1、1课时规范练 40 直线、平面平行的判定与性质一、基础巩固组1.如图,三棱台 DEF-ABC中, AB=2DE,G,H分别为 AC,BC的中点 .求证: BD平面 FGH.2.如图,四棱锥 P-ABCD中,底面 ABCD是正方形, PA是四棱锥 P-ABCD的高, PA=AB=2,点 M,N,E分别是PD,AD,CD的中点 .(1)求证:平面 MNE平面 ACP;(2)求四面体 A-MBC的体积 .导学号 215007473.一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示 .(1)请将字母 F,G,H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由);(2)判断平面 BEG与平面 ACH的位置
2、关系,并证明你的结论 .24.如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1中, AC AB,AB=2AA1,M是 AB的中点, A1MC1是等腰三角形, D为 CC1的中点, E为 BC上一点 .(1)若 BE=3EC,求证: DE平面 A1MC1;(2)若 AA1=1,求三棱锥 A-MA1C1的体积 .5.如图,在多面体 ABCDE中,平面 ABE平面 ABCD, ABE是等边三角形,四边形 ABCD是直角梯形,AB AD,AB BC,AB=AD= BC=2,M是 EC的中点 .12(1)求证: DM平面 ABE;(2)求三棱锥 M-BDE的体积 .导学号 21500748二、综合提升组6.3如图,
3、在三棱柱 ABC-A1B1C1中,点 E在线段 B1C1上, B1E=3EC1,试探究:在 AC上是否存在点 F,满足EF平面 A1ABB1?若存在,请指出点 F的位置,并给出证明;若不存在,请说明理由 .7.如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1中,侧面 ACC1A1底面 ABC, A1AC=60,AC=2AA1=4,点 D,E分别是 AA1,BC的中点 .(1)证明: DE平面 A1B1C;(2)若 AB=2, BAC=60,求三棱锥 A1-BDE的体积 .导学号 215007498.在四棱锥 P-ABCD中, PA平面 ABCD, ABC是正三角形, AC与 BD的交点 M恰好是 AC中点
4、,又PA=AB=4, CDA=120,点 N在线段 PB上,且 PN= .2(1)求证: MN平面 PDC;(2)求点 C到平面 PBD的距离 .4三、创新应用组9.如图,三棱柱 ABC-A1B1C1中, D是 AA1的中点, E为 BC的中点 .(1)求证:直线 AE平面 BC1D;(2)若三棱柱 ABC-A1B1C1是正三棱柱, AB=2,AA1=4,求点 E到平面 BC1D的距离 .10.如图,已知正方形 ABCD的边长为 6,点 E,F分别在边 AB,AD上, AE=AF=4,现将 AEF沿线段 EF折起到 AEF位置,使得 AC=2 .6(1)求五棱锥 A-BCDFE的体积;(2)在
5、线段 AC上是否存在一点 M,使得 BM平面 AEF?若存在,求 AM;若不存在,请说明理由 .5导学号 21500750课时规范练 40 直线、平面平行的判定与性质1.证法一 连接 DG,CD,设 CD GF=M.连接 MH.在三棱台 DEF-ABC中, AB=2DE,G为 AC的中点,可得 DF GC,DF=GC,所以四边形 DFCG为平行四边形 .则 M为 CD的中点 .又 H为 BC的中点,所以 HM BD,又 HM平面 FGH,BD平面 FGH,所以 BD平面 FGH.证法二 在三棱台 DEF-ABC中,由 BC=2EF,H为 BC的中点,可得 BH EF,BH=EF,所以四边形 H
6、BEF为平行四边形,可得 BE HF.在 ABC中, G为 AC的中点, H为 BC的中点,所以 GH AB.又 GH HF=H,所以平面 FGH平面 ABED.因为 BD平面 ABED,所以 BD平面 FGH.2.(1)证明 M ,N,E分别是 PD,AD,CD的中点, MN PA,又 MN平面 ACP,MN 平面 ACP,同理 ME平面 ACP,又 MN ME=M, 平面 MNE平面 ACP.(2)解 PA 是四棱锥 P-ABCD的高,由 MN PA知 MN是三棱锥 M-ABC的高,且 MN= PA=1,12V A-MBC=VM-ABC= S ABCMN13= 221=1312 23.3.
7、解 (1)点 F,G,H的位置如图所示 .(2)平面 BEG平面 ACH.证明如下:因为 ABCD-EFGH为正方体,所以 BC FG,BC=FG,又 FG EH,FG=EH,所以 BC EH,BC=EH,6于是四边形 BCHE为平行四边形 .所以 BE CH.又 CH平面 ACH,BE平面 ACH,所以 BE平面 ACH.同理 BG平面 ACH.又 BE BG=B,所以平面 BEG平面 ACH.4.(1)证明 如图 1,取 BC中点为 N,连接 MN,C1N,M 是 AB中点, MN AC A1C1,M ,N,C1,A1共面 .BE= 3EC,E 是 NC的中点 .又 D是 CC1的中点,
8、DE NC1.DE 平面 MNC1A1,NC1平面 MNC1A1,DE 平面 A1MC1.(2)解 如图 2,当 AA1=1时,则 AM=1,A1M= ,A1C1=2 2. 三棱锥 A-MA1C1的体积AMAA1A1C1=-11=1-1=1312 26.图 1图 25.(1)证法一 取 BE的中点 O,连接 OA,OM,O ,M分别为线段 BE,CE的中点,OM= BC.12又 AD= BC,OM=AD ,12又 AD CB,OM CB,OM AD. 四边形 OMDA为平行四边形,DM AO,又 AO平面 ABE,MD平面 ABE,DM 平面 ABE.证法二 取 BC的中点 N,连接 DN,M
9、N(图略),M ,N分别为线段 CE,BC的中点, MN BE,又 BE平面 ABE,MN平面 ABE,MN 平面 ABE,同理可证 DN平面 ABE,MN DN=N, 平面 DMN平面 ABE,又 DM平面 DMN,DM 平面 ABE.(2)解法一 平面 ABE平面 ABCD,AB BC,BC平面 ABCD,7BC 平面 ABE,OA 平面 ABE,BC AO,又 BE AO,BC BE=B,AO 平面 BCE,由(1)知 DM=AO= ,DM AO,3DM 平面 BCE,V M-BDE=VD-MBE= 221312 3=233.解法二 取 AB的中点 G,连接 EG, ABE是等边三角形,
10、EG AB, 平面 ABE平面 ABCD=AB,平面 ABE平面 ABCD,且 EG平面 ABE,EG 平面 ABCD,即 EG为四棱锥 E-ABCD的高,M 是 EC的中点,M-BCD 的体积是 E-BCD体积的一半,V M-BDE=VE-BDC-VM-BDC= VE-BDC,12V M-BDE= 24121312 3=233.即三棱锥 M-BDE的体积为233.6.解 方法一:当 AF=3FC时, EF平面 A1ABB1.证明如下:在平面 A1B1C1内过点 E作 EG A1C1交 A1B1于点 G,连接 AG.因为 B1E=3EC1,所以 EG= A1C1.34又因为 AF A1C1,且
11、 AF= A1C1,所以 AF EG,所以四边形 AFEG为平行四边形,所以 EF AG.34又因为 EF平面 A1ABB1,AG平面 A1ABB1,所以 EF平面 A1ABB1.方法二:当 AF=3FC时, EF平面 A1ABB1.证明如下:在平面 BCC1B1内过点 E作 EG BB1交 BC于点 G,8因为 EG BB1,EG平面 A1ABB1,BB1平面 A1ABB1,所以 EG平面 A1ABB1.因为 B1E=3EC1,所以 BG=3GC,所以 FG AB.又因为 AB平面 A1ABB1,FG平面 A1ABB1,所以 FG平面 A1ABB1.又因为 EG平面 EFG,FG平面 EFG
12、,EG FG=G,所以平面 EFG平面 A1ABB1.因为 EF平面 EFG,所以 EF平面 A1ABB1.7.(1)证明 如图,取 AC的中点 F,连接 DF,EF,在 AA1C中,点 D,F分别是 AA1,AC的中点, DF A1C,同理,得 EF AB A1B1,DF EF=F,A1C A1B1=A1, 平面 DEF平面 A1B1C,又 DE平面 DEF,DE 平面 A1B1C.(2)解 过点 A1作 AC的垂线,垂足为 H,由题知侧面 ACC1A1底面 ABC,A 1H底面 ABC,在 AA1C中, A1AC=60,AC=2AA1=4,A 1H= ,3AB= 2, BAC=60,BC=
13、 2 ,点 E是 BC的中点,3BE= ,S ABE= ABBE= 2 ,312 12 3=3D 为 AA1的中点, -VD-ABE= A1HS ABE=1-=1-121-=12131633=12.8.(1)证明 在正三角形 ABC中, BM=2 3.在 ACD中, M 为 AC中点, DM AC,AD=CD. ADC=120,DM= ,233=3.在等腰直角三角形 PAB中, PA=AB=4,PB=4 ,2=3, , =MN PD.9又 MN平面 PDC,PD平面 PDC,MN 平面 PDC.(2)解 设点 C到平面 PBD的距离为 h.由(1)可知, BD= ,PM= =2 ,833 16
14、+4 5S PBD= 212833 5=8153 .S BCD= 2= ,12833 833 由等体积可得 4= h,h= ,13833 138153 455 点 C到平面 PBD的距离为455.9.(1)证明 设 BC1的中点为 F,连接 EF,DF,则 EF是 BCC1的中位线,根据已知得 EF DA,且 EF=DA, 四边形 ADFE是平行四边形,AE DF,DF 平面 BDC1,AE平面 BDC1, 直线 AE平面 BDC1.(2)解 由(1)的结论可知直线 AE平面 BDC1, 点 E到平面 BDC1的距离等于点 A到平面 BDC1的距离,设为 h.,-1=-1=-1h= ,131
15、131 32 h= 22 ,解得 h=1312 53 1312 3 255. 点 E到平面 BDC1的距离为255.10.解 (1)连接 AC,设 AC EF=H,连接 AH.因为四边形 ABCD是正方形, AE=AF=4,所以 H是 EF的中点,且 EF AH,EF CH.从而有 AH EF,CH EF,又 AH CH=H,所以 EF平面 AHC,且 EF平面 ABCD,从而平面 AHC平面 ABCD.过点 A作 AO垂直 HC且与 HC相交于点 O,则 AO平面 ABCD.因为正方形 ABCD的边长为 6,AE=AF=4,故 AH=2 ,CH=4 ,2 2所以 cos AHC=2+2-22
16、10=8+32-2422242=12.所以 HO=AHcos AHC= ,则 AO=2 6.所以五棱锥 A-BCDFE的体积V=13(62-1244)6=2863 .(2)线段 AC上存在点 M,使得 BM平面 AEF,此时 AM=62.证明如下:连接 OM,BD,BM,DM,且易知 BD过点 O.AM= AC,HO= HC,62=14 14所以 OM AH.又 OM平面 AEF,AH平面 AEF,所以 OM平面 AEF.又 BD EF,BD平面 AEF,EF平面 AEF,所以 BD平面 AEF.又 BD OM=O,所以平面 MBD平面 AEF,因为 BM平面 MBD,所以 BM平面 AEF.
