1、1河南省许昌市禹州市 2019 年中考数学一模试题一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）1 （3 分）若一元二次方程 x28 x+a0 有一个根是 x3，则方程的另一个根是（ ）A x5 B x5 C x15 D x152 （3 分）在我们的日常生活中，经常会看到许多美妙的中心对称图形，下列电视台的台标中，是中心对称图形的是（ ）A B C D3 （3 分）已知 A 为锐角，且 sinA ，那么 A 等于（ ）A15 B30 C45 D604 （3 分）如图，在 ABC 中， DE BC， ， DE4，则 BC 的长（ ）A8 B10 C12 D165 （3 分）如图， AB 是 O 的直
2、径，点 C、 D 在 O 上，且点 C、 D 在 AB 的异侧，连接AD、 BD、 OD、 OC，若 ABD15，且 AD OC，则 BOC 的度数为（ ）A120 B105 C100 D1106 （3 分）如图，直线 y1 kx+n（ k0）与抛物线 y2 ax2+bx+c（ a0）分别交于2A（1，0） ， B（2，3）两点，那么当 y1 y2时， x 的取值范围是（ ）A1 x2 B x2 C x1 或 x2 D x17 （3 分）某口袋中有 10 个球，其中白球 x 个，绿球 2x 个，其余为黑球甲从袋中任意摸出一个球，若为绿球获胜，甲摸出的球放回袋中，乙从袋中摸出一个球，若为黑球则乙
3、获胜，要使游戏对甲、乙双方公平，则 x 应该是（ ）A3 B4 C1 D28 （3 分）对于二次函数 y2 x2+x3，下列结果中正确的是（ ）A抛物线有最小值是 yB x1 时 y 随 x 的增大而减小C抛物线的对称轴是直线 xD图象与 x 轴没有交点9 （3 分）如图，点 A 在双曲线 y 上，点 B 在双曲线 y （ k0）上， AB x 轴，分别过点 A、 B 向 x 轴作垂线，垂足分别为 D、 D，若矩形 ABCD 的面积是 8，则 k 的值为（ ）A5 B7 C9 D1110 （3 分）如图，将 ABC 绕点 C 顺时针旋转，点 B 的对应点为点 E，点 A 的对应点为点3D，当点
4、 E 恰好落在边 AC 上时，连接 AD， ACB36， AB BC， AC2，则 AB 的长度是（ ）A 1 B1 C D二、填空题（每小题 3 分，共 15 分）11 （3 分）关于 x 的一元二次方程（ x+1） （ x2）1 的两根为 12 （3 分）如果一次函数 y2 x+3 与反比例函数 y （ k0）有交点，那么 k 的取值范围是 13 （3 分）如图，在 ABC 中， AD 是 BC 边上的高，tan C ， BAC105， AC2，那么 BC 的长度为 14 （3 分）如图，在计算机白色屏幕上有一个矩形画刷 ABCD，它的边 AB1， AD ，以 B 点为中心，将矩形 ABC
5、D 按顺时针方向转动到 A B C D的位置（ A点在对角线BD 上） ，则 与线段 A D 及线段 A D所围成的图形的面积为 （结果保留） 415 （3 分）如图，点 E 是矩形 ABCD 中 CD 边上一点，将 BCE 沿 BE 折叠为 BFE，点 F 落在边 AD 上，若 AB8， BC10，则 CE 三、解答题（共 75 分）16 （8 分）已知关于 x 的方程 x2（ m+3） x+4m40；（1）求证：无论 m 取何值，这个方程总有实数根；（2）若等腰 ABC 的一边长 a5，另两边 b、 c 恰好是这个方程的两个根，求 ABC 的周长17 （9 分）消费者在许昌市某火锅店饭后买
6、单时可以参与一个抽奖游戏，规则如下：有 4张纸牌，它们的背面都是小猪佩奇头像，正面为 2 张笑脸、2 张哭脸现将 4 张纸牌洗匀后背面朝上摆放到桌上，然后让消费者去翻纸牌（1）现小杨有一次翻牌机会，若正面是笑脸的就获奖，正面是哭脸的不获奖她从中随机翻开一张纸牌，小芳获奖的概率（2）如果小杨、小月都有翻两张牌的机会小杨先翻一张，放回后再翻一张；小月同时翻开两张纸牌他们翻开的两张纸牌中只要出现一张笑脸就获奖他们谁获奖的机会更大些？通过树状图或列表法分析说明理由18 （9 分）如图， AB 为 O 的直径， C、 F 为 O 上两点，且点 C 为弧 BF 的中点，过点 C作 AF 的垂线，交 AF
7、的延长线于点 E，交 AB 的延长线于点 D（1）求证： DE 是 O 的切线；5（2）如果半径的长为 3，tan D ，求 AE 的长19 （9 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y kx+b（ k0）的图象与反比例函数 y （ n0）的图象交于第二、四象限内的 A、 B 两点，与 x 轴交于点 C，点 B 坐标为（ m，1） ， AD x 轴，且 AD3，tan AOD （1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）求 AOB 的面积；（3）点 E 是 x 轴上一点，且 AOE 是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的 E 点的坐标20 （9 分）在某海域，一艘海监船在 P
8、处检测到南偏西 45方向的 B 处有一艘不明船只，正沿正西方向航行，海监船立即沿南偏西 60方向以 40 海里/小时的速度去截获不明船只，经过 1.5 小时，刚好在 A 处截获不明船只，求不明船只的航行速度 （ 1.41， 1.73，结果保留一位小数） 621 （10 分）位于郑州市二七区的二七德化步行街是郑州最早的商业文化购物步行街，在郑州乃至中原都相当有名，德化步行街某店铺经营某种品牌童装，购进时的单价是 40元，根据市场调查，当销售单价是 60 元时，每天销售量是 200 件，销售单价每降低 1元，就可多售出 20 件（1）求出销售量 y（件）与销售单价 x（元）之间的函数关系式；（2）
9、求出销售该品牌童装获得的利润 w（元）与销售单价 x（元）之间的函数关系式；（3）若童装厂规定该品牌童装的销售单价不低于 56 元且不高于 60 元，则此服装店销售该品牌童装获得的最大利润是多少？22 （10 分）在 ABC 的边 BC 上取 B、 C两点，使 AB B AC C BAC（1）如图 1 中 BAC 为直角， BAC AB B AC C90（点 B与点 C重合） ，则 ABC BBA CAC， ， ，进而可得 AB2+AC2 ；（2）如图 2 中当 BAC 为锐角，图 3 中 BAC 为钝角时（1）中的结论还成立吗？若不成立，则 AB2+AC2等于什么（用含用 BC 和 B C的
10、式子表示）？并说明理由（3）若在 ABC 中， AB5， AC6， BC9，请你先判断出 ABC 的类型，再求出B C的长723 （11 分）在平面直角坐标系中，已知抛物线 y ax2+bx+c（ a0）经过点 A（1，0） 、B（4，0） ， C（0，2）三点，直线 y kx+t 经过 B、 C 两点，点 D 是抛物线上一个动点，过点 D 作 y 轴的平行线，与直线 BC 相交于点 E（1）求直线和抛物线的解析式；（2）当点 D 在直线 BC 下方的抛物线上运动，使线段 DE 的长度最大时，求点 D 的坐标；（3）点 D 在运动过程中，若使 O、 C、 D、 E 为顶点的四边形为平行四边形时
11、，请直接写出满足条件的所有点 D 的坐标8参考答案与试题解析一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）1 【解答】解：设方程的另一根为 x，则 x+38，解得 x5故选： B2 【解答】解： A、是中心对称图形，故本选项正确；B、不是中心对称图形，故本选项错误；C、不是中心对称图形，故本选项错误；D、不是中心对称图形，故本选项错误故选： A3 【解答】解：sin A ， A60故选： D4 【解答】解： DE BC， ADE ABC， ， ， ， ， DE4， BC12故选： C5 【解答】解： AB 是 O 的直径， ABD15， ADB90，9 A75， AD OC， AOC75， BOC
12、18075105，故选： B6 【解答】解：根据图象可知：当 x1 时， y1 y2，当 x1 时， y1 y2，当1 x2 时， y1 y2，当 x2 时， y1 y2，当 x2 时， y1 y2，故选： A7 【解答】解：由题意甲从袋中任意摸出一个球，若为绿球则获胜；甲摸出的球放回袋中，乙从袋中摸出一个球，若为黑球则获胜可知，绿球与黑球的个数应相等，也为 2x 个，列方程可得 x+2x+2x10，解得 x2，故选： D8 【解答】解： y2 x2+x32（ x+ ） 2 ，抛物线的对称轴为直线 x ，二次函数有最小值 ；所以 A 选项正确， C 选项错误；当 x 时， y 随 x 的增大而
13、减小，所以 B 选项错误；方程 2x2+x30 有两个不相等的实数解，抛物线与 x 轴有两个交点，所以 D 选项错误故选： A9 【解答】解：双曲线 （ k0）在第一象限，10 k0，延长线段 BA，交 y 轴于点 E， AB x 轴 AE y 轴，四边形 AEOD 是矩形，点 A 在双曲线 上， S 矩形 AEOD3，同理 S 矩形 OCBE k， S 矩形 ABCD S 矩形 OCBE S 矩形 AEOD k38， k11故选： D10 【解答】解： AB BC， ACB36， BAC ACB36， B CED108， AED72， CA CD， ACD36， CAD CDA72， ADE
14、 ACD36， DA ED EC，设 AB x，则 AD DE EC x， DAE CAD， ADE ACD， DAE CAD， AD2 AEAC， x2（2 x）2， x 1 或 1（舍弃） ，11 AB 1，故选： A二、填空题（每小题 3 分，共 15 分）11 【解答】解：原方程整理可得： x2 x30， a1， b1， c3，1+1213， x x1 ， x2 ，故答案为： x1 ， x2 12 【解答】解：一次函数 y2 x+3 与反比例函数 y （ k0）有交点，方程 2x+3 有实数根，整理，得 2x2+3x k0，9+8 k0，解得 k 故答案为 k 13 【解答】解：tan
15、 C ， C30， AD 是 BC 边上的高， ADB ADC90， CAD60， AC2，12 AD AC1， CD AD ， BAC105， BAD ABD45在 Rt ADB 中， BD AD1， BC1+ 故答案为：1+ 14 【解答】解：四边形 ABCD 是矩形， A90， AB1， AD ， BD 2， ADB30， ABD60，将矩形 ABCD 按顺时针方向转动到 A B C D的位置， A B D ABD60， A B AB2， A D AD ， 与线段 A D 及线段 A D所围成的图形的面积 S 扇形 DBD S A B D 1 ，故答案为： 15 【解答】解：四边形 AB
16、CD 是矩形 AB CD8， AD BC10， A D90，将 BCE 沿 BE 折叠为 BFE， BF BC10， EF CE，在 Rt ABF 中， AF 6 DF AD AF4在 Rt DEF 中， DF2+DE2 EF2 CE2，16+（8 CE） 2 CE2，13 CE5故答案为：5三、解答题（共 75 分）16 【解答】 （1）证明：（ m+3） 24（4 m4）（ m5） 20，无论 m 取何值，这个方程总有实数根；（2）解：将 x5 代入原方程，得：255 m15+4 m40，解得： m6，原方程为 x29 x+200，解得： x14， x254、5、5 能组成三角形，该三角形
17、的周长为 4+5+51417 【解答】解：（1）有 4 张纸牌，它们的背面都是小猪佩奇头像，正面为 2 张笑脸、2张哭脸，翻一次牌正面是笑脸的就获奖，正面是哭脸的不获奖，则小芳获奖的概率 ；（2）设两张笑脸牌分别为笑 1，笑 2，两张哭脸牌分别为哭 1，哭 2，画树状图如下：小杨：共有 12 种等可能的结果，翻开的两张纸牌中出现笑脸的有 10 种情况，小杨获奖的概率是： ；小月：共有 16 种等可能的结果，翻开的两张纸牌中出现笑脸的有 12 种情况，14小月获奖的概率是： ； ， P（小杨获奖） P（小月获奖） ，小杨获奖的机会更大些18 【解答】 （1）证明：连接 OC，如图，点 C 为弧
18、BF 的中点，弧 BC弧 CF BAC FAC， OA OC， OCA OAC OCA FAC， OC AE， AE DE， OC DE DE 是 O 的切线；（2）解：在 Rt OCD 中，tan D ， OC3， CD4， OD 5， AD OD+AO8，在 Rt ADE 中，sin D ， AE 1519 【解答】解：（1）如图，在 Rt OAD 中， ADO90，tan AOD ， AD3， OD2， A（2，3） ，把 A（2，3）代入 y ，考点： n3（2）6，所以反比例函数解析式为： y ，把 B（ m，1）代入 y ，得： m6，把 A（2，3） ， B（6，1）分别代入 y
19、 kx+b，得： ，解得： ，所以一次函数解析式为： y x+2；（2）当 y0 时， x+20，解得： x4，则 C（4，0） ，所以 ；16（3）当 OE3 OE2 AO ，即 E2（ ，0） ， E3（ ，0） ；当 OA AE1 时，得到 OE12 OD4，即 E1（4，0） ；当 AE4 OE4时，由 A（2，3） ， O（0，0） ，得到直线 AO 解析式为 y x，中点坐标为（1，1.5） ，令 y0，得到 y ，即 E4（ ，0） ，综上，当点 E（4，0）或（ ，0）或（ ，0）或（ ，0）时， AOE是等腰三角形20 【解答】解：作 PQ 垂直于 AB 的延长线于点 Q，由
20、题意得： BPQ45， APQ60， AP1.54060 海里，在 APQ 中， AQ APsin6030 海里， PQ APcos6030 海里，在 BQP 中， BPQ45， PQ BQ30 海里， AB AQ BQ30 3021.9 海里， 14.6 海里/小时，不明船只的航行速度是 14.6 海里/小时21 【解答】解：（1）根据题意得， y200+（60 x）2020 x+1400，所以销售量 y 件与销售单价 x 元之间的函数关系式为 y20 x+1400（40 x60） ；17（2） W（ x40） y（ x40） （20 x+1400）20 x2+2200x56000，所以销售
21、该品牌童装获得的利润 w 元与销售单价 x 元之间的函数关系式W20 x2+2200x56000；（3）根据题意得 56 x60，w20 x2+2200x5600020（ x55） 2+4500 a200，抛物线开口向下，当 56 x60 时， W 随 x 的增大而减小， x56 时， W 有最大值，最大值20（5655） 2+45004480（元） 所以商场销售该品牌童装获得的最大利润是 4480 元22 【解答】解：（1）如图 1 中， ABC BBA CAC， ， ， AB2 BB BC， AC2 CC BC， AB2+AC2 BC（ BB+ CC） BCBC BC2，故答案为 BC2（
22、2）不成立理由：如图 2 中当 BAC 为锐角时， BB+ CC B C BC，且 ABC BBA18CAC， ， ， AB2 BB BC， AC2 CC BC， AB2+AC2 BC（ BB+ CC） BC2+BCB C图 3 中 BAC 为钝角时， BB+ CC+ B C BCAB2+AC2 BC（ BB+ CC） BC2 BCB C（3）当 AB5， AC6， BC9 时，则 AB2+AC2 BC2，可知 ABC 为钝角三角形，由图 3 可知： AB2+AC2 BC2 BCB C，5 2+629 29 B C， B C 23 【解答】解：（1）把点 B（4，0） ， C（0，2）代入直线
23、 y kx+t，得：，19解得 ， y x+2；把点 A（1，0） 、 B（4，0） ， C（0，2）代入 y ax2+bx+c，得： ，解得 ， y x2 x+2；（2）设点 D 坐标为（ m， m2 m+2） ， E 点的坐标为（ m， m+2） ， DE（ m+2）（ m2 m+2） m2+2m （ m2） 2+2，当 m2 时， DE 的长最大，为 2，当 m2 时， m2 m+21， D（2，1） ；（3）当 D 在 E 下方时，如（2）中， DE m2+2m， OC2， OC DE，当 DE OC 时，四边形 OCED 为平行四边形，则 m2+2m2，20解得 m2，此时 D（2，1） ；当 D 在 E 上方时， DE（ m2 m+2）（ m+2） m22 m，令 m22 m2，解得 m2 ，此时 D（2+2 ，3 ）或（22 ，3+ ） ，综上所述，点 D 的坐标是（2，1）或（2+2 ，3 ）或（22 ，3+ ）时，都可以使 O、 C、 D、 E 为顶点的四边形为平行四边形
