1、- 1 -2018-2019 学年江苏省南通市海安高中高一（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共 14 小题，共 70.0 分）1.已知集合 U=0，1，2，3，4， M=0，1，2，则 UM_ 【答案】3，4【解析】【分析】根据集合的补集定义进行计算即可【详解】 U=0，1，2，3，4， M=0，1，2， UM=3，4， 故答案为：3，4【点睛】本题考查了集合的基本运算，属于基础题2.若函数 f（ x）=（ m-3） xm为幂函数，则实数 m 的值为_【答案】4【解析】【分析】根据幂函数的定义，写出实数 m 的值即可【详解】函数 f（ x）=（ m-3） xm为幂函数， m-3=1， m=4
2、， 实数 m 的值为 4 故答案为：4【点睛】本题考查了幂函数的定义，属于基础题3.已知 f（ x）= ，则 f（-2）=_【答案】【解析】【分析】根据题意，由函数的解析式计算可得答案【详解】根据题意， f（ x）= ，则 .- 2 -故答案为： 【点睛】本题考查函数值的计算，关键是掌握分段函数解析式的形式，属于基础题4.设函数 f（ x）满足 f（ x-1）=4 x-4，则 f（ x）=_【答案】4 x【解析】【分析】变形 f（ x-1）得出 f（ x-1）=4（ x-1） ，从而得出 f（ x）=4 x【详解】由题意得， f（ x-1）=4 x-4=4（ x-1） ， f（ x）=4 x故
3、答案为：4 x【点睛】本题考查了换元法求函数解析式的方法，属于基础题。5.设函数 g（ x）= ex+ae-x（ xR）是奇函数，则实数 a=_【答案】-1【解析】【分析】根据条件知 g（ x）在原点有定义，从而有 g（0）=0，这样即可求出 a 的值【详解】由于 g（ x）在 R 上为奇函数； g（0）=0； 即 1+a1=0； a=-1 故答案为：-1【点睛】本题考查奇函数的概念，以及奇函数 g（ x）在原点有定义时， g（0）=0，属于基础题。6. =_【答案】【解析】【分析】应用对数运算法则计算即可- 3 -【详解】原式= .【点睛】本题考查了对数的运算性质，属于基础题7.已知三个数
4、a=2m， b=m2， c= ，其中 0 m1，则 a， b， c 的大小关系是_ （用“”或者“”表示）【答案】 c b a【解析】【分析】利用指数与对数函数的单调性即可得出答案【详解】0 m1， a=2m1， b=m2（0，1） ， c= 0， 故 a， b， c 的大小关系是 c b a 故答案为： c b a【点睛】本题考查了指数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题8.已知函数 f（ x）=| x+n|+|x-n|（ n 为常数） ，则 f（ x）的奇偶性为_ （填“奇函数” 、“偶函数”或“既不是奇函数也不是偶函数” ）【答案】偶函数【解析】【分析】由 f（- x
5、）=|- x+n|+|-x-n|=|x-n|+|x+n|= f（ x）可以判断函数的奇偶性。【详解】因为函数 f（ x）的定义域为 R且 f（- x）=|- x+n|+|-x-n|=|x-n|+|x+n|= f（ x） ，所以函数 f（ x）为偶函数 故答案为：偶函数【点睛】本题考查函数奇偶性的定义，以及奇偶函数的判断，是基础题9.已知函数 f（ x）= x3，若 f（ x2-4） f（2 x-1） ，则实数 x 的取值范围是_【答案】 （-1，3）【解析】- 4 -【分析】由题中条件可知 f（ x）= x3在 R 上单调递增，从而可由 f（ x2-4） f（2 x-1）得出 x2-42 x-
6、1，解该不等式即可求出 x 的取值范围【详解】由于 f（ x）= x3在 R 上单调递增； 由 f（ x2-4） f（2 x-1）得， x2-42 x-1； 解得-1 x3； 实数 x 的取值范围是（-1，3） 故答案为：（-1，3） 【点睛】考查 f（ x）= x3的单调性，增函数的定义，以及一元二次不等式的解法10.已知 log189=a，18 b=5，则 log3645=_（用 a， b 表示） 【答案】【解析】【分析】利用对数的换底公式可知 log3645= ，再分别求出 log1845 和 log1836 即可【详解】解：log 189=a， b=log185， a+b=log189
7、+log185=log18（95）=log 1845，log1836=log18（218）=1+log 182= ；log 3645= 故答案为 【点睛】熟练掌握对数的换底公式是解题的关键要善于观察恰当找出底数11.已知函数 ，则函数 的单调递增区间是_。【答案】【解析】【分析】本题首先需要求出函数 的定义域，然后可通过二次函数性质得知的单调性，最后通过 的单调性得知函数 的单调- 5 -递增区间。【详解】因为函数 ，所以所以 或 ，令 由二次函数性质可知：当 时， 单调递减；当 时， 单调递增，故当 时，函数 单调递增，故函数 的单调递增区间是 。【点睛】本题考查复合函数的单调性，考查函数方
8、程思想，计算复合函数的相关性质的时候，可以将复合函数转化为基本初等函数，再对每一个基本初等函数进行讨论。12.已知方程 lnx=3-x 的解在区间（ n， n+1）内，且 nZ，则 n 的值是_【答案】2【解析】【分析】由题意构造函数 ，求出函数 的零点所在区间即可求出满足题意的 n.【详解】由题意构造函数 ，因为函数 和 都是在 上的单调递增函数，所以函数 是在 上的单调递增函数，因为 ， ，所以 ，即函数 在区间（2，3）上有零点，所以 的解在（2，3）内。即方程 lnx=3-x 的解在区间（2，3）内，所以 n=2.【点睛】本题考查了函数的零点问题，结合函数的单调性及零点存在性定理是解决
9、本题的关键。- 6 -13.已知函数 f（ x）= （ x（-1，1） ） ，有下列结论：（1） x（-1，1） ，等式 f（- x）+ f（ x）=0 恒成立；（2） m0，+） ，方程| f（ x）|= m 有两个不等实数根；（3） x1， x2（-1，1） ，若 x1 x2，则一定有 f（ x1） f（ x2） ；（4）存在无数多个实数 k，使得函数 g（ x）= f（ x）- kx 在（-1，1）上有三个零点则其中正确结论的序号为_【答案】 （1） （3） （4）【解析】【分析】（1）根据函数奇偶性的定义判断函数是奇函数即可；（2）先判断函数| f（ x）|是偶函数，令 m=0 可判断
10、结论错误；（3）根据分式函数的性质及复合函数的单调性，可判断结论正确；（4）先判断函数 g（ x）是奇函数，由函数的表达式可知 x=0 是它的一个零点，然后讨论当x（0，1）时，函数一定存在一个零点 （ ） ，再由奇函数的性质可知，当 x（-1，0）时，一定存在另一个零点 （ ） ，可判断结论正确。【详解】 （1）因为 f（ x）= （ x（-1，1） ） ，所以 f（- x）=即函数 为奇函数，所以 f（- x）+ f（ x）=0 在 x（-1，1）恒成立所以（1）正确；（2）因为 f（ x）= （ x（-1，1） ）为奇函数，所以| f（ x）|为偶函数，当 x=0 时，| f（0）|=0
11、，所以当 m=0 时，方程| f（ x）|= m 只有一个实根，不满足题意，所以（2）错误（3）当 x0，1）时， f（ x）= ，令 ， x0，1） ，则 t(0，1，因为函数 在区间0，1）单调递减，而函数 ，在区间(0，1单调递减，- 7 -所以函数 f（ x）= ，在区间0，1）单调递增。故 x0，1）时， f（ x） f（0）=0，因为函数 f（ x）在（-1，1）上是奇函数，所以当 x-1，0）时， f（ x）单调递增，且 f（ x） f（0）=0，综上可知，函数 f（ x）= 在（-1，1）上单调递增，即 x1， x2（-1，1） ，若 x1 x2，则一定有 f（ x1） f（
12、x2）成立，故（3）正确.（4）由 g（ x）= f（ x）- kx=0，即 ，当 x=0 时，显然成立，即 x=0 是函数的一个零点，当 x（0，1）时， ，解得 ，令 ，解得即 （ ）是函数的一个零点，由于 g（- x）= f（- x）+ kx=- f（ x）+ kx=-（ f（ x）- kx）=- g（ x） ，即 g（ x）是（-1，1）上的奇函数，故在区间（-1，0）上一定存在 （ ）是函数的另一个零点，所以（4）正确故（1） ， （3） ， （4）正确故答案为：（1） ， （3） ， （4）【点睛】本题主要考查分式函数的性质，利用函数奇偶性，单调性以及数形结合是解决本题的关键，综合
13、性强，难度较大14.定义在 R 上的函数满足 f（0）=0， f（ x）+ f（1- x）=1， ，且当 0 x1 x21时， ，则 =_【答案】【解析】【分析】根据题意，在 f（ x）+ f（1- x）=1 中，令 x=1 可得 f（1）的值，在 中，依次令x=1、 ，计算可得 的值，同理在 f（ x）+ f（1- x）=1 中，令 x= 可得 的值，进而在- 8 -中，令 x= ，可得 的值，又由 ，分析可得答案【详解】根据题意，函数满足 f（0）=0， f（ x）+ f（1- x）=1，令 x=1，可得： f（1）+ f（0）=1，即可得 f（1）=1，又由 ，令 =1 可得： ，再令
14、= 可得： ，即 .令 x= ，可得： ，即 ，又由 ，令 x= 可得： ，即 .因为当 0 x1 x21 时， ，而 ，所以 ， ，即 ，故 .故答案为： .【点睛】本题考查抽象函数的函数值的计算，关键是分析 f（ x）+ f（1- x）=1， ，属于难题二、解答题（本大题共 6 小题，共 80.0 分）15.已知集合 A=4， a2+4a+2， B=-2，7，2- a（1）若 A B=7，求 A B；（2）若集合 AB，求 A B【答案】 （1）-2，1，4，7（2）-2，4【解析】【分析】（1）由 A B=7可得出 7 A，从而得出 a2+4a+2=7，解出 a，并验证是否满足集合 B，
15、然后求出 A， B，再求并集即可； （2）根据 AB 即可得到 2-a=4，从而求出 a，再求出集合 A， B，进行交集的运算即可- 9 -【详解】 （1） A B=7；7 A； a2+4a+2=7；解得 a=-5，或 1；若 a=-5，则 2-a=7，不符合题意；若 a=1，则 A=4，7， B=-2，7，1； A B=-2，1，4，7；（2） AB；2- a=4； a=-2； A=4，-2， B=-2，7，4； A B=-2，4【点睛】本题考查列举法表示集合的定义，元素与集合的关系，子集的定义，以及交集和并集的运算，属于中档题16.已知 f（ x）= x2+3ax-4a2（1）若 a=3，
16、求不等式 f（ x）0 的解集；（2）若不等式 f（ x）0 对任意 x（-1，2）都成立，求实数 a 的范围【答案】 （1） （-，-12）（3，+） （2） 或【解析】【分析】（1）代入 a 的值，求出不等式的解集即可； （2）根据二次函数的性质得到关于 a 的不等式组，解出即可【详解】 （1）由 a=3 得不等式为： x2+9x-360，解得 x-12 或 x3，所以解集为：（-，-12）（3，+） ；（2）由不等式 f（ x）0 对任意 x（-1，2）都成立，结合二次函数的性质，可得： ，即： ，- 10 -解得： ，所以 a 的取值范围为 或 【点睛】本题考查了二次函数的性质以及不等
17、式的解法，属于中档题17.已知函数 f（ x）=（ ax-1） （ ax+2a-1） ， a0， a1，且 f（1）=5（1）求实数 a 的值；（2）若 x（1，3，求 f（ x）的值域【答案】 （1）2（2） （- ，21）【解析】【分析】（1）利用 f（1）=5，转化求解 a 的值 （2）利用换元法，通过二次函数的性质，求解函数的值域即可【详解】 （1）由 f（1）=5 可得：（ a-1） （3 a-1）=5，解得 a=2，或 a=- ，因为 a0， a1，所以 a=2，（2）由（1）得 f（ x）=（2 x-1） （2 x+3） ，令 t=2x，因为 x（-1，2） ，所以 t（ ，4）
18、 ，所以 y=（ t-1） （ t+3） ， t（ ，4） ，得： ，所以值域为：（- ，21） 【点睛】本题考查函数与方程的应用，二次函数的性质的应用，考查计算能力，属于中档题18.已知美国苹果公司生产某款 iPhone 手机的年固定成本为 40 万美元，每生产 1 万只还需另投入 16 万美元设苹果公司一年内共生产该款 iPhone 手机 x 万只并全部销售完，每万只的销售收入为 R(x)万美元，且 R(x)(1)写出年利润 W(万美元)关于年产量 x(万只)的函数解析式；(2)当年产量为多少万只时，苹果公司在该款 iPhone 手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润- 11 -【答
19、案】 （1）W （2）x32 时，W 取最大值为 6104.【解析】(1)当 040，WxR(x)(16x40) 16x7360.所以，W(2)当 040 时，W 16x7360，由于 16x2 1600，当且仅当 16x，即 x50(40，)时，W 取最大值为 5760.综合知，当 x32 时，W 取最大值为 6104.19.已知函数 f（ x）=log a ，其中 0 a1， b0，若 f（ x）是奇函数（1）求 b 的值并确定 f（ x）的定义域；（2）判断函数 f（ x）的单调性，并证明你的结论；（3）若存在 m， n（-2，2） ，使不等式 f（ m）+ f（ n） c 成立，求实数
20、 c 的取值范围【答案】 （1） b=3，定义域为（-3，3） ；（2）见解析；（3） c2log a .【解析】【分析】（1）根据奇函数的性质即可求出 b 的值，再求出函数的定义域， （2）根据函数单调性的定义和复合函数的单调性即可判断， （3）根据函数的单调性可得 c f（ m）+ f（ n） min求出即可。【详解】 （1）函数 f（ x）=log a ，为奇函数， f（0）=log a =0， b=3，- 12 - f（ x）=log a ，由 0，解得-3 x3，即函数的定义域为（-3，3） ；（2）令 g（ x）= =- =-1+设 x1， x2（-3，3） ，且 x1 x2， g
21、（ x1）- g（ x2）=-1+ +1- = ，-3 x1 x23， x2-x10， x1+30， x2+30 g（ x1）- g（ x2）0，即 g（ x1） g（ x2） ， g（ x）在（-3，3）上单调递减，0 a1， f（ x）在（-3，3）上单调递增，（3）由（2）可得 f（ x）在-2，2上单调递增， c f（ m）+ f（ n） max即可， c2 f（2）=2log a 【点睛】本题考查了函数的奇偶性和函数的单调性，考查了函数恒成立的问题，属于中档题20.已知集合 是满足下列条件的函数 的全体：在定义域内存在实数 ，使得成立.（）判断幂函数 是否属于集合 ？并说明理由；（）
22、设 ， ，i）当 时，若 ，求 的取值范围；ii）若对任意的 ，都有 ，求 的取值范围.【答案】(1) (2) - 13 -【解析】试题分析：(1)根据条件 ，得到 ，解出 x 的值即可；(2) i）当 时，根据 及对数的运算，求出关于 a 的方程，再根据方程有解的条件求出 a 的取值范围；ii）同 i）得到 根据方程有解得到关于 a 的不等关系，解之即可.试题解析：（） ，理由如下：令 ，则，即 ，解得： ， 均满足定义域 .当 时，（）当 时， ,由题知： 在 上有解，令 ，则即，从而，原问题等价于 或或又 在 上恒成立， 另解：原问题等价于 在 上有解令 ，- 14 -由根的分布知： 或解得： 或又 ， 当 或 时，经检验仅 满足条件ii)由 i)知：对任意 ， 在 上有解，即，令 ，则则 在 上有解令 ， ，则，即由 可得： ，令 ，则， ， .点睛：本题以新定义为载体，重点考查了方程有解的问题，方程解的问题有两个转化方向，其一，转化为函数的值域问题；其二，转化为两个函数图象的交点个数问题,同时，对于初等函数二次函数要牢固掌握，很多问题最终会转化为二次函数问题.- 15 -
