1、- 1 -江苏省无锡市 20182019 学年第一学期期末复习试卷高三数学一、填空题（不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上 ）1.集合 A ， ， ，B ， ， ，若 A B3，则 a 的值是_【答案】1【解析】【分析】由集合 有一个元素为 ，根据两集合的交集中元素为 ，得出集合 中必然有一个元素为，分别令集合 中的元素等于 列出关于 的方程，求出方程的解，经过检验即可得到 的值.【详解】 ， ，若 ， 或 或 ，解得 或 ，将 代入得 ， ，此时 ，不合题意；将 代入得 ， ，此时 ，满足题意，则 ，故答案为 .【点睛】本题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键
2、，注意对所求结果进行检验，属于基础题.2.复数 z 满足 ，则复数 z 的共轭复数 _【答案】【解析】【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，结合共轭复数的概念即可得最后结果.【详解】由 ，得 ， ，故答案为 .【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题3.如图是甲、乙两位射击运动员的 5 次训练成绩（单位：环）的茎叶图，则甲与乙的方差和- 2 -为_ 【答案】57.2【解析】【分析】根据茎叶图中的数据，计算甲、乙二人的平均数与方差，求方差和即可.【详解】根据茎叶图知，甲的平均数是 ，方差是 ；乙的平均数是 ，方差是 ，甲与乙的方差和为 ，
3、故答案为 57.2【点睛】本题考查了利用茎叶图求平均数与方差的应用问题，是基础题4.已知实数 x，y (0，1)，三角形 ABC 三边长为 x，y，1，则三角形 ABC 是钝角三角形的概是_【答案】【解析】【分析】由题意知 为钝角三角形时， 且 ，构成三角形的区域为不等式且 ， ，利用几何概型的概率公式求出对应区域的面积比即可【详解】如图所示，由题意得构成三角形的 、 满足的条件为 且 ， ，其区域为 ，其面积为 ，若 为钝角三角形，则 ，且 ；其区域为阴影部分，- 3 - ，所求的概率值为 ，故答案为 .【点睛】本题考查了几何概型的概率计算问题，同时考查了不等式组表示平面区域问题，解题的关键
4、在于构造几何概型模型，属于中档题5.为了在运行下面的程序之后得到输出 y25，键盘输入 x 应该是_【答案】6 或 6【解析】程序对应函数时 ,由得 x6 或 x6.故答案为：6 或 6.6.在体积为 9 的斜三棱柱 ABCA1B1C1中，S 是 C1C 上的一点，SABC 的体积为 2，则三棱锥SA1B1C1的体积为_【答案】- 4 -【解析】【分析】由已知棱柱体积与棱锥体积可得 S 到下底面距离与棱柱高的关系，进一步得到 S 到上底面距离与棱锥高的关系，则答案可求。【详解】设三棱柱 的底面积为 ，高为 ，则 ，再设 到底面 的距离为 ，则 ，得 ，所以 ，则 到上底面 的距离为 ，所以三棱
5、锥 的体积为 。故答案为：1。【点睛】本题考查棱柱、棱锥体积的求法，考查空间想象能力、思维能力与计算能力，考查数形结合思想，三棱锥体积为 ，本题是中档题。7.已知实数 x，y 满足 ，且 ，则实数 m 的取值范围为_【答案】【解析】如图，作出可行域：- 5 -，表示可行域上的动点与定点 连线的斜率，显然最大值为 ，最小值为故答案为：点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行
6、域的端点或边界上取得.8.设函数 （其中 A， ， 为常数且 A0， 0， ）的部分图象如图所示，若 （ ） ，则 的值为_【答案】【解析】- 6 -【分析】由函数 的图象求出 、 、 和 的值，写出 的解析式，再由 的值，利用三角恒等变换求出 的值【详解】由函数 的图知， ，由 ，得 ， ，又 ，且 ， ， ，由 ， ，又 ， ， ，故答案为 【点睛】本题主要考查利用 的图象特征求解析式以及两角和的正弦公式的应用， 为振幅，由其控制最大、最小值， 控制周期，即 ，通常通过图象我们可得 和, 称为初象，通常解出 ， 之后，通过特殊点代入可得，用到最多的是最高点或最低点.，9.在斜ABC 中，若
7、 ，则 的最大值是_【答案】 .【解析】分析：在斜 中， ，结合 可得，利用基本不等式可得结果.详解：在斜 中， ，又 ，- 7 -，所以，与 同号，又 在 中， ，所以，当且仅当 时“=”成立，的最大值为 ，故答案为 .点睛：本题主要考查诱导公式、两角差的正切公式的应用以及基本不等式求最值，属于中档题. 利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小） ；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用 或 时等号能否同时成立）.10.
8、已知函数 ， 则不等式 的解集是_【答案】 （1，2）【解析】试题分析： ， 在区间 上为单调增函数，所以不等式等价于 ，解得 ；考点：1.分段函数；2.函数的单调性；11.如图，已知平行四边形 ABCD 中，E，M 分别为 DC 的两个三等分点，F，N 分别为 BC 的两个三等分点， ， ，则 _- 8 -【答案】90【解析】【分析】根据已知条件可得方程组 ，结合方程组可得，根据 化简即可得结果.【详解】平行四边形 中， ， 分别为 的两个三等分点， ， 分别为 的两个三等分点， ， ， ，解得 ， ，故答案为 90【点睛】本题考查平行四边形的对角线的平方和的求法，考查向量加法定理等基础知识
9、，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题12.已知数列 的前 n 项和为 ， ， 且 （ ） ，记（ ） ，若 对 恒成立，则 的最小值为_【答案】【解析】, 即- 9 -为首项为 ，公差为 的等差数列， ，由 得 ，因为或 时， 有最大值 ， ，即 的最小值为 ，故答案为 .【方法点晴】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，掌握一些常见的裂项技巧：； ； ；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.13.在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(m，0)，B(m4，0)，若圆 C：
10、 上存在点 P，使得APB45，则实数 m 的取值范围是_【答案】【解析】【分析】求出 的外接圆 半径和圆心坐标，确定外接圆 的方程，将点 转化为圆 与圆 的公共点，利用两圆圆心距与两圆半径之间的关系列不等式求实数 的取值范围【详解】设 的外接圆为圆 ，由于 ，由正弦定理可知，圆 的半径 满足 ，所以圆 的半径长为 ，易知 ，且圆心 在线段 的垂直平分线上，可求得点 的坐标为或 ，由于点 在圆 上，也在圆 上，则圆 与圆 有公共点若 的坐标为 ，则圆 的方程为 ，此时由于圆 与圆 有公共点，则 ，即 ，- 10 -化简得 ，解得 ；若点 M 的坐标为 ，则圆 的方程为 ，此时由于圆 与圆 有公
11、共点，则 ，即 ，化简得 ，解得 综上所述，实数 的取值范围是 ，故答案为 【点睛】本题主要考查点与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，问题的关键在于将点转化为圆与圆的位置关系，计算量较大，属于中等题14.已知 a，bR，e 为自然对数的底数若存在 b3e，e 2，使得函数e xaxb 在1，3上存在零点，则 a 的取值范围为_【答案】【解析】分析：先转化为 存在零点，再利用数形结合分析两种情况下求 a 的最大值和最小值得解.详解:由题得存在 ，使得函数 在 上存在零点，所以存在 ,使得 ,所以 ,令 直线 y=ax+b,则两个函数的图像存在一个交点，当直线 y=ax+b 过点（1，e）,(0,-
12、3e)时，此时 a 最大，此时 b=-3e,a=4e，所以 a4e.当直线 y=ax+b 过点 且与 相切时， 最小，设切点为 ，则切线方程为 ，此时所以 a 的最小值为所以 的取值范围为 .- 11 -故答案为：点睛：(1)本题主要考查函数的零点问题和导数的几何意义，意在考查学生这些基础知识的掌握能力和分析转化数形结合的能力. (2)本题的关键有两点，其一是转化为 存在零点，其二是如何数形结合分析两个函数的图像求出 a 的最大值和最小值.二、解答题（请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ）15.在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 （1）求
13、角 B；（2）若 ， ，求 ， 【答案】 （1） ；（2） .【解析】【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，然后求解 B 的大小（2）利用正弦定理余弦定理，转化求解即可【详解】 （1）在 中，由正弦定理 ，得 又因为在 中 所以 法一：因为 ，所以 ，因而 所以 ，所以 法二： 即 ， 所以 ，因为 ，所以 （2）由正弦定理得 ，而 ，所以 ，- 12 -由余弦定理 ，得 ，即 ， 把代入得 .【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角” ，二是利用余弦定理实现“角化变；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正
14、弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.16.如图，在直四棱柱 中， ， 点 为棱 的中点（1）若 ，求证： ；（2）求证： /平面 【答案】(1)见解析.(2)见解析.【解析】分析：（1）取 的中点 ，连结 ，先证明 平面 ，再证明 (2)先证明平面 平面 ，再证明 平面 详解：证明：（1）取 的中点 ，连结 ，因为 ，所以 为等腰三角形，所以 因为 ，所以 为等腰三角形，所以 又 ，所以 平面 因为 平面 ，所以 （2）由 为 中点，连 ，则 ，又 平面 ，所以 平面 - 13 -由 ，以及 ，所以 ，又 平面 ，所以 平面 又 ，所以平面 平面 ， 而 平面 ，所以 平面 点
15、睛：本题主要考查空间位置关系的证明，空间位置关系的证明有两种方法，方法一是利用线面的转化的思想证明，方法二是利用向量的方法证明.两种方法各有特点，要灵活使用. 17.如图，有一块半圆形的空地，政府计划在空地上建一个矩形的市民活动广场 ABCD 及矩形的停车场 EFGH，剩余的地方进行绿化，其中半圆的圆心为 O，半径为 r，矩形的一边 AB 在直径上，点 C，D，G，H 在圆周上，E，F 在边 CD 上，且BOG60，设BOC （1）记市民活动广场及停车场的占地总面积为 ，求 的表达式；（2）当 cos 为何值时，可使市民活动广场及停车场的占地总面积最大【答案】 （1） （2 ）【解析】【分析】
16、（1）由已知分别用 表示两个矩形的长和宽，可得 的表达式；（2）根据（1）中的结果，求导，利用导数法分析函数的最值点，可得答案【详解】 （1）过点 作 于点 ，连接 . ， .又 ， ， ， ，由对称性：- 14 -. ，则 为等边三角形， .（2）由（1）得： ，令 ，则 ， ， ，即 ， .令 ， .+ 0 -极大值 .答：当 时，可使市民活动广场及停车场的占地总面积最大.【点睛】本题考查的知识点是在实际问题中建立三角函数模型，利用导数分析函数的单调性，难度中档18.在平面直角坐标系 xOy 中，设椭圆 C： （a b0）的下顶点为 A，右焦点为 F，- 15 -离心率为 已知点 P 是椭
17、圆上一点，当直线 AP 经过点 F 时，原点 O 到直线 AP 的距离为 （1）求椭圆 C 的方程；（2）设直线 AP 与圆 O： 相交于点 M（异于点 A） ，设点 M 关于原点 O 的对称点为N，直线 AN 与椭圆相交于点 Q（异于点 A） 若|AP|2|AM|，求APQ 的面积；设直线MN 的斜率为 ，直线 PQ 的斜率为 ，求证： 是定值【答案】 （1） （2）见证明【解析】【分析】（1）运用椭圆的离心率公式以及点到直线的距离公式，解方程可得 ， ， ，进而得到所求椭圆方程；（2）设直线 的斜率为 ，则直线 的方程为 ，联立椭圆方程可得 的坐标，联立圆方程可得 的坐标，运用两直线垂直的
18、条件：斜率之积为 ，求得 的坐标，由 可得 ，求得 ， 坐标，以及 ， ，由 的面积为 ，计算可得；运用两点的斜率公式，分别计算线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，即可得证.【详解】 （1）据题意，椭圆 的离心率为 ，即 .当直线 经过点 时，直线 的方程为 ，即 ，由原点 到直线 的距离为 ，可知 ，- 16 -即 .联立可得， ， ，故 .所以椭圆 的方程为 .（2）据题意，直线 的斜率存在，且不为 0，设直线 的斜率为 ，则直线 的方程为 ，联立 ，整理可得 ，所以 或 .所以点 的坐标为 ，联立 和 ，整理可得 ，所以 或 .所以点 的坐标为 .显然， 是圆 的直径，故 ，所以直线 的方
19、程为 .用 代替 ，得点 的坐标为 ，即 .由 可得， ，即 ，解得 .- 17 -根据图形的对称性，不妨取 ，则点 ， 的坐标分别为 ， ，故 ， .所以 的面积为 .证明：直线 的斜率 ，直线 的斜率 .所以 为定值，得证.【点睛】本题主要考查椭圆的方程和性质，考查直线和椭圆方程联立，以及直线与圆的方程联立，解方程求交点，考查直线的斜率公式的运用以及“设而不求，整体代换的思想” ，化简整理的运算能力，计算量较大，属于中档题19.设函数 ，其中 R（1）若 a0，求过点(0，1)且与曲线 相切的直线方程；（2）若函数 有两个零点 ， 求 a 的取值范围；求证： 【答案】(1) y x1 (2
20、) (0，e)见解析【解析】试题分析：（1）设切点为 T(x0，1ln x0)，得切线： y1ln x0 ( x x0)，将点(0，1)代入求解即可；（2）求导 f ( x) ，讨论 a0，和 a0 时函数的单调性求解即可；由 x1， x2是函数 f(x)的两个零点(不妨设 x1 x2)，得 ，两式作差得- 18 -a(x1 x2) ，代入要证得式子得 2ln 0，令 h(x)2ln x x， x(0，1)，求导利用单调性求最值即可证得.试题解析：（1）当 a0 时， f(x)1ln x， f ( x) 设切点为 T(x0，1ln x0)，则切线方程为： y1ln x0 ( x x0) 因为切
21、线过点(0，1)，所以 11ln x0 (0 x0)，解得 x0e 所以所求切线方程为 y x1 （2） f ( x) ax ， x0(i) 若 a0，则 f ( x)0，所以函数 f(x)在(0，)上单调递减，从而函数 f(x)在(0，)上至多有 1 个零点，不合题意 (ii)若 a0，由 f ( x)0，解得 x 当 0 x 时， f ( x)0，函数 f(x)单调递减；当 x 时， f ( x)0， f(x)单调递增，所以 f(x)min f( ) ln 1 ln 要使函数 f(x)有两个零点，首先 ln 0，解得 0 ae 当 0 ae 时， 因为 f( ) 0，故 f( )f( )0
22、又函数 f(x)在(0， )上单调递减，且其图像在(0， )上不间断，- 19 -所以函数 f(x)在区间(0， )内恰有 1 个零点 考察函数 g(x) x1ln x，则 g (x)1 当 x(0，1)时， g (x)0，函数 g(x)在(0，1)上单调递减；当 x(1，)时， g (x)0，函数 g(x)在(1，)上单调递增，所以 g(x) g(1)0，故 f( ) 1ln 0因为 0，故 因为 f( )f( )0，且 f(x)在( ，)上单调递增，其图像在( ，)上不间断，所以函数 f(x)在区间( ， 上恰有 1 个零点，即在( ，)上恰有 1 个零点综上所述， a 的取值范围是(0，
23、e) 由 x1， x2是函数 f(x)的两个零点(不妨设 x1 x2)，得 两式相减，得 a(x12 x22)ln 0，即 a(x1 x2) (x1 x2)ln 0，所以 a(x1 x2) f ( x1) f ( x2)0 等价于 ax1 ax2 0，即 a(x1 x2) 0，即 0，即 2ln 0设 h(x)2ln x x， x(0，1)则 h (x) 1 0，所以函数 h(x)在(0，1)单调递减，所以 h(x) h(1)0因为 (0，1)，所以 2ln 0，即 f ( x1) f ( x2)0 成立点睛：导数背景下的零点问题，需结合函数的极值符号、函数的单调性及零点存在定理去考- 20
24、-虑而零点满足的不等式则需要通过构建新的不等式去证明，新的不等式对应的函数是一元函数，我们可以用导数去证明这个新的不等式20.已知各项均为正数的数列 满足， ， ， （1）当 ， 时，求证：数列 为等比数列；（2）若数列 是等差数列，求 的值；（3）若 ， 为正常数，无穷项等比数列 满足 ，求 的通项公式【答案】 （1）见证明；（2） 或 （3）见解析【解析】【分析】（1）将 ， 代入已知等式，根据等比数列的定义即可得证；（2）根据等差数列可设，代入已知条件，根据恒等式令 ，即可解出 的值；（3）令 易得且 ，由分离常数思想可得 和 ，令 1 和 中较大的数为 ，由 得，当 时， ，构造函数
25、，利用导数可证得 ，通过 时，说明 不成立，进而说明时成立，得结果.【详解】 （1） ， 时， ，又 ，所以 .所以数列 是以 1 为首项，2 为公比的等比数列.（2）因为 为等差数列，则可设 ，成立.则 ，- 21 -则 ，对任意 成立.记 ， ， ，令 ，则 ，所以 ，即 .由得： 或 ，当 时，成立，因为 ，所以 ，由 得： ；此时 ，所以 ，所以 时，所以 ，满足：当 时，由得： ，所以 ，或 ，若 ，由上知， ， ；当 时，因为 ，所以 ，由得： ，时， ，所以数列 是首项为 1，公差为 1 的等差数列；综上，数列 是等差数列，则 或 ；（3）对任意的 ， ，- 22 -所以 ，所以 ，设数列 的公比为 ，因为 ，所以 ，所以 .，所以当 时， ，当 时， ，令 1 和 中较大的数为 ，则 ，所以 ，即 ，当 时， ，设 ，则 ，令 ，则 ，时， ， 在 上单调递增，时， ， 在 上单调递减，所以 ，所以 ，即 ，所以对任意的 ， ，所以 ，当 ，即 时，不成立，当 时， ， ，- 23 -所以数列 单调递增，所以 成立，综上 .【点睛】本题考查了数列递推关系、数列通项公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，构造与转化的能力，属于难题
