1、1第二章 二次函数1.二次函数 y=ax2+bx+c 的配方步骤(1)提:提取二次项系数,把二次项系数化为 1.(2)配:把括号内配成完全平方公式.(3)化:把函数关系式化成顶点式.【例】配方:y=4x 2-8x.【标准解答】y=4x 2-8x =4(x2-2x)=4(x2-2x+1-1)=4(x-1)2-4.1.二次函数 y=-x2+2x+4 的最大值为( )A.3 B.4 C.5 D.62.将二次函数 y=x2-4x+5 化为 y=(x-h)2+k 的形式,则 y= .3.二次函数 y=x2+2x 的顶点坐标为 ,对称轴是直线 .2.确定二次函数解析式的方法(1)一般式:若已知条件是图象上
2、的三点,则用 y=ax2+bx+c,将已知三个点的坐标代入,求出 a,b,c 的值.【例 1】已知二次函数的图象经过(0,1),(2,1)和(3,4),求该二次函数的解析式.【标准解答】设函数解析式为 y=ax2+bx+c,则 解得1=,1=4+2+,4=9+3+. a=1,=2,=1.y=x 2-2x+1.(2)顶点式:若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值(或最小值),设所求二次函数为y=a(x-h)2+k,将已知条件代入,求出待定系数.【例 2】根据函数图象写出二次函数的解析式.2【标准解答】由图象知抛物线对称轴 x=-1,顶点坐标为(-1,2),过原点(0,0),点(-2,0
3、).设解析式为 y=a(x+1)2+2,过原点(0,0),a+2=0,a=-2.故解析式为 y=-2(x+1)2+2,即 y=-2x2-4x.(3)交点式:若已知二次函数图象与 x 轴的两个交点的坐标为(x 1,0),(x2,0),设所求二次函数为y=a(x-x1)(x-x2),将第三点(m,n)的坐标(其中 m,n 为已知数)或其他已知条件代入,求出待定系数 a.【例 3】已知函数 y=ax2+bx+c 的图象如图,那么函数解析式为 ( )A.y=-x2+2x+3B.y=x2-2x-3C.y=-x2-2x+3D.y=-x2-2x-3【标准解答】选 A.运用二次函数交点式:y=a(x-x 1)
4、(x-x2),则 y=a(x+1)(x-3),把(0,3)代入,则 a=-1,整理,得y=-x2+2x+3.(4)根据平移确定解析式:先把抛物线化成顶点式 y=a(x-h)2+k,然后根据 h 值左加右减,k 值上加下减来进行.【例 4】抛物线 y=(x+2)2-3 可以由抛物线 y=x2平移得到,则下列平移过程正确的是 ( )3A.先向左平移 2 个单位,再向上平移 3 个单位B.先向左平移 2 个单位,再向下平移 3 个单位C.先向右平移 2 个单位,再向下平移 3 个单位D.先向右平移 2 个单位,再向上平移 3 个单位【标准解答】选 B.y=(x+2)2-3 的顶点为(-2,-3),抛
5、物线 y=x2的顶点为(0,0),所以平移的过程是先向左平移 2 个单位,再向下平移 3 个单位.1.将抛物线 y=-2x2+1 向右平移 1 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度所得的抛物线解析式为 ( )A.y=-2(x+1)2B.y=-2(x+1)2+2C.y=-2(x-1)2+2D.y=-2(x-1)2+12.将抛物线 y=x2的图象向上平移 1 个单位,则平移后的抛物线的解析式为 .3.设抛物线 y=ax2+bx+c(a0)过 A(0,2),B(4,3),C 三点,其中点 C 在直线 x=2 上,且点 C 到抛物线的对称轴的距离等于 1,则抛物线的函数解析式为 .4.科学家为了推测
6、最适合某种珍奇植物生长的温度,将这种植物分别放在不同温度的环境中,经过一定时间后,测试出这种植物高度的增长情况,部分数据如表:温度 t/ -4 -2 0 1 4植物高度增长量 l/mm41 49 49 46 25经过猜想、推测出 l 与 t 之间是二次函数关系.由此可以推测最适合这种植物生长的温度为 .3.二次函数 y=ax2+bx+c 中的系数值对抛物线的影响二次函数 y=ax2+bx+c 的图象特征与 a,b,c 的符号有密切联系,它们的关系如下:(1)二次项系数 a 决定抛物线的开口方向、函数最值情况.a0开口向上,函数有最小值;4a0交点在 y 轴正半轴上;c=0抛物线过原点;c0对称
7、轴在 y 轴的左侧;b=0对称轴是 y 轴;ab0抛物线与 x 轴有两个交点;b 2-4ac=0抛物线与 x 轴有一个交点;b 2-4ac0;(2)c1;(3)2a-b-1 并考虑 a0, a+b+c0, 当-20抛物线与 x 轴相交;有一个交点(顶点在 x 轴上)b 2-4ac=0抛物线与 x 轴相切;没有交点b 2-4ac- .2145.二次函数解决实际问题时的方法思考问题的基本思路是:(1)理解问题.(2)分析问题中的变量和常量.(3)用函数表达式表示出它们之间的关系.(4)利用二次函数的有关性质进行求解.(5)检验结果的合理性,对问题加以拓展等.【例】利达经销店为某工厂代销一种建筑材料
8、(这里的代销是指厂家先免费提供货源,待货物售出后再进行结算,未售出的由厂家负责处理).当每吨售价为 260 元时,月销售量为 45 吨.该经销店为提高经营利润,准备采取降价的方式进行促销.经市场调查发现:当每吨售价每下降 10 元时,月销售量就会增加 7.5 吨.综合考虑各种因素,每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其他费用 100 元.设每吨材料售价为 x(元),该经销店的月利润为 y(元).(1)当每吨售价是 240 元时,计算此时的月销售量.(2)求出 y 与 x 的函数关系式(不要求写出 x 的取值范围).(3)该经销店要获得最大月利润,售价应定为每吨多少元?(4)小静说:“当月利润最大时
9、,月销售额也最大.”你认为对吗?请说明理由.【标准解答】(1)45+ 7.5=60(吨).260240109(2)y=(x-100) ,化简得:y=- x2+315x-24000.(45+260107.5) 34(3)y=- x2+315x-24000=- (x-210)2+9075.34 34利达经销店要获得最大月利润,材料的售价应定为每吨 210 元.(4)小静说的不对.理由:当月利润最大时,x 为 210 元,而对于月销售额 W=x =-(45+260107.5)(x-160)2+19200 来说,当 x 为 160 元时,月销售额 W 最大.34当 x 为 210 元时,月销售额 W
10、不是最大.小静说的不对.1.某广告公司要为客户设计一幅周长为 12m 的矩形广告牌,广告牌的设计费为每平方米 1000 元.请你设计一个广告牌边长的方案,使得根据这个方案所确定的广告牌的长和宽能使获得的设计费最多,设计费最多为多少元?2.九年级数学兴趣小组经过市场调查,得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如表:售价(元/件) 100 110 120 130 月销量(件) 200 180 160 140 已知该运动服的进价为每件 60 元,设售价为 x 元.(1)请用含 x 的式子表示:销售该运动服每件的利润是 元;月销量是 件.(直接写出结果)(2)设销售该运动服的月利润为 y 元,那么售
11、价为多少时,当月的利润最大,最大利润是多少?106.抛物线上是否存在点的探究方法(1)虚拟检验法:欲探究抛物线是否存在满足条件 A,B 的点,先虚拟出符合条件 A 的点,然后再检验点是否满足条件 B.满足即存在,反之不存在.(2)分类探究法:欲探究抛物线上符合某条件的 P 点是否存在,可借助图形特殊点位置进行分类讨论.(3)求解探索法:欲探索抛物线上满足条件 A,B 的点 P 是否存在,根据条件 A,B 列出关于 P 点坐标的方程(组),有解则存在,反之则不存在.【例】如图,抛物线 y=ax2+bx+c(a0)的图象过点 M(-2, ),顶点坐标为 N ,且与 x 轴交于3 (-1,433)A
12、,B 两点,与 y 轴交于 C 点.(1)求抛物线的解析式.(2)点 P 为抛物线对称轴上的动点,当PBC 为等腰三角形时,求点 P 的坐标.(3)在直线 AC 上是否存在一点 Q,使QBM 的周长最小?若存在,求出 Q 点坐标;若不存在,请说明理由.【标准解答】(1)由抛物线顶点坐标为 N ,可设其解析式为 y=a(x+1)2+ ,(-1,433) 433将 M(-2, )代入,得 =a(-2+1)2+ ,解得 a=- ,3 3433 33故所求抛物线的解析式为y=- x2- x+ .33 233 311(2)y=- x2- x+ ,33 233 3x=0 时,y= ,C(0, ).3 3y
13、=0 时,- x2- x+ =0,解得 x=1 或 x=-3,33 233 3A(1,0),B(-3,0),BC= =2 .O2+2 3设 P(-1,m),显然 PBPC,所以当 CP=CB 时,有 CP= =2 ,解得 m= ;1+( 3)2 3 3 11当 BP=BC 时,有 BP= =2 ,解得 m=2 .(-1+3)2+2 3 2综上,当PBC 为等腰三角形时,点 P 的坐标为(-1, + ),(-1, - ),(-1,2 ),(-1,-2 ).3 11 3 11 2 2(3)由(2)知 BC=2 ,AC=2,AB=4,3所以 BC2+AC2=AB2,即 BCAC.连接 BC 并延长至
14、 B,使 BC=BC,连接 BM,交直线 AC 于点 Q,B,B关于直线 AC 对称,QB=QB,QB+QM=QB+QM=MB,又 BM=2,所以此时QBM 的周长最小.由 B(-3,0),C(0, ),易得 B(3,2 ).3 3设直线 MB的解析式为 y=kx+n,将 M(-2, ),B(3,2 )代入,得 解得3 3 -2+=3,3+=23. k=35,=735.即直线 MB的解析式为 y= x+ .35 735同理可求得直线 AC 的解析式为y=- x+ .3 312由 解得y=35+735,= 3+3 x=13,=433.即 Q ,(-13,433)所以在直线 AC 上存在一点Q ,
15、使QBM 的周长最小.(-13,433)1.如图,直线 y=x+2 与抛物线 y=ax2+bx+6(a0)相交于 A 和 B(4,m),点 P 是线段 AB 上异于 A,B 的动(12,52)点,过点 P 作 PCx 轴于点 D,交抛物线于点 C.(1)求抛物线的解析式.(2)是否存在这样的 P 点,使线段 PC 的长有最大值,若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由.(3)求PAC 为直角三角形时点 P 的坐标.132.如图 1,关于 x 的二次函数 y=-x2+bx+c 经过点 A(-3,0),点 C(0,3),点 D 为二次函数的顶点,DE 为二次函数的对称轴,E 在 x 轴上.(1
16、)求抛物线的解析式.(2)DE 上是否存在点 P 到 AD 的距离与到 x 轴的距离相等,若存在求出点 P,若不存在,请说明理由.(3)如图 2,DE 的左侧抛物线上是否存在点 F,使 2SFBC =3SEBC ,若存在,求出点 F 的坐标,若不存在,请说明理由.跟踪训练答案解析1.二次函数 y=ax2+bx+c 的配方步骤【跟踪训练】141.【解析】选 C.y=-x2+2x+4=-(x-1)2+5,所以当 x=1 时,取得最大值 5.2.【解析】y=x 2-4x+5=x2-4x+4-4+5=(x-2)2+1.答案:(x-2) 2+13.【解析】y=x 2+2x=(x+1)2-1,二次函数 y
17、=x2+2x 的顶点坐标是:(-1,-1),对称轴是直线 x=-1.答案:(-1,-1) x=-12.确定二次函数解析式的方法【跟踪训练】1.【解析】选 C.因为此抛物线的顶点为(0,1),向右平移 1 个单位,再向上平移 1 个单位长度后的顶点为(1,2),所以所得抛物线为 y=-2(x-1)2+2.2.【解析】因为抛物线 y=x2的图象向上平移 1 个单位,根据图象移动与关系式的变化规律可得 y=x2+1.答案:y=x 2+13.【解析】点 C 在直线 x=2 上,且到抛物线的对称轴的距离等于 1,抛物线的对称轴为直线 x=1 或 x=3,当对称轴为直线 x=1 时,设抛物线解析式为 y=
18、a(x-1)2+k,则 解得a+=2,9+=3, a=18,=158.所以,y= (x-1)2+ = x2- x+2,18 15818 14当对称轴为直线 x=3 时,设抛物线解析式为 y=a(x-3)2+k,则 解得9+=2,+=3, a=18,=258.所以,y=- (x-3)2+ =- x2+ x+2,18 258 18 34综上所述,抛物线的函数解析式为15y= x2- x+2 或 y=- x2+ x+2.18 14 18 34答案:y= x2- x+2 或 y=- x2+ x+218 14 18 344.【解析】设二次函数的解析式为 y=ax2+bx+c,把(0,49),(1,46)
19、,(4,25)代入函数解析式可得解得 c=49,+=46,16+4+=25. a=1,=2,=49.函数的解析式为 y=-x2-2x+49.此函数的解析式的顶点横坐标-1 即为最适合的温度.答案:-13.二次函数 y=ax2+bx+c 中的系数值对抛物线的影响【跟踪训练】1.【解析】选 B.A.由开口向下,可得 a0,故得 abc0,故本选项错误;B.根据图知对称轴为直线 x=2,即- =2,得b2b=-4a,再根据图象知当 x=1 时,y=a+b+c=a-4a+c=-3a+c0,故本选项错误;D.y=ax 2+bx+c=a + ,(x+2)2424- =2,原式 =a(x-2)2+ ,向左平
20、移 2 个单位后所得到抛物线的解析式为 y=ax2+b2 424,故本选项错误.4242.【解析】选 D.抛物线的开口向上,a0,对称轴在 y 轴的左侧,b0ab0,故正确;观察图象知,当 x=1 时 y=a+b+c0,正确;抛物线的对称轴为 x=-1,与 x 轴交于(0,0),另一个交点为(-2,0),16当-20,n0,mn,将这两个点的坐标代入函数表达式得 -2+6+=,2+6+=.-得:n 2-m2+7(m-n)=0,(n-m)(m+n-7)=0,故可得:m+n=7,故可得 n=7-m,17代入方程得:-m 2+7m+(c-7)=0.因为存在这样的点,所以上述方程有解,所以判别式 b2
21、-4ac0,即 72-4(-1)(c-7)0,故 c- .214而当 c=- 时,m= ,此时 n= ,214 72 72故 c- .2145.二次函数解决实际问题时的方法【跟踪训练】1.【解析】设矩形一边长为 xm,面积为 Sm2,则另一边长为 m,1222则其面积 S=x =x(6-x)=-x2+6x,00,当 n= 时,线段 PC 最大且为 .94 498(3)PAC 为直角三角形,(i)若点 P 为直角顶点,则APC=90,由题意易知,PCy 轴,APC=45,因此这种情形不存在;(ii)若点 A 为直角顶点,则PAC=90,如图 1,过点 A 作 ANx 轴于点 N,则 ON= ,A
22、N= ,过点 A 作 AM直线 AB,交 x 轴于点 M,则由题意易(12,52) 12 52知,AMN 为等腰直角三角形,MN=AN= ,OM=ON+MN= + =3,M(3,0),52 1252设直线 AM 的解析式为:y=kx+b,则: 解得12+=52,3+=0, k=1,=3.直线 AM 的解析式为:y=-x+3,又抛物线的解析式为:y=2x 2-8x+6,联立式,解得:x=3 或 x= (与点 A 重合,舍去),C(3,0),即点 C,M 重合.1219当 x=3 时,y=x+2=5.P 1(3,5).()若点 C 为直角顶点,则ACP=90.y=2x 2-8x+6=2(x-2)2
23、-2,抛物线的对称轴为直线 x=2,如图 2,作点 A 关于对称轴 x=2 的对称点 C,(12,52)则点 C 在抛物线上,且 C .(72,52)当 x= 时,y=x+2= ,P 2 .72 112 (72,112)点 P1(3,5),P2 均在线段 AB 上,(72,112)综上所述,PAC 为直角三角形时,点 P 的坐标为(3,5)或 .(72,112)2.【解析】(1)将 A(-3,0),C(0,3)代入 y=-x2+bx+c 得: c=3,93+=0.解得: y=-x 2-2x+3.b=2,=3.(2)存在.当点 P 在DAB 的角平分线上时,作 PMAD,设 P(-1,y0),则
24、 PM=PDsinADE= (4-y0),PE=y0,55PM=PE, (4-y0)=y0,55解得:y 0= -1,520当点 P 在DAB 的外角平分线上时,作 PNAD,设 P(-1,y0),则 PN=PDsinADE= (4-y0),55PE=-y0,PN=PE, (4-y0)=-y0,55解得:y 0=- -1,5点 P 的坐标为 P1(-1, -1),P2(-1,- -1).5 5(3)SEBC =3 又 2SBCF =3SEBC ,S BCF = ,92过 F 作 FQx 轴交 BC 的延长线于 Q,则 SFBC =SFBQ -SFCQ = FQOB=12 92BC 的解析式为:y=-3x+3,设 F(x0,- -2x0+3)则 Q(x0,-3x0+3)x20-3x 0+3+ +2x0-3=9,x20 -x0-9=0,x20x 0= , ,1 372 (x0=1+372 舍去 )点 F 的坐标为 .(1 372 ,337152 )21
