1、1课时跟踪检测（十） 双曲线的简单几何性质层级一 学业水平达标1双曲线 2x2 y28 的实轴长是( )A2 B2 2C4 D4 2解析：选 C 双曲线方程可变形为 1，x24 y28所以 a24， a2，从而 2a4，故选 C.2已知双曲线的实轴和虚轴等长，且过点(5,3)，则双曲线方程为( )A. 1 B. 1x225 y225 x29 y29C. 1 D. 1y216 x216 x216 y216解析：选 D 由题意知，所求双曲线是等轴双曲线，设其方程为 x2 y2 ( 0)，将点(5,3)代入方程，可得 5 23 216，所以双曲线方程为 x2 y216，即 1.x216 y2163(
2、2017全国卷)若 a1，则双曲线 y21 的离心率的取值范围是( )x2a2A( ，) B( ，2)2 2C(1， ) D(1,2)2解析：选 C 由题意得双曲线的离心率 e .a2 1a即 e2 1 .a2 1a2 1a2 a1，0 1，1a211 2，1 e .1a2 24若一双曲线与椭圆 4x2 y264 有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程为( )A y23 x236 B x23 y236C3 y2 x236 D3 x2 y236解析：选 A 椭圆 4x2 y264 可变形为 1，x216 y264a264， c2641648，2焦点为(0,4 )，(0，4 )，离
3、心率 e ，3 332则双曲线的焦点在 y轴上， c4 ， e ，323从而 a6， b 212，故所求双曲线的方程为 y23 x236.5已知双曲线 y21( a0)的实轴长、虚轴长、焦距长成等差数列，则双曲线的渐x2a2近线方程为( )A y x B y x35 53C y x D y x34 43解析：选 D 由双曲线方程为 y21，知 b21， c2 a21，x2a22 b2,2 c2 .a2 1实轴长、虚轴长、焦距长成等差数列，2 a2 c4 b4，2 a2 4，解得 a .a2 134双曲线的渐近线方程为 y x.436已知点(2,3)在双曲线 C： 1( a0， b0)上， C的
4、焦距为 4，则它的离心率x2a2 y2b2为_解析：由题意知 1， c2 a2 b24，解得 a1，4a2 9b2所以 e 2.ca答案：27已知双曲线 1( a0， b0)的一个焦点为 F(2 ，0)，且离心率为 e ，则x2a2 y2b2 5 52双曲线的标准方程为_解析：由焦点坐标，知 c2 ，由 e ，可得 a4，5ca 52所以 b 2，c2 a2则双曲线的标准方程为 1.x216 y24答案： 1x216 y2438已知双曲线过点(4， )，且渐近线方程为 y x，则该双曲线的标准方程为312_解析：法一：双曲线的渐近线方程为 y x，12可设双曲线的方程为 x24 y2 ( 0)
5、双曲线过点(4， )， 164( )24，3 3双曲线的标准方程为 y21.x24法二：渐近线 y x过点(4,2)，而 0， b0)x2a2 y2b2由已知条件可得Error!解得Error!双曲线的标准方程为 y21.x24答案： y21x249求满足下列条件的双曲线的标准方程(1)与双曲线 1 具有相同的渐近线，且过点 M(3，2)；y24 x23(2)过点(2,0)，与双曲线 1 离心率相等；y264 x216(3)与椭圆 1 有公共焦点，离心率为 .x225 y216 32解：(1)设所求双曲线方程为 ( 0)y24 x23由点 M(3，2)在双曲线上得 ，得 2.44 93故所求双
6、曲线的标准方程为 1.x26 y28(2)当所求双曲线的焦点在 x轴上时，4可设其方程为 ( 0)，x264 y216将点(2,0)的坐标代入方程得 ，116故所求双曲线的标准方程为 y21；x24当所求双曲线的焦点在 y轴上时，可设其方程为 ( 0)，y264 x216将点(2,0)的坐标代入方程得 0， b0)x2a2 y2b2因为 e ，所以 a2，则 b2 c2 a25，ca 32故所求双曲线的标准方程为 1.x24 y25法二：因为椭圆焦点在 x轴上，所以可设双曲线的标准方程为 1(16a，所以 e2 1 2，则 e2.a2 b2a2 b2a2于是双曲线的离心率为 2.层级二 应试能
7、力达标1若双曲线与椭圆 1 有相同的焦点，它的一条渐近线方程为 y x，则双曲x216 y264线的方程为( )A y2 x296 B y2 x2160C y2 x280 D y2 x224解析：选 D 设双曲线方程为 x2 y2 ( 0)，因为双曲线与椭圆有相同的焦点，且焦点为(0，4 )，3所以 0， b0)x2a2 y2b2由题意，知过点(4，2)的渐近线方程为 y x，ba所以2 4，即 a2 b.ba设 b k(k0)，则 a2 k， c k，5所以 e .故选 D.ca 5k2k 523已知双曲线 E的中心为原点， F(3,0)是 E的焦点，过 F的直线 l与 E相交于 A， B两
8、点，且 AB的中点为 N(12，15)，则 E的方程为( )A. 1 B. 1x23 y26 x24 y25C. 1 D. 1x26 y23 x25 y24解析：选 B 设双曲线的标准方程为 1( a0， b0)，x2a2 y2b26由题意知 c3， a2 b29，设 A(x1， y1)， B(x2， y2)则有Error!两式作差得 ，y1 y2x1 x2 b2 x1 x2a2 y1 y2 12b2 15a2 4b25a2又 AB的斜率是 1， 15 0 12 3所以 4b25 a2，代入 a2 b29 得 a24， b25，所以双曲线标准方程是 1.x24 y254已知 A， B为双曲线
9、E的左，右顶点，点 M在 E上， ABM为等腰三角形，且顶角为 120，则 E的离心率为( )A. B25C. D.3 2解析：选 D 不妨取点 M在第一象限，如图所示，设双曲线方程为 1( a0， b0)，x2a2 y2b2则| BM| AB|2 a， MBx18012060， M点的坐标为 .(2a， 3a) M点在双曲线上， 1， a b，4a2a2 3a2b2 c a， e .故选 D.2ca 25已知双曲线 1( a0， b0)的右焦点为 F，若过点 F且倾斜角为 60的直线x2a2 y2b2l与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率 e的取值范围是_解析：由题意，知 ，则
10、 3，所以 c2 a23 a2，ba 3 b2a2即 c24 a2，所以 e2 4，所以 e2.c2a2答案：2，)6双曲线 1 的右顶点为 A，右焦点为 F，过点 F平行于双曲线的一条渐近线x29 y216的直线与双曲线交于点 B，则 AFB的面积为_解析：双曲线 1 的右顶点 A(3,0)，右焦点 F(5,0)，渐近线方程为 y x.x29 y216 43不妨设直线 FB的方程为 y (x5)，代入双曲线方程整理，得 x2( x5) 29，437解得 x ， y ，所以 B .175 3215 (175， 3215)所以 S AFB |AF|yB| (c a)|yB| (53) .12 1
11、2 12 3215 3215答案：32157已知双曲线 C： 1( a0， b0)的一个焦点是 F2(2,0)，离心率 e2.x2a2 y2b2(1)求双曲线 C的方程；(2)若斜率为 1的直线 l与双曲线 C交于两个不同的点 M， N，线段 MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为 4，求直线 l的方程解：(1)由已知得 c2， e2，所以 a1， b .3所以所求的双曲线方程为 x2 1.y23(2)设直线 l的方程为 y x m，点 M(x1， y1)， N(x2， y2)联立Error! 整理得 2x22 mx m230.(*)设 MN的中点为( x0， y0)，则 x0 ， y
12、0 x0 m ，x1 x22 m2 3m2所以线段 MN垂直平分线的方程为y ，即 x y2 m0，3m2 (x m2)与坐标轴的交点分别为(0,2 m)，(2 m,0)，可得 |2m|2m|4，得 m22， m ，此时(*)的判别式 0，12 2故直线 l的方程为 y x .28已知双曲线 C： x2 y21 及直线 l： y kx1.(1)若直线 l与双曲线 C有两个不同的交点，求实数 k的取值范围；(2)若直线 l与双曲线 C交于 A， B两点， O为坐标原点，且 AOB的面积是 ，求实数2k的值解：(1)由Error!消去 y，得(1 k2)x22 kx20. 由直线 l与双曲线 C有两个不同的交点，得Error! 解得 0时， S AOB| S OAD S OBD| |x1 x2| .12 2综上可知，| x1 x2|2 ，2所以( x1 x2)2( x1 x2)24 x1x2(2 )2，2即 2 8，解得 k0 或 k .( 2k1 k2) 81 k2 62由(1)，可知 k 且 k1，2 2故 k0 或 k 都符合题意62
