1、- 1 -江苏省泰州市姜堰中学 2019 届高三（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共 14 小题，共 70.0 分）1. 已知集合 A1,1,2,4，B1,0,2，则 AB_.【答案】【解析】根据交集的定义易知 A、B 两个集合共有的元素是-1,2，所以答案为【此处有视频，请去附件查看】2.已知复数 其中 i 是虚数单位 ，则复数 z 的实部为_【答案】1【解析】【分析】根据复数除法法则计算.【详解】 ，故答案为 1【点睛】本题考查复数的运算，掌握复数的运算法则是解题关键，本题是基础题.3. _.【答案】【解析】【分析】根据对数的运算公式得到结果.【详解】根据题干得到 故答案为： .【点睛】
2、本题考查了对数的运算公式的应用，进行对数运算时通常是将对数化为同底的对数，再进行加减运算即可，较为基础.4.命题“ ， ”的否定是_- 2 -【答案】 ，【解析】【分析】把结论中“”改为“” ，同时把“存在”改为“对任意” 。【详解】因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“ ， ”的否定是：“， ”故答案为 ， 【点睛】命题的否定只要把命题中的结论改为相反的结论，同时题中的存在量词与相应的全称量词互换即得，注意与否命题的区别.5.已知向量 ， 且 ，则 _【答案】2【解析】【分析】由向量平行的坐标运算列出关于 的方程，解之即得.【详解】 ；解得 故答案为 2【点睛】本题考查向量平行的坐标运算
3、，即若 ，则 .6.已知角 的终边经过点 ，则 的值为_【答案】【解析】【分析】由三角函数的定义求得 ，再用诱导公式计算.【详解】角 的终边经过点 ，则 ，故答案为 - 3 -【点睛】本题考查三角函数的定义与诱导公式，设角 终边过点 ，则（ ） ， .7.函数 f（x）=lnx+x 的图象在 x=1 处的切线方程为_【答案】2xy1=0【解析】【分析】求出 f（ x）的导数，可得切线的斜率和切点，即可得到所求切线的方程.【详解】函数 f（ x）= lnx+x 的导数为 ，可得函数 f（ x）的图象在 x=1 处的切线斜率为 k=2，切点为（1，1） ，可得切线的方程为 y1=2（ x1） ；即
4、 2x y1=0故答案为：2 x y1=0【点睛】本题考查利用导数求切线的方程，是基本题8.奇函数 是 R 上的增函数， ，则不等式 的解集为_【答案】【解析】【分析】由奇函数的定义可得 ，然后利用增函数的性质解得函数不等式.【详解】根据题意， 为 R 上的奇函数，且 ，则 ，且 又由 是 R 上的增函数，若 ，则有 ，则有 ，解可得： ，即不等式的解集为 ；故答案为 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性与单调性解函数不等式，解题时可利用奇偶性把不等式化为 的形式，然后利用单调性得出 （或 ） ，再解之可得.9.在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 是椭圆 C： 上一点，F 为椭圆 C 的右焦点，
5、- 4 -直线 FP 与圆 O： 相切于点 Q，若 Q 恰为线段 FP 的中点，则 _【答案】3【解析】【分析】引入右焦点 ，由中位线定理得 ，从而得 ，结合椭圆的定义和勾股定理可求得 .【详解】取椭圆的左焦点 ，连接 ，直线 FP 与圆 O： 相切于点 Q，若 Q 恰为线段 FP 的中点，可得 ， ，由椭圆的定义可得 ，在直角三角形 中，可得： ，即 ，可得 ，可得 ，故答案为 3【点睛】本题主要考查椭圆的定义，属于中等题.在问题中涉及到椭圆上的点到一个焦点的距离时，经常利用椭圆的定义与它到另一焦点的距离联系在一起，或转化为点互相应准线的距离.10.已知函数 的部分图象如图所示，其中 ， ，
6、则 _- 5 -【答案】【解析】【分析】由 可求得 ，注意到 ，其中 2 是函数的最大值，由此可得 ，最后代入计算得 .【详解】函数 的部分图象如图所示， ， ， 函数 ， ，故答案为 【点睛】本题考查函数 的图象与性质，已知函数的图象时常常与“五点法”联系，即利用“五点”与函数的周期，最值等建立关系.11.已知 a 为正常数， ，若 ， ， ，则实数 a 的取值范围是_【答案】【解析】【分析】“若 ， ， ”，说明函数在定义域内不是单调函数，因此结合单调函数的性质可得出关于 的不等式关系.【详解】a 为正常数， ，若 ， ， ，- 6 -可得 在 R 上不单调，当 时， 递增，由 可得 恒成
7、立，则 时 递增，但 ，解得 ，故答案为 【点睛】本题考查分段函数的单调性，解题时除要考虑分段函数中两段的单调性外，一般还要考虑两段的最值之间的大小关系，从而才能把问题考虑全面，得出正确结论.12.已知 ，函数 ，若 存在极小值点 m，且 ， ，则_【答案】【解析】【分析】利用导数的知识求得极小值点 ，再由 求得 ，再计算 即可【详解】 ，令 ，解得： 或 ，令 ，解得： ，故 在 递增，在 递减，在 递增，的极小值点 ，由 ，得 ，解得 - 7 -故答案为 【点睛】本题考查导数与函数的极值，求极值的一般步骤是：一求导函数 ，二解方程，三确定导函数 的符号，最终可得结论当 在 左侧为负，右侧为
8、正时， 是极小值点，当 在 左侧为正，右侧为负时， 是极大值点13.已知圆 O： ，定点 ，过 A 点的直线 l 与圆 O 相交于 B、C 两点，B、C两点均在 x 轴上方，如图，若 OC 平分 ，则直线 l 的斜率为_【答案】【解析】【分析】本题关键是求出交点 的坐标，由三角形内角平分线定理可得 ，从而有，于是可设 ，由向量坐标运算求得 点坐标，再把 两点坐标代入圆的方程可求得 点坐标，从而得直线斜率【详解】由 OC 平分 知， ，设点 ，点 ，则 ，即 ，由向量相等解得 ， ；- 8 -又 ， ；由 解得 ， ，点 ；直线 l 的斜率为 故答案为 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系问题，解
9、题时要抓住事物的本质，要求直线斜率，就是要求得直线上两点的坐标，已知 A 点坐标，因此还要求得 两点之一坐标，可利用这两点在圆上，因此想法其中一点的坐标用另一点表示出来的一，代入圆方程联立方程组后可解得本题还考查学生的计算能力，属于中等题14.如图，在 ABC 中， ， ，CD 与 BE 交于点 P， ， ， ，则 的值为_【答案】【解析】【分析】选取向量 为基底，把 用基底表示出来，然后计算它们的数量积即可注意在求时，可设 ，再利用 三点共线的条件求得 ，从而表示出 【详解】设 - 9 -，P，C 三点共线， ，解得 ， ， 解得故答案为 【点睛】本题考查平面向量的数量积运算，解题关键是选取
10、两个不共线向量为基底，其他向量都用基底表示并运算二、解答题（本大题共 6 小题，共 80.0 分）15.已知 ， ， ，若 求 的值；求 的值【答案】 （1） （2）【解析】【分析】（1）由向量的数量积的坐标运算得 ，结合平方公式 及 的范围可求得 的值；（2）由二倍角公式求得 ，再结合两角差的余弦公式求值【详解】 ， ， ， ， ，若 ， ， ， 由 可得 ， ，【点睛】本题考查向量数量积的坐标运算，考查同角间的三角函数关系式、二倍角公式、两角差的余弦公式，解题时只要根据已知及求值式确定先用哪个公式即可本题属于基础题- 10 -16.已知函数 ，定义域为 证明： ；若 在 上的值域为 ，求实
11、数 a 的取值范围【答案】 （1）见解析（2）【解析】【分析】（1）先证明函数在 上是增函数，再由基本不等式得 ，从而由单调性得证结论；（2）由函数单调性知 ，从而 是方程 的两个不等正根，由二次方程根的分布结论可得【详解】证明： 任取 ， ，且 ，则函数 在 上是增函数，由 知 在 上单调递增，n 是 ，即 的两个不等的正根，在 上有两个不等的根，解得 ，实数 a 的取值范围是 【点睛】本题第一个考点是证明函数不等式，函数不等式的证明一常用方法之一就是利用函数的单调性，这是我们必须掌握的函数的性质与方法；第二个考点是函数的值域问题，实质是转化为二次方程根的分布问题，本题可用韦达定理及判别式得
12、出相应条件17.已知圆 C： ，直线 ： 与 ： 交于点 M，- 11 -直线 与圆 C 交于 A、B 两点，直线 与圆 C 交于 D，E 两点，若 M 为弦 AB 的中点，且当 时，求圆 C 的方程；当 时，求圆 C 的方程【答案】 （1）（2）圆 C 的方程为或 【解析】【分析】（1） ，则 M 就是圆心 C，联立两直线方程可求得 M 点坐标，从而得圆方程；（2）由 可得 ，取 中点 F，由 得 M 是 FD 中点，即 ，由圆中的弦长公式求得弦长 ，在 中由勾股定理可求得 【详解】 联立 ， ： ，解得 ，当 时，点 M 既是 AB 的中点，又是 DE 的中点，所以点 M 与圆心 C 重合
13、，即 ， ，所以圆 C 的方程为： ；因为 M 为 AB 的中点，所以 ，所以 ，所以 ，取 DE 的中点 F，因为 ，可得 ，因为 ， ，由 ，因为 ，所以 ，- 12 -即有 ，解得 ，可得 ，即有圆 C 的方程为或 【点睛】本题考查求圆的标准方程，关键是求出圆心坐标本题中注意圆的弦的性质，一是弦中点与圆心的连线与弦所在直线垂直，二是弦长可利用勾股定理求解，即求出圆心到弦所在直线距离 ，则弦长为 （ 是圆半径） 18.某亲子公园拟建议广告牌，将边长为 米的正方形 ABCD 和边长为 1 米的正方形 AEFG在 A 点处焊接，AM、AN、GM、DN 均用加强钢管支撑，其中支撑钢管 GM、DN
14、 垂直于地面于 M 点和 N 点，且 GM、DN、MN 长度相等 不计焊接点大小若 时，求焊接点 A 离地面距离；若记 ，求加强钢管 AN 最长为多少？【答案】 （1） 米；（2）加强钢管 AN 最长为 3 米【解析】【分析】（1） ，可用勾股定理求得 ，再由直角三角形面积公式求得斜边上的高，从而可- 13 -得 A 点到地面的距离；（2）在 中用余弦定理表示出 ，设 ，由正弦定理用 表示出 ，在中用余弦定理表示出 ，并代入 ，最终把 表示为 的函数，最后由三角函数的性质可得最值【详解】 当 时，求焊接点 A 离 GD 的距离 ，所以：点 A 离地面的距离为 米；在 中，由于 ，利用余弦定理：
15、 ，所以： ，设 ，在 中，利用余弦定理： ，所以： ，在 中，由正弦定理得： ，所以： ，代入 式得 ，其中 ；所以当 时， 最大，最大值为 ；所以加强钢管 AN 最长为 3 米【点睛】本题考查解三角形的实际应用，解题关键是建立函数关系式，为此必须确定选用哪个公式计算，正弦定理与余弦定理是解题的关键与基础19.已知椭圆 C： 的左右顶点为 A、B，右焦点为 F，一条准线方程是，短轴一端点与两焦点构成等边三角形，点 P、Q 为椭圆 C 上异于 A、B 的两点，点 R 为 PQ 的中点求椭圆 C 的标准方程；- 14 -直线 PB 交直线 于点 M，记直线 PA 的斜率为 ，直线 FM 的斜率为
16、 ，求证：为定值；若 ，求直线 AR 的斜率的取值范围【答案】 （1） （2）见解析（3）【解析】【分析】（1）由准线方程得 ，由等边三角形得 ，联立解得 ，结合 求得 ，得椭圆标准方程；（2）设直线 PB 方程为 ，与椭圆方程联立可解得交点 P 的坐标，同时求得点 M，F的坐标，计算 即得；（3）由 ，可得 ，即 ，设 AP 的方程为 ，代入椭圆方程求得 P 点坐标，把 换成 ，可得 Q 点坐标，计算直线 斜率表示为 的函数，可结合换元法和基本不等式求得此函数的函数值的范围【详解】 椭圆的一条准线方程是 ，可得 ，短轴一端点与两焦点构成等边三角形，可得 ，解得 ， ， ，- 15 -即有椭圆
17、方程为 ；证明：由 ， ，设直线 PB 的方程为 ，联立椭圆方程 ，可得 ，解得 或 ，即有 ， ，则 ，即 为定值 ；由 ，可得 ，即 ，设 AP 的方程为 ，代入椭圆方程 ，可得 ，解得 或 ，即有 ，将 t 换为 可得 ，则 R 的坐标为 ，即有直线 AR 的斜率- 16 -，可令 ，则 ，则 ，当 时， ，当且仅当 时上式取得等号，同样当 时， ，时， ， ，则 AR 的斜率范围为【点睛】本题考查椭圆的几何性质，考查椭圆的定值问题，解题方法是按要求进行计算，即设出直线方程，求出交点坐标，计算直线斜率等等，计算过程中定值随之而定在求取值范围时，一般要建立一个函数关系式，利用函数的知识或不
18、等式的性质求得取值范围，这里函数中自变量可以是直线的斜率，也可能是图中的角等等20.已知函数 若 ， ，试证明：当 时， ；若对任意 ， 均有两个极值点 ，试求 b 应满足的条件；当 时，证明： 【答案】 （1）见解析（2） ， .见解析【解析】【分析】（1）求出导数 ，求出其最小值，由最小值大于 0，从而证明出结论（2） 首先 0 有两个不等的实根，再用导数研究 的性质，求导 ，利用- 17 -的正负确定 的单调性及最小值点，在 时，计算出 ，由零点存在定理可得 存在两个零点，即 有两个极值点；当时，可取 ，此时 没有零点极值点；由 知， ， 为 的两个实数根，由于 ，可判断出两零点一正一负
19、，即，且 在 递减，为证题中不等式，先做一些准备工作，下面先证，只需证明 ，注意到 得 ，从而，下面再用导数的知识证明 ；由函数单调性得，问题转化为只需证明 ，即证明 ，这再用导数加以证明【详解】 证明： ， ， ， ，令 ，解得 可得： 时，函数 取得极小值即最小值，函数 在当 时单调递增， 当 时， ， 设 ，则 ， ， ， ，故 在 递减，在 递增，故 至多有 2 个零点；当 时， ， ，且 ，又 ，- 18 -由 可知 ，是 R 上的连续函数，在 ， 上各有 1 个零点 ， ，此时， ， 为函数 的 2 个不同的极值点，故 符合题意；当 时，取 ，则 在 递减，在 递增，故 ，故 时， ，故函数 递增，没有极值点，不合题意，综上，当 时，对任意 ， 均有 2 个极值点；由 知， ， 为 的两个实数根， ， 在 递减，下面先证 ，只需证明 ，得 ，设 ， ，则 ，故 在 递减， ， ，又 ， 时， ，在 递减， ，问题转化为只需证明 ，即证明 ，- 19 -设函数 ， ，则 ，设 ，则 ，在 递增，即 ，在 递增， ，当 时， ，则 ，【点睛】本题考查用导数研究函数的性质：单调性与极值，证明函数不等式用导数证明不等式，一般是用导数研究函数的单调性，得出函数的最值，从而证得不等式成立这属于难题，解题时常常用到问题的转化，把不等式的问题转化为求函数的最值
