8.设 x,yR, a1,b1,若 ax=by=3,a+b=2 ,则 的最大值为( )31x+1yA.2 B. C.1 D. 导学号 2419092132 129.(2017 山东,文 12)若直线 =1(a0,b0)过点(1,2),则
3、 2a+b 的最小值为 . xa+yb10.(2017 江苏徐州模拟)已知正数 a,b 满足 2a2+b2=3,则 a 的最大值为 . b2+111.(2017 山西临汾二模,文 14)近来鸡蛋价格起伏较大,假设第一周、第二周鸡蛋价格分别为 a 元 /千克、 b 元 /千克,家庭主妇甲和乙买鸡蛋的方式不同:家庭主妇甲每周买 3 千克鸡蛋,家庭主妇乙每2周买 10 元钱的鸡蛋,试比较谁的购买方式更优惠(两次平均价格低视为实惠) .(在横线上填甲或乙即可) 12.设 a,b 均为正实数,求证: +ab2 .1a2+1b2 2导学号 24190922综合提升组13.已知不等式 |y+4|-|y|2
4、x+ 对任意实数 x,y 都成立,则实数 a 的最小值为( )a2xA.1 B.2 C.3 D.414.已知 x0,y0,lg 2x+lg 8y=lg 2,则 的最小值是 . x+yxy15.如果 a,b 满足 ab=a+b+3,那么 ab 的取值范围是 . 16.某工厂某种产品的年固定成本为 250 万元,每生产 x 千件,需另投入成本为 C(x)(单元:万元),当年产量不足 80 千件时, C(x)= x2+10x(单位:万元) .当年产量不少于 80 千件时, C(x)=51x+ -1 13 10 000x450(单位:万元) .每件商品售价为 0.05 万元 .通过市场分析,该厂生产的
5、商品能全部售完 .(1)写出年利润 L(x)(单位:万元)关于年产量 x(单位:千件)的函数解析式;(2)年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?导学号 24190923创新应用组17.若正实数 x,y 满足 x+y+ =5,则 x+y 的最大值是( )1x+1yA.2 B.3 C.4 D.518.(2017 山东德州一模,文 9)圆: x2+y2+2ax+a2-9=0 和圆: x2+y2-4by-1+4b2=0 有三条公切线,若aR, bR,且 ab0,则 的最小值为( )4a2+1b23A.1 B.3 C.4 D.5 导学号 24190924答案：1.B 00,即 a,D
6、错误,故选 B.a+b2 ab a( b- a ab2.C 正数 x,y 满足 =1,1y+3x 3x+4y=(3x+4y) =13+ 13 +32 =25,当且仅当 x=2y=5 时等号成立 .(1y+3x) 3xy+12yx xy4yx 3x+4y 的最小值是 25.故选 C.3.B 由题意知 ab=1,则 m=b+ =2b,n=a+ =2a,1a 1bm+n= 2(a+b)4 =4,当且仅当 a=b=1 时,等号成立 .ab4.D x- 1,x+ 10.y= =(x+1)+ 2,当且仅当 x+1= ,即 x=0 时等号成立,即当(x+1)2+1x+1 1x+1 1x+1x=0 时,该函数
7、取得最小值 2.所以该函数图象最低点的坐标为(0,2) .5.B 由圆的对称性可得,直线 ax-2by+2=0 必过圆心( -2,1),所以 a+b=1.所以 (a+b)=5+ 5 +4=9,当且仅当 ,即 2a=b= 时等号成立,故选 B.1a+4b=(1a+4b) ba+4ab ba=4ab 236.C 设底面矩形的长和宽分别为 a m,b m,则 ab=4 m2.容器的总造价为 20ab+2(a+b)10=80+20(a+b)80 +40 =160(元)(当且仅当 a=b=2 时等号成立) .故选 C.ab7.D x+2y=(x+2y) =2+ +28,(2x+1y) 4yx+xy当且仅
8、当 ,即 x=2y=4 时等号成立 .4yx=xy由 x+2ym2+2m 恒成立,可知 m2+2m1,b1,所以 ab =3,(a+b2)2所以 lg(ab)lg 3,从而 =1,当且仅当 a=b= 时等号成立 .1x+1y lg3lg3 39.8 直线 =1 过点(1,2),xa+yb =1.1a+2b4a 0,b0, 2a+b=(2a+b) =4+ 4 +2 =8.(1a+2b) (ba+4ab) ba4ab当且仅当 b=2a 时等号成立 .10. a (2a2+b2+1)= (3+1)= ,2 b2+1=22 2a b2+1 2212 24 2当且仅当 a= ,且 2a2+b2=3,即
9、a2=1,b2=1 时,等号成立 .2 b2+1故 a 的最大值为 .b2+1 211.乙 甲购买产品的平均单价为 ,乙购买产品的平均单价为 .3a+3b6 =a+b2 2010a+10b= 2aba+b 0,且两次购买的单价不同,a+b2 - 2aba+b=(a-b)22(a+b)a b, 0,a+b2 - 2aba+b 乙的购买方式的平均单价较小 .故答案为乙 .12.证明 因为 a,b 均为正实数,所以 2 ,1a2+1b2 1a21b2=2ab当且仅当 ,即 a=b 时等号成立,1a2=1b2又因为 +ab2 =2 ,2ab 2abab 2当且仅当 =ab 时等号成立,2ab所以 +a
10、b +ab2 ,1a2+1b2 2ab 2当且仅当 即 a=b= 时等号成立 .1a2=1b2,2ab=ab, 4213.D 令 f(y)=|y+4|-|y|,则 f(y) |y+4-y|=4,即 f(y)max=4. 不等式 |y+4|-|y|2 x+ 对任意实数 x,y 都成立,a2x 2x+ f(y)max=4,a2xa -(2x)2+42x=-(2x-2)2+4 恒成立;令 g(x)=-(2x)2+42x,则 a g(x)max=4, 实数 a 的最小值为 4.514.2 +4 x0,y0,lg 2x+lg 8y=lg 2,可得 x+3y=1.3+42 +4=2 +4.x+yxy=(x
11、+y)(x+3y)xy =x2+3y2+4xyxy =xy+3yx xy3yx 3当且仅当 x= y,x+3y=1,即 y= ,x= 时等号成立 .33- 36 3-12的最小值是 2 +4.x+yxy 315.(- ,1)(9, + ) ab=a+b+ 3,a+b=ab- 3, (a+b)2=(ab-3)2. (a+b)24 ab, (ab-3)24 ab,即( ab)2-10ab+90,故 ab1 或 ab9 .16.解 (1)因为每件商品售价为 0.05 万元,则 x 千件商品销售额为 0.051 000x 万元,依题意得,当 0 0,y0,xy ,(x+y)24 ,即 ,1xy 4(x
12、+y)2,x+yxy 4x+y 1x+1y 4x+yx+y+ x+y+ .1x+1y 4x+y即 x+y+ 5 .4x+y6设 x+y=t,则 t0,t+ 5,得到 t2-5t+40,4t解得 1 t4,x+y 的最大值是 4.18.A 由题意可得两圆相外切,两圆的标准方程分别为( x+a)2+y2=9,x2+(y-2b)2=1,圆心分别为( -a,0),(0,2b),半径分别为 3 和 1,故有 a2+4b2=16, (a2+4b2)= (8+8)=1,4a2+1b2=116(4a2+1b2) 116(8+16b2a2+a2b2) 116当且仅当 ,即 a2=8,b2=2 时,等号成立,故选 A.16b2a2=a2b2
