1、1三 反证法与放缩法1反证法(1)反证法证明的定义：先假设要证明的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不成立，从而证明原命题成立(2)反证法证明不等式的一般步骤： 假设命题不成立；依据假设推理论证；推出矛盾以说明假设不成立，从而断定原命题成立2放缩法(1)放缩法证明的定义：证明不等式时，通常把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的(2)放缩法的理论依据有：不等式的传递性；等量加不等量为不等量；同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较
2、利用反证法证明问题例 1 已知 f(x) x2 px q.求证：(1) f(1) f(3)2 f(2)2；(2)|f(1)|， f|(2)|，| f(3)|中至少有一个不小于 .12思路点拨 “至少有一个”的反面是“一个也没有” 证明 (1) f(1) f(3)2 f(2)(1 p q)(93 p q)2(42 p q)2.(2)假设| f(1)|，| f(2)|，| f(3)|都小于 ，12则| f(1)|2| f(2)| f(3)|1,4b(1 c)1,4c(1 d)1，4d(1 a)1，则有 a(1 b) ， b(1 c) ，14 14c(1 d) ， d(1 a) .14 14 ， ，
3、a(1 b)12 b(1 c)12 ， .c(1 d)12 d(1 a)12又 ， ，a(1 b)a (1 b)2 b(1 c) b (1 c)2 ， ，c(1 d)c (1 d)2 d(1 a) d (1 a)2 ， ，a 1 b2 12 b 1 c2 12 ， .c 1 d2 12 d 1 a2 12将上面各式相加得 22，矛盾4 a(1 b)，4 b(1 c)，4 c(1 d)，4 d(1 a)这四个数不可能都大于 1.33已知函数 y f(x)在 R 上是增函数，且 f(a) f( b)b.当 a b 时， a b 则有 f(a) f(b)， f( a) f( b)，于是 f(a) f
4、( b) f(b) f( a)与已知矛盾当 ab 时， af(b)， f( b)f( a)，于是有 f(a) f( b)f(b) f( a)与已知矛盾故假设不成立故 a (x y z)x2 xy y2 y2 yz z2 z2 zx x232思路点拨 解答本题可对根号内的式子进行配方后再用放缩法证明证明 x2 xy y2 (x y2)2 34y2 x .(x y2)2 |x y2| y2同理可得 y ，y2 yz z2z2 z ，z2 zx x2x2由于 x， y， z 不全为零，故上述三式中至少有一式取不到等号，所以三式相加得： (x y z)x2 xy y2 y2 yz z2 z2 zx x
5、2(xy2) (y z2) (z x2) 32(1)利用放缩法证明不等式，要根据不等式两端的特点及已知条件(条件不等式)，审慎地采取措施，进行恰当地放缩，任何不适宜的放缩都会导致推证的失败(2)一定要熟悉放缩法的具体措施及操作方法，利用放缩法证明不等式，就是采取舍掉式中一些正项或负项，或者在分式中放大或缩小分子、分母，或者把和式中各项或某项换以较大或较小的数，从而达到证明不等式的目的4已知 a， b 是正实数，且 a b1，求证： 6，1b 1c 1a a， b， c 均小于 0， a 2， b 2， c 2，1a 1b 1c a b c 6，1a 1b 1c这与假设矛盾，则选 C.5 M 与
6、 1 的大小关系为_1210 1210 1 1210 2 1211 1解析： M 1210 1210 1 1210 2 1211 1 1210 1210 1 1210 2 1210 (210 1)1，求证： a， b， c， d 中至少有6一个是负数证明：假设 a， b， c， d 都是非负数由 a b c d1，知 a， b， c， d0,1从而 ac ， bd .aca c2 bd b d2 ac bd 1.即 ac bd1.a c b d2与已知 ac bd1 矛盾， a， b， c， d 中至少有一个是负数9求证： ，则 sin cos cos sin 2sin ，所以 cos sin (2cos )sin ，即 .cos 2 cos sin sin 因为 ，且 ， ，所以 sin sin .(0， 2)从而 1，即 cos 2cos ，cos 2 cos 即 cos cos 2，这是不可能的，所以 不成立由可知假设不成立，故原结论成立7
