1、1第三讲 柯西不等式与排序不等式 考情分析从近两年高考来看，对本部分内容还未单独考查，但也不能忽视，利用柯西不等式构造“平方和的积”与“积的和的平方” ，利用排序不等式证明成“对称”形式，或两端是“齐次式”形式的不等式问题 真题体验 1(2017江苏高考)已知 a， b， c， d 为实数，且 a2 b24， c2 d216，证明：ac bd8.证明：由柯西不等式可得：( ac bd)2( a2 b2)(c2 d2)因为 a2 b24， c2 d216，所以( ac bd)264，因此 ac bd8.2(2015陕西高考)已知关于 x 的不等式| x a| b 的解集为 x|2 x4(1)求实
2、数 a， b 的值；(2)求 的最大值at 12 bt解：(1)由| x a| b，得 b a x b a，则Error! 解得Error!(2) 3t 12 t 3 4 t t (r(3)2 12(r(4 t)2 (r(t)22 4，4 t t当且仅当 ，即 t1 时等号成立，4 t3 t1故( )max4. 3t 12 t利用柯西不等式证明有关不等式问题柯西不等式的一般形式为( a a a )(b b b )( a1b1 a2b2 anbn)21 2 2n 21 2 2n2(ai， biR， i1，2， n)，形式简洁、美观、对称性强，灵活地运用柯西不等式，可以使一些较为困难的不等式证明问
3、题迎刃而解例 1 已知 a， b 为正实数， a b1， x1， x2为正实数2(1)求 的最小值；x1a x2b 2x1x2(2)求证：( ax1 bx2)(ax2 bx1) x1x2.解 (1) a， b 为正实数， a b1， x1， x2为正实数， 3 3 x1a x2b 2x1x2 3x1ax2b2x1x2 32ab3 6，当且仅当 ， a b，3 2(a b2 )2 x1a x2b 2x1x2即 a b ，且 x1 x21 时， 有最小值 6.12 x1a x2b 2x1x2(2)证明： a， bR ， a b1， x1， x2为正实数，( ax1 bx2)(ax2 bx1)( )
4、2( )2( )2( )2( )2 x1x2(a b)ax1 bx2 ax2 bx1 a2x1x2 b2x1x22 x1x2，当且仅当 x1 x2时取等号.利用排序不等式证明有关的不等式问题排序不等式具有自己独特的体现：多个变量的排列与其大小顺序有关，特别是与多变量间的大小顺序有关的不等式问题，利用排序不等式解决往往很简捷例 2 在 ABC 中，试证： . 3 aA bB cCa b c 2证明 不妨设 a b c，于是 A B C.由排序不等式，得 aA bB cC aA bB cC，aA bB cC bA cB aC，aA bB cC cA aB bC.以上三式相加，得3(aA bB cC
5、)( a b c)(A B C)( a b c)得 ，aA bB cCa b c 3又由 0 b c a,0 a b c,0 a c b，有0 A(b c a) C(a b c) B(a c b) a(B C A) b(A C B) c(A B C) a(2 A) b(2 B) c(2 C)( a b c)2( aA bB cC)得 .aA bB cCa b c 23由得原不等式成立.利用柯西不等式或排序不等式求最值问题有关不等式问题往往要涉及到对式子或量的范围的限定其中含有多变量限制条件的最值问题往往难以处理在这类题目中，利用柯西不等式或排序不等式处理往往比较容易例 3 已知 5a23 b2
6、 ，求 a22 ab b2的最大值158解 ( a)2( b)2(55)2 (33)2 5 3 2(55 5a 33 3b)( a b)2 a22 ab b2，当且仅当 5a3 b 即 a ， b 时取等号38 58 a22 ab b2 (5a23 b2) 1.815 815 158 a22 ab b2的最大值为 1.例 4 已知 a b c1.(1)求 S2 a23 b2 c2的最小值及取得最小值时 a， b， c 的值；(2)若 2a23 b2 c21，求 c 的取值范围解 (1)根据柯西不等式，得 1 a b c a b1 c12 2 13 3 (2a23 b2 c2) ，(12 13
7、1)12 12 116 S即 1， S ，当且仅当 a ，116 S 611 311b ， c 时等号成立，211 611当 a ， b ， c 时， Smin .311 211 611 611(2)由条件可得Error!根据柯西不等式，得( a b)2 ( a)2( b)2 (2a23 b2)，(12)2 (13)2 2 3 56(1 c)2 (1 c2)，解得 c1.56 111 c 的取值范围为 .111， 14(时间：90 分钟，总分 120 分)一、选择题(本大题共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1设 a， bR 且 a
8、 b16，则 的最小值是( )1a 1bA. B.14 18C. D.116 12解析：选 A ( a b) 24， .(1a 1b) (a1a b1b) 1a 1b 14当且仅当 ，a1b b 1a即 a b8 时取等号2已知 x3 y5 z6，则 x2 y2 z2的最小值为( )A. B.65 635C. D63635解析：选 C 由柯西不等式，得 x2 y2 z2(1 23 25 2)(x2 y2 z2) ( x3 y5 z)2 6 2 ，当且仅当 x 时等号成立112 32 52 135 135 3635 y3 z53已知 a， b， c 为正数且 a b c3 ，则 的最小值为2 a
9、2 b2 b2 c2 c2 a2( )A4 B4 2C6 D6 2解析：选 C a， b， c 为正数 a b.2 a2 b2 1 1 a2 b2同理 b c， c a，2 b2 c2 2 c2 a2相加得 ( )2( b c a)6 ，2 a2 b2 b2 c2 c2 a2 2即 6，当且仅当 a b c 时取等号a2 b2 b2 c2 c2 a2 24设 a， b， c 均大于 0， a2 b2 c23，则 ab bc ca 的最大值为( )A0 B1C3 D.3335解析：选 C 设 a b c0，由排序不等式得 a2 b2 c2 ab bc ac，所以ab bc ca3，故选 C.5已
10、知 a， b， c 为正数，则( a b c) 的最小值为( )(1a b 1c)A1 B. 3C3 D4解析：选 D ( a b c)(1a b 1c)( )2( )2a b c 1a b2 (1c)2 22 24.(a b1a b c1c)当且仅当 a b c 时取等号6已知( x1) 2( y2) 24，则 3x4 y 的最大值为( )A21 B11C18 D28解析：选 A 根据柯西不等式得( x1) 2( y2) 2324 23( x1)4( y2)2(3 x4 y11) 2，(3 x4 y11) 2100.可得 3x4 y21，当且仅当 时取等号x 13 y 24 257设 a，
11、b， c 为正数， a b4 c1，则 2 的最大值是( )a b cA. B.5 3C2 D.332解析：选 B 1 a b4 c( )2( )2(2 )2a b c ( )2( )2(2 )2(121 21 2)13 a b c( 2 )2 ，a b c13( 2 )23，当且仅当 a b4 c 时等式成立，故 2 的最大值为a b c a b c.38函数 f(x) cos x，则 f(x)的最大值是( )1 cos 2xA. B.3 2C1 D2解析：选 A 因为 f(x) cos x，1 cos 2x6所以 f(x) cos x2 sin2x (2 1)(sin2x cos2x) ，
12、当且仅当 cos x 时取等号3339若 5x16 x27 x34 x41，则 3x 2 x 5 x x 的最小值是( )21 2 23 24A. B.78215 15782C3 D.253解析：选 B 3x 2 x 5( x3)2 x (5 x16 x27 x34 x4)(253 18 495 16) 21 2 2421，即 3x 2 x 5 x x .21 2 23 241578210已知 a， b， cR ，则 a2(a2 bc) b2(b2 ac) c2(c2 ab)的正负情况是( )A大于零 B大于等于零C小于零 D小于等于零解析：选 B 设 a b c0，所以 a3 b3 c3，根
13、据排序不等式，得 a3a b3b c3c a3b b3c c3a.又 ab ac bc， a2 b2 c2，所以 a3b b3c c3a a2bc b2ca c2ab.所以 a4 b4 c4 a2bc b2ca c2ab，即 a2(a2 bc) b2(b2 ac) c2(c2 ab)0.二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把正确答案填写在题中横线上)11设 a， b， c 是正实数，且 a b c9，则 的最小值为_2a 2b 2c解析：( a b c) ( )2( )2( )2 (2a 2b 2c) a b c (2a)2 (2b)2 (2c)2218，(a2a b2
14、b c2c) 2，当且仅当 a b c3 时等号成立2a 2b 2c 的最小值为 2.2a 2b 2c答案：2712已知 A， B， C 是三角形三个内角的弧度数，则 的最小值是_1A 1B 1C解析：( A B C) (111) 29，而 A B C，故 ，当且(1A 1B 1C) 1A 1B 1C 9仅当 A B C 时，等号成立 3答案：913设有两组实数： a1， a2， a3， an与 b1， b2， b3， bn，且它们满足：a1 a2 a3 an， b1 b2 b3 bn，若 c1， c2， c3， cn是 b1， b2， b3， bn的任意一个排列，则 a1b1 a2b2 an
15、bn a1c1 a2c2 ancn a1bn a2bn1 anb1，反序和与顺序和相等的条件是_解析：反序和与顺序和相等，则两组数至少有一组相等答案： a1 a2 an或 b1 b2 bn14设 a， b， c 为正数，且 a2 b3 c13，求 的最大值为_3a 2b c解析：( a2 b3 c) 2( (r(3)2 12 (13)2 (a3 2b1 3c13) 3a )2，2b c( )2 .3a 2b c1323 .3a 2b c1333当且仅当 时取等号a3 2b1 3c13又 a2 b3 c13， a9， b ， c 时，32 13 有最大值 .3a 2b c1333答案：1333三
16、、解答题(本大题共 4 小题，共 50 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15(本小题满分 12 分)已知实数 a， b， c， d 满足a b c d3， a22 b23 c26 d25，求实数 a 的取值范围解：由柯西不等式，得：8(2b23 c26 d2) ( b c d)2，(12 13 16)即 2b23 c26 b2( b c d)2.由条件可得 5 a2(3 a)2，解得 1 a2.所以实数 a 的取值范围为1,216(本小题满分 12 分)求函数 y 的最大值1 sin x 4sin x 1解：由 1sin x0,4sin x10，得 sin x1，14则 y2
17、 2(1 sin x 2sin x 14)(14) (1 sin x sin x14) ，即 y ，154 152当且仅当 4(1sin x)sin x ，即 sin x 时等号成立，所以函数 y14 1720 的最大值为 .1 sin x 4sin x 115217(本小题满分 12 分)设 a1， a2， an是 1,2， n 的一个排列，求证： .12 23 n 1n a1a2 a2a3 an 1an证明：设 b1， b2， bn1 是 a1， a2， an1 的一个排列，且 b1 且 b11， b22， bn1 n1， c12， c23， cn1 n.1c11c2 1cn 1利用排序不
18、等式，有 .a1a2 a2a3 an 1an b1c1 b2c2 bn 1cn 1 12 23 n 1n原不等式成立18(本小题满分 14 分)已知函数 f(x)| x2|3.(1)若 f(x)0，求 x 的取值范围；(2)在(1)的条件下，求 g(x)3 4 的最大值x 4 |x 6|解：(1)因为 f(x)0|x2|33 x231 x5，所以 x 的取值范围是(1,5)(2)由(1)知 g(x)3 4 .x 4 6 x由柯西不等式得9(324 2)( )2( )2x 4 6 x(3 4 )2，x 4 6 x所以 g(x) 5 ，当且仅当 ，即 x 时， g(x)取得最大值 5250 10x 43 6 x4 25.10
