1、1鸽巢问题1. 在了解简单的“鸽巢问题”的基础上,使学生会用此原理解决简单的实际问题。2. 提高学生有根据、有条理地进行思考和推理的能力。3. 通过用“鸽巢问题”解决简单的实际问题,激发学生的学习兴趣,使学生感受数学的魅力。重点:引导学生把具体问题转化成“鸽巢问题” 。难点:找出“鸽巢问题”解决的窍门进行反复推理。铅笔、笔筒、书等。师:同学们,老师给大家表演一个“魔术” 。一副牌,取出大小王,还剩 52 张牌,请 5 个同学上来,每人随意抽一张,我知道至少有 2 人抽到的是同花色的,相信吗?试一试。师生共同玩几次这个“小魔术”,验证一下。师:想知道这是为什么吗?通过今天的学习,你就能解释这个现
2、象了。下面我们就来研究这类问题,我们先从简单的情况入手研究。【设计意图:紧紧扣住学生的好奇心,从学生喜欢的扑克牌“小魔术”开始,激活认知热情。使学生积极投入到对问题的研究中。同时,渗透研究问题的方法和建模的数学思想】1. 讲授例 1。(1)认识“抽屉原理” 。(课件出示例题)把 4 支铅笔放进 3 个笔筒中,那么总有一个笔筒里至少放进 2 支铅笔。学生读一读上面的例题,想一想并说一说这个例题中说了一件怎样的事。教师指出:上面这个问题,同学们不难想出其中的道理,但要完全清楚地说明白,就需给出证明。(2)学生分小组活动进行证明。活动要求:学生先独立思考。把自己的想法和小组内的同学交流。如果需要动手
3、操作,要分工并全面考虑问题。(谁分铅笔、谁当笔筒即“抽屉” 、谁记录等)在全班交流汇报。(3)汇报。师:哪个小组愿意说说你们是怎样证明的? 列举法证明。学生证明后,教师提问:把 4 支铅笔放进 3 个笔筒里,共有几种不同的放法?(共有 4 种不同的放法。在这里 只考虑存在性问题,即把 4 支铅笔不管放进哪个笔筒,都视为同一种情况)根据以上 4 种不同的放法,你能得出什么结论?(总有一个至少放进 2 支铅笔)数的分解法证明。2可以把 4 分解成三个数,共有四种情况:(4,0,0),(3,1,0),(2,2,0),(2,1,1),每一种结果的三个数中,至少有一个数是不小于 2 的。反证法(或假设法
4、)证明。让学生试着说一说,教 师适时指点:假设先在每个笔筒里放 1 支铅笔。那么,3 个笔筒里就放了 3 支铅笔。还剩下 1 支铅笔,放进任意一个笔筒里,那么这个笔筒里就有 2 支铅笔。(4)揭示规律。请同学 们继续思考:把 5 支铅笔放进 4 个笔筒中,那么总有一个笔筒里至少放进几支铅笔,为什么?如果把 6 支铅笔放进 5 个笔筒中,结果是否一样呢?把 7 支铅笔放进 6 个笔筒中呢?把 10 支铅笔放进 9 个笔筒中呢?把 100 支铅笔放进 99 个笔筒中呢?学生回答的同时教师板书:数量(支) 笔筒数(个) 结果5 总有一个笔筒里提问:观察板书,你有什么发现? 小组讨论,引导学生得出一般
5、性结论。(只要放的铅笔数比笔筒的数量多 1,总有一个笔筒里至少放进 2 支铅笔)追问:如果要放的铅笔数比笔筒的数量多 2,多 3,多 4 呢?学生根据具体情况思考并解决此类问题。教师小结。上面我们所证明的数学原理就是最简单的“抽屉原 理”,可以概括为:把 m 个物体任意放到 m-1 个抽屉里,那么总有一个抽屉中至少放进了 2 个物体。2.教学例 2。师:把 7 本书放进 3 个抽屉,不管怎么放,总有一个抽屉里至少放进 3 本书。为什么?自己想一想,再跟小组的同学交流。学生独立思考后,进行小组交流;教师巡视了解情况 。组织全班交流,学生可能会说:我们可以动手操作,选用列举的方法:第一个抽屉 7
6、6 5 4 3 3第二个抽屉 0 1 1 1 1 2第三个抽屉 0 0 1 2 3 2通过操作,我们把 7 本书放进 3 个抽屉,总有一个抽屉至少放进 3 本书。我们可以用数的分解法:把 7 分解成三个数,有(7,0,0),(6,1,0),(5,1,1),(4,1,2),(3,1,3),(3,2,2)这样六种情况。在任何一种情况中,总有一个数不小于 3。师:同学们,通过上面两种方法,我们知道了把 7 本书放进 3 个抽屉,不管怎么放,总有 1个抽屉里至少放进 3 本书。但随着书的本书增多,数据 变大 ,如果有 8 本书会怎样呢?10 本呢?甚至更多呢?用列举法、数的分解法会怎样?(繁琐)我们能
7、不能找到一种适用各种数据的一般方法呢?请同学们自己想一想。学生进行独立思考。师:假设把书尽量的“平均分”给各个抽屉,看每个抽屉能分到多少本书,你们能用什么算式表示这一平均分的过程呢?生:73=21师:有余数的除法算式说明了什么问题?生:把 7 本书平均放进 3 个抽屉,每个抽 屉放 2 本书,还剩 1 本;把剩下的 1 本不管放到哪个抽屉,总有一个抽屉至少放 3 本书。师:如果有 8 本书会怎样呢?生:83=22,可以知道把 8 本书平均放进 3 个抽屉,每个抽屉放 2 本书,还剩 2 本;把剩下的 2 本中的 1 本不管放到哪个抽屉,总有一个抽屉至少放 3 本书。师:10 本书呢?3生:10
8、3=31,可知把 10 本书平均放进 3 个抽屉,每个抽屉放 3 本书,还剩 1 本;把剩下的 1 本不管放到哪个抽屉,总有一个抽屉至少放 4 本书。师:你发现了什么?师生共同小结:要把 a 个物体放进 n 个抽屉,如果 an=bc(c0),那么一定有一个抽屉至少放( b+1)个物体。【设计意图:在渗透研究问题、探索规律时,先从简单的情况开始研究。证明过程中,展示了不同学生的证明方法和思维水平,使学生既互相学习、触类旁通,又建立“建模”思想 ,突出了学习方法】师:通过今天的学习,你有什么收获?生:物体数除以抽屉数,那么总会有一个抽屉里放进比商多 1 的物体个数。师:你能在生活中找 出这样的例子
9、吗?学生举例说明。师:之所以把这个规律称之为“原理”,是因为在我们的生活中存在着许多能用这个原理解决的问题 ,研究出这个规律是非常有价值的。同学们继续努力吧!【设计意图:研究的问题来源于生活,还要还原到生活中去。在教学的最后,请学生总结这节课学会的规律,再让学生举一些能用“鸽巢问题”解释的生活现象,以达到巩固应用的目的】鸽巢问题 1.学生对“至少”理解不够,给“建模”带来了一定的难度。2.培养学生的问题意识,借助直观操作和假设法,将问题转化成“有余数的除法”形式,可以使学生更好地理解“抽屉原理”的一般思路。3.经历将具体问题“数学化”的过程,有利于提高学生的数 学思维能力,让学生在运用新学知识
10、灵活巧妙地解决实际问题的过程中,进一步体验数学的价值,感受数学的魅力,培养学习数学的兴趣A 类1.1001 只鸽子飞进 50 个鸽舍,无论怎么飞,我们一定能找到一个鸽子最多的鸽舍,它里面至少有( )只鸽子。2.从 8 个抽屉中拿出 17 个苹果,无论怎么拿,我们一定能找到一个拿出苹果最多的抽屉,从它里面至少拿出了( )个苹果。3.从( )(填最大数)个抽屉中拿出 25 个苹果,才能保证一定能找到一个抽屉,从它当中至少拿了 7 个苹果。(考查知识点:鸽巢问题;能力要求:灵活运用所学知识解决简单的具体问题)B 类你能证明在任意的 37 人中,至少有 4 人的属相相同吗?说明理由。(考查知识点:鸽巢
11、问题;能力要求:灵活运用所学知识解决生活中的实际问题)4课堂作业新设计A 类:1. 21 2. 3 3. 4B 类:把 12 个属相看作 12 个抽屉。3712=31 3 +1=4 即在任意的 37 人中,至少有 4 人属相相同。教材习题第 68 页“做一做”1. 我们可以假设 3 只鸽子分别飞进了三个鸽笼,那么剩余的 2 只鸽子无论飞进哪个鸽笼,都会出现“总有一个 鸽笼至少飞进了 2 只鸽子”这个结果。2. 因为 5 人抽 4 种花色的扑克牌,假设其中的 4 人每人分别抽到其中一种花色,那么剩下的 1 个人无论抽到什么花色,就出现“至少有 2 张牌是同花色”这个结果。第 69 页“做一做”1. 114=2(只)3(只),可知如果每个鸽笼飞进 2 只鸽子,剩下的 3 只鸽子飞进其中任意 3 个鸽笼,那么至少有 3 只鸽子飞进了一个鸽笼。2. 54=1(人)1(人),可知如果每把椅子上坐 1 人,剩下的 1 人再生其中任意的 1把椅子上,那么至少有 1 把椅子上坐了 2 人。
