1、141 & 4.2 随机对照试验案例 事件的独立性读教材填要点1随机对照试验随机选取试验组和对照组是安排试验的基本原则我们称随机选取试验组的对照实验为随机对照实验，把对照组中的处理方法称为使用安慰剂2事件 A， B 的独立当事件的全集 1和 2独立，对于 A 1和 B 2，有 P(A B) P(A)P(B)，则称事件 A， B 独立3事件 A1， A2， An相互独立如果试验的全集 1， 2， n是相互独立的，则对A1 1， A2 2， An n有 P(A1 A2 An) P(A1)P(A2)P(An)小问题大思维1两个事件相互独立与互斥有什么区别？提示：两个事件相互独立是指一个事件的发生与否
2、对另一个事件发生的概率没有影响两个事件互斥是指两个事件不可能同时发生，而相互独立的两个事件是可以同时发生的，相互独立事件和互斥事件之间没有联系2公式 P(AB) P(A)P(B)使用的前提条件是什么？提示： P(AB) P(A)P(B)使用的前提条件是事件 A 与事件 B 相互独立，同样的，只有当A1， A2， An相互独立时，这几个事件同时发生的概率才等于每个事件发生的概率之积，即 P(A1A2An) P(A1)P(A2)P(An)事件独立性的判断假定生男孩和生女孩是等可能的，令 A一个家庭中既有男孩又有女孩， B一个家庭中最多有一个女孩对下述两种情形，讨论 A 与 B 的独立性：(1)家庭
3、中有两个小孩；(2)家庭中有三个小孩自主解答 (1)有两个小孩的家庭，男孩、女孩的可能情形为 (男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)，2它有 4 个基本事件，由等可能性知概率各为 .14这时 A(男，女)，(女，男)，B(男，男)，(男，女)，(女，男)， AB(男，女)，(女，男)，于是 P(A) ， P(B) ， P(AB) .12 34 12由此可知 P(AB) P(A)P(B)，所以事件 A， B 不相互独立(2)有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的所有可能情形为 (男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(
4、女，女，女)，由等可能性知这 8 个基本事件的概率均为 ，这时 A 中含有 6 个基本18事件， B 中含有 4 个基本事件， AB 中含有 3 个基本事件于是 P(A) ， P(B) ， P(AB) ，68 34 48 12 38显然有 P(AB) P(A)P(B)成立38从而事件 A 与 B 是相互独立的(1)判断两个事件 A， B 相互独立，其依据为 P(AB) P(A)P(B)，这是利用定量计算的方法，较准确，因此我们必须熟练掌握(2)判断两个事件是否为相互独立事件也可以从定性的角度进行分析，也就是看一个事件的发生对另一个事件的发生是否有影响；没有影响就是相互独立事件，否则就不是相互独
5、立事件1把一颗质地均匀的骰子任意地掷一次，判断下列各组事件是否是独立事件？(1)A掷出偶数点， B掷出奇数点；(2)A掷出偶数点， B掷出 3 的倍数点；(3)A掷出偶数点， B掷出的点数小于 4解：(1) P(A) ， P(B) ， P(AB)0，12 12 A 与 B 不是相互独立事件(2) P(A) ， P(B) ， P(AB) ，12 13 16 P(AB) P(A)P(B)， A 与 B 是相互独立事件3(3) P(A) ， P(B) ， P(AB) ，12 12 16 P(AB) P(A)P(B)， A 与 B 不是相互独立事件.求相互独立事件同时发生的概率根据资料统计， 某地车主
6、购买甲种保险的概率为 0.5，购买乙种保险的概率为 0.6, 购买甲、乙保险相互独立， 各车主间相互独立(1)求一位车主同时购买甲、乙两种保险的概率；(2)求一位车主购买乙种保险但不购买甲种保险的概率自主解答 记 A 表示事件“购买甲种保险” ， B 表示事件“购买乙种保险” ，则由题意得 A 与 B， A 与 ， 与 B， 与 都是相互独立事件，B A B A且 P(A)0.5， P(B)0.6.(1)记 C 表示事件“同时购买甲、乙两种保险” ，则 C AB，所以 P(C) P(AB) P(A)P(B)0.50.60.3.(2)记 D 表示事件“购买乙种保险但不购买甲种保险” ，则 D B
7、，所以 P(D) P( B) P( )P(B)(10.5)0.60.3.A A A本例中车主至少购买甲、乙两种保险中的一种的概率是多少？解：法一：记 E 表示事件“至少购买甲、乙两种保险中的一种” ，则事件 E 包括 B， A ， AB，且它们彼此为互斥事件A B所以 P(E) P( B A AB) P( B) P(A ) P(AB) A B A B0.50.60.50.40.50.60.8.法二：事件“至少购买甲、乙两种保险中的一种”与事件“甲、乙两种保险都不购买”为对立事件所以 P(E)1 P(AB)1(10.5)(10.6)0.8.求相互独立事件同时发生的概率的两种方法：方法一：利用 P
8、(A1 A2 A3 An) P(A1)P(A2)P(An)计算方法二：计算较繁或难以入手的问题可以从对立事件入手计算2.如图所示的电路有 a， b， c 三个开关，每个开关开或关的概率4都是 ，且是相互独立的，则灯泡甲亮的概率为_12解析：理解事件之间的关系，设“ a 闭合”为事件 A， “b 闭合”为事件 B， “c 闭合”为事件 C，则灯亮应为事件 AC ，且 A， C， 之间彼此独立，且 P(A) P( ) P(C) .B B B12所以 P(A C) P(A)P( )P(C) .B B18答案：18独立事件与互斥事件的综合应用某学生语、数、英三科考试成绩，在一次考试中排名全班第一的概率
9、：语文为 0.9，数学为 0.8，英语为 0.85，问一次考试中：(1)三科成绩均未获得第一名的概率是多少？(2)恰有一科成绩未获得第一名的概率是多少？自主解答 分别记该生语、数、英考试成绩排名全班第一的事件为 A， B， C，则 A， B， C 两两相互独立且 P(A)0.9， P(B)0.8， P(C)0.85.(1)“三科成绩均未获得第一名”可以用 表示，ABCP( ) P( )P( )P( )ABC A B C1 P(A)1 P(B)1 P(C)(10.9)(10.8)(10.85)0.003，所以三科成绩均未获得第一名的概率是 0.003.(2)“恰有一科成绩未获得第一名”可以用(
10、BC)( A C)( AB )表示A B C由于事件 BC， A C 和 AB 两两互斥，A B C根据概念加法公式和相互独立事件的意义，所求的概率为 P( BC) P(A C) P(AB )A B C P( )P(B)P(C) P(A)P( )P(C) P(A)P(B)P( )A B C1 P(A)P(B)P(C) P(A)1 P(B)P(C) P(A)P(B)1 P(C)(10.9)0.80.850.9(10.8)0.850.90.8(10.85)0.329，所以恰有一科成绩未获得第一名的概率是 0.329.5解决此类问题的关键是弄清相互独立的事件，还要注意互斥事件的拆分，以及对立事件概率
11、的求法的运用，即三个公式的联用： P(A B) P(A) P(B)(A， B 互斥)， P(A)1 P( )， P(AB) P(A)P(B)(A， B 相互独立)A3某校田径队有三名短跑运动员，根据平时的训练情况统计，甲、乙、丙三人 100 m跑(互不影响)的成绩在 13 s 内(称为合格)的概率分别是 ，如果对这三名短跑运动员253413的 100 m 跑成绩进行一次检测(1)三人都合格的概率与三人都不合格的概率分别是多少？(2)出现恰有几人合格的概率最大？解：设“甲、乙、丙三人 100 m 跑合格”分别为事件 A， B， C，显然 A， B， C 相互独立， P(A) ， P(B) ， P
12、(C) ，25 34 13所以 P( )1 ， P( )1 ， P( )1 .A25 35 B 34 14 C 13 23设恰有 k 人合格的概率为 Pk(k0,1,2,3)(1)三人都合格的概率为P3 P(ABC) P(A)P(B)P(C) .25 34 13 110三人都不合格的概率为 P0 P( ) P( )P( )P( ) .A B C A B C 35 14 23 110所以三人都合格的概率与三人都不合格的概率都是 .110(2)因为 AB ， A C， BC 两两互斥，所以恰有两人合格的概率为：C B AP2 P(AB A C BC)C B A P(AB ) P(A C) P( B
13、C)C B A P(A)P(B)P( ) P(A)P( )P(C) P( )P(B)P(C)C B A .25 34 23 25 14 13 35 34 13 2360恰有一人合格的概率为 P11 P0 P2 P31 .110 2360 110 2560 512由(1)(2)知 P0， P1， P2， P3中 P1最大，所以出现恰有一人合格的概率最大在一段线路中并联着 3 个自动控制的常开开关，只要其中 1 个开关能够闭合，线路就能正常工作假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是 0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率6巧思 根据题意，这段时间内线路正常工作，就是指 3 个开关中至少有
14、1 个能够闭合，这可以包括恰有其中某 1 个开关闭合、恰有其中某 2 个开关闭合、恰有 3 个开关都闭合三种互斥的情况，逐一求其概率较为麻烦，为此，我们转而先求 3 个开关都不能闭合的概率，从而求得其对立事件3 个开关中至少有 1 个能够闭合的概率妙解 如图所示，分别记这段时间内开关 JA， JB， JC能够闭合为事件 A， B， C.由题意，这段时间内 3 个开关是否能够闭合相互之间没有影响，根据相互独立事件的概率乘法公式，这段时间内 3 个开关都不能闭合的概率是P( ) P( )P( )P( )A B C A B C 1 P(A)1 P(B)1 P(C)(10.7)(10.7)(10.7)
15、0.027.于是这段时间内至少有 1 个开关能够闭合，从而使线路能正常工作的概率是 1 P(A )10.0270.973.B C 所以在这段时间内线路正常工作的概率是 0.973.1若 P(AB) ， P( ) ， P(B) ，则事件 A 与 B 的关系是( )19 A 23 13A事件 A 与 B 互斥 B事件 A 与 B 对立C事件 A 与 B 相互独立 D事件 A 与 B 既互斥又独立解析：因为 P( ) ，所以 P(A) ，又 P(B) ， P(AB) ，A23 13 13 19所以有 P(AB) P(A)P(B)，所以事件 A 与 B 相互独立但不一定互斥答案：C2在某道路 A， B
16、， C 三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25 秒、35 秒、45 秒，某辆车在这个道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为( )A. B.35192 25192C. D.35576 21192解析：由题意可知，每个交通灯开放绿灯的概率分别为 ， ， .512712 347在这个道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为 .512 712 34 35192答案：A3甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( )A. B.34 23C. D.35 12解析：问题等价为两类：第一类，第一局甲
17、赢，其概率 P1 ；12第二类，需比赛 2 局，第一局甲负，第二局甲赢，其概率 P2 .12 12 14故甲队获得冠军的概率为 P1 P2 .34答案：A4.如图，已知电路中 4 个开关闭合的概率都是 ，且是互相独立的，12则灯亮的概率为( )A. B.316 34C. D.1316 14解析：记“ A， B， C， D 四个开关闭合”分别为事件 A， B， C， D，可用对立事件求解，图中含开关的三条线路同时断开的概率为： P( )P( )1 P(AB) .C D12 12 (1 1212) 316灯亮的概率为 1 .316 1316答案：C5有一个数学难题，在半小时内，甲能解决的概率是 ，
18、乙能解决的概率是 ，2 人试12 13图独立地在半小时内解决它，则 2 人都未解决的概率为_，问题得到解决的概率为_解析：甲、乙两人都未能解决的概率为 .(112)(1 13) 12 23 13问题得到解决就是至少有 1 人能解决问题， P1 .13 238答案： 13 236天气预报，在元旦假期甲地的降雨概率为 0.2，乙地的降雨概率是 0.3，假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，计算在这段时间内：(1)甲、乙两地都降雨的概率；(2)甲、乙两地都不降雨的概率；(3)其中至少一个地方降雨的概率解：(1)甲、乙两地都降雨的概率为P10.20.30.06.(2)甲、乙两地都不降雨的概率为
19、P2(10.2)(10.3)0.80.70.56.(3)至少一个地方降雨的概率为P31 P210.560.44.一、选择题1打靶时，甲每打 10 次可中 8 次，乙每打 10 次可中 7 次，若两人同时射击同一目标，则他们都击中的概率约为( )A. B.1425 1225C. D.34 35解析：设甲击中目标为事件 A，乙击中目标为事件 B，则 P(A) ， P(B) ，45 710两人都击中目标的对应事件为 AB，则 P(AB) P(A)P(B) .45 710 1425答案：A2电灯泡使用时数在 1 000 小时以上的概率是 0.2，则 3 个灯泡在使用 1 000 小时后至多坏了 2 个
20、的概率是( )A0.128 B0.872C0.512 D0.488解析：“三个都坏”的概率： p0.8 30.512，“至多坏 2 个”的概率：1 p0.488.答案：D93国庆节放假，甲去北京旅游的概率为 ，乙、丙去北京旅游的概率分别为 ， .假定13 14 15三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有 1 人去北京旅游的概率为( )A. B.5960 35C. D.12 160解析：因甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为 ， .1314 15因此，他们不去北京旅游的概率分别为 ，233445所以至少有 1 人去北京旅游的概率为 P1 .23 34 45 35答案：B4在荷花池中，有一只
21、青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时，均从一叶跳到另一叶)，而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示假设现在青蛙在 A 叶上，则跳三次之后停在 A 叶上的概率是( )A. B.13 29C. D.49 827解析：青蛙跳三次要回到 A 只有两条途径：第一条：按 A B C A，P1 ；23 23 23 827第二条：按 A C B A，P2 ，13 13 13 127所以跳三次之后停在 A 叶上的概率为P P1 P2 .827 127 13答案：A二、填空题5甲袋中有 8 个白球，4 个红球；乙袋中有 6 个白球，6 个红球，从每袋中任取一个球，则取得同色球的概率为
22、_10解析：设从甲袋中任取一个球，事件 A：“取得白球” ，则此时事件 ：“取得红球” ，A从乙袋中任取一个球，事件 B：“取得白球” ，则此时事件 ：“取得红球” B事件 A 与 B 相互独立，事件 与 相互独立A B从每袋中任取一个球，取得同色球的概率为P(AB ) P(AB) P( )AB AB P(A)P(B) P( )P( )A B .23 12 13 12 12答案：126加工某零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为 ， ， ，且170169168各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为_解析：加工出来的零件的正品率为 ，(1170) (1 169) (1 16
23、8) 6770所以次品率为 1 .6770 370答案：3707在一段时间内，甲去某地的概率是 ，乙去此地的概率是 ，假定两人的行动相互之14 15间没有影响，那么在这段时间内至少有 1 人去此地的概率是_解析：由题意知，两个人都不去此地的概率是 ，(114) (1 15) 35至少有一个人去此地的概率是 1 .35 25答案：258某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的 5 个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮假设某选手正确回答每个问题的概率都是 0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了 4 个问题就晋级下一轮的概率等于_解析：此选手恰好回答 4 个
24、问题就晋级下一轮，说明此选手第 2 个问题回答错误，第3、第 4 个问题均回答正确，第 1 个问题答对答错都可以因为每个问题的回答结果相互独立，故所求的概率为 10.20.820.128.答案：0.128三、解答题119某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得 100 分、100 分、200 分，答错得零分假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率分别为 0.8,0.7,0.6，且各题答对与否相互之间没有影响(1)求这名同学得 300 分的概率；(2)求这名同学至少得 300 分的概率解：记“这名同学答对第 i 个问题”为事件 Ai(i1,2,3)，则 P
25、(A1)0.8， P(A2)0.7， P(A3)0.6.(1)这名同学得 300 分的概率P1 P(A1 2A3) P( 1A2A3)A A P(A1)P( 2)P(A3) P( 1)P(A2)P(A3)A A0.80.30.60.20.70.60.228.(2)这名同学至少得 300 分的概率 P2 P1 P(A1A2A3)0.2280.80.70.60.564.10据统计，某食品企业在一个月内被消费者投诉次数为 0,1,2 的概率分别为0.4,0.5,0.1.(1)求该企业在一个月内被消费者投诉不超过 1 次的概率；(2)假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共
26、被消费者投诉 2 次的概率解：(1)设事件 A 表示“一个月内被投诉的次数为 0”，事件 B 表示“一个月内被投诉的次数为 1”， P(A B) P(A) P(B)0.40.50.9.(2)设事件 Ai表示“第 i 个月被投诉的次数为 0”，事件 Bi表示“第 i 个月被投诉的次数为 1”，事件 Ci表示“第 i 个月被投诉的次数为 2”，事件 D 表示“两个月内共被投诉 2 次” P(Ai)0.4， P(Bi)0.5， P(Ci)0.1( i1,2)两个月中，一个月被投诉 2 次，另一个月被投诉 0 次的概率为 P(A1C2 A2C1)，一、二月份均被投诉 1 次的概率为 P(B1B2)， P(D) P(A1C2 A2C1) P(B1B2) P(A1C2) P(A2C1) P(B1B2)由事件的独立性得P(D)0.40.10.10.40.50.50.33.12
