1、1第十六章 二 次 根 式1.二次根式的相关概念(1)正确理解二次根式的概念要把握以下几点:二次根式是从形式上定义的,必须含有二次根号;在二次根式中,被开方数可以是数,也可以是单项式、多项式、分式等代数式,但必须注意:因为负数没有平方根,都必须满足被开方数(式)是非负数;根指数是 2;形如 b (a0)的式子也是二次根式.【例 1】要使二次根式 有意义,x 必须满足 ( )-2A.x2 B.x2C.x2【标准解答】选 B.根据题意,得 x-20,解得 x2.(2)正确理解最简二次根式:被开方数中不含分母,也就是被开方数必须是整数或整式;被开方数中每个因数或因式的指数都是 1.【例 2】下列二次
2、根式中的最简二次根式是 ( )A. B.30 12C. D.812【标准解答】选 A. =2 , =2 , = ,而 是最简二次根式.12 3 8 212 22 301.要使代数式 有意义,则 x的 ( )2-3A.最大值是 B.最小值是23 23C.最大值是 D.最小值是32 322.下列属于最简二次根式的是 ( )A. B.2+212C. D.0.1 182.非负数性质的应用在实数范围内,正数和零统称非负数.我们已学过的非负数有如下形式:(1)任何一个数 a的绝对值是非负数,即|a|0.(2)任何一个数 a的平方是非负数,即 a20.(3)任何非负数的算术平方根是非负数,即 0(a0).即
3、若 a为实数,则 a2,|a|, (a0)均为非负数.非负数具有以下性质:(1)非负数的最小值为零.(2)有限个非负数的和仍是非负数.(3)若几个非负数的和等于零,则每个非负数都等于零.【例】若 x,y为实数,且|x+2|+ =0,则(x+y) 2 016的值为 . -3【标准解答】根据绝对值和算术平方根的意义可知,|x+2|0, 0,-3又因为|x+2|+ =0,-3因此|x+2|=0, =0,-3x+2=0,y-3=0,x=-2,y=3,(x+y) 2 016=1.答案:11.已知实数 x,y满足 -1+|y+3|=0,则 x+y的值为 ( )-1A.-2 B.2 C.4 D.-42.若
4、+(y+2)2=0,则(x+y) 2 014等于 ( )-1A.-1 B.1 C.32 014 D.-32 0143.化简二次根式的技巧(1)被开方数是带分数先把带分数化成假分数,再把分子、分母乘以适当的数,把分母变成平方数,应用商的算术平方根的性质把分母中的数开出来.【例 1】化简: .2123【标准解答】原式= = = = .52 5222 1022 102(2)被开方数为单项式先把单项式写成数或字母积的平方与另一因式积的形式,再把能开出来的数或字母开出来.【例 2】化简: .1235【标准解答】 =1235 222(2)23=2ab2 .3(3)被开方数为多项式先把多项式分解因式成数或字
5、母积的平方与另一因式积的形式,再把能开出来的数或字母开出来.【例 3】化简: .452+1243【标准解答】原式= 442(+3)=2x2y .+3(4)被开方数是分式把分式的分母和分子乘以适当的数或字母,把分母变成平方数(式),应用商的算术平方根的性质把分母中的数或字母开出来.【例 4】化简: .5122【标准解答】原式=531223= = .15(6)2 16151.化简 的结果是 ( )12A.4 B.2 C.3 D.23 3 2 62.化简: = . 823.若 =3-x,则 x的取值范围是 . (-3)24.二次根式的有关运算4(1)二次根式的乘除运算有两种策略:一是先把它们都化成最
6、简二次根式,再乘除;二是先乘除,再逆用法则化简.要根据题目的特点灵活选择,单纯的乘除混合运算,一般采用第二种方法.【例 1】计算 的结果是 ( )8 2A. B.4 C. D.210 6【标准解答】选 B. = =4.8 2 16(2)二次根式的加减运算,可以简记为“一化,二找,三合并”,即把二次根式化成最简二次根式;找出被开方数相同的根式;合并被开方数相同的二次根式.(被开方数不同的不能合并)【例 2】计算 -3 = . 2423【标准解答】原式=2 -3 =2 - = .663 6 6 6答案: 6(3)二次根式的混合运算,首先要搞清楚运算的顺序,其次是认真观察式子的结构特点,能利用运算律
7、或公式的,要优先考虑使用运算律或公式(或公式的逆用),简化运算.在有理数范围内成立的运算律、运算法则、公式及因式分解、约分、通分等方法对二次根式同样适用.【例 3】计算: = . (27- 13) 3【标准解答】原式= - =9-1=8.273133答案:81.计算: -2 等于 . 18122.计算 的结果是 . 51533.计算:( + )2- = . 2 3 245.数学思想在解答二次根式题目中的应用(1)转化思想转化思想是将不易解决的问题变成我们容易解决的问题,从而达到将抽象转化为具体,复杂转化为简单的一种数学思想.如例 1中,将复杂的形式转化成积的乘方的形式,再利用平方差公式知识求解
8、.【例 1】计算(1+ )2 012(1- )2 013.2 2【标准解答】原式=(1+ )2 012(1- )2 012(1- )2 2 25= (1- )(1+2)(1- 2)2 0122=(-1)2 012(1- )=1- .2 2(2)分类讨论思想有的数学问题可能有几种情况,在未具体指明哪种情况时,需要对各种情况进行讨论,确保“不重不漏”.【例 2】已知|a|=2, =4,且 ab0.于是 a-b0,所以原式=|a|-|b|-|a-b|=-a-b+(a-b)=-2b.1.实数 a在数轴上的位置如图所示,则 + 化简后为 ( )(-4)2 (-11)26A.7 B.-7C.2a-15 D
9、.无法确定2.已知 x=1- ,y=1+ ,求 x2+y2-xy-2x+2y的值.2 2答案解析：1.二次根式的相关概念【跟踪训练】1.【解析】选 A.由二次根式有意义的条件得 2-3x0, x ,故选 A.232.【解析】选 A.因为 B. ,被开方数中含有分母,C. = = ,D. =3 .1 0.1 1101010 18 22.非负数性质的应用【跟踪训练】1.【解析】选 A. +|y+3|=0,-1 x-1=0,y+3=0; x=1,y=-3,原式=1+(-3)=-2 .2.【解析】选 B. +(y+2)2=0,-1 解得-1=0,+2=0. =1,=-2.( x+y)2 014=(1-
10、2)2 014=1.3.化简二次根式的技巧【跟踪训练】1.【解析】选 B. =2 .12 32.【解析】 = =2.82 4答案:2 3.【解析】 0,(-3)23- x0,即 x3 .答案: x374.二次根式的有关运算【跟踪训练】1.【解析】原式=3 -2 =3 - =2 .222 2 2 2答案:2 22.【解析】原式= =5.5 5答案:53.【解析】( + )2- =5+2 -2 =5.2 3 24 6 6答案:55.数学思想在解答二次根式题目中的应用【跟踪训练】1.【解析】选 A.由数轴可知 5a10, + =a-4+11-a=7.(-4)2 (-11)22.【解析】 x=1- ,y=1+ ,2 2 x-y=(1- )-(1+ )=-2 ,2 2 2xy=(1- )(1+ )=-1.2 2x2+y2-xy-2x+2y=(x-y)2-2(x-y)+xy=(-2 )2-2(-2 )+(-1)2 2=7+4 .28
