1、1河南省许昌市许昌县 2019 年中考数学一模试题一选择题（共 10 小题，满分 30 分，每小题 3 分）1若一元二次方程 x28 x+a0 有一个根是 x3，则方程的另一个根是（ ）A x5 B x5 C x15 D x152如图是一个中心对称图形， A 为对称中心，若 C90， B60， BC1，则 BB的长为（ ）A4 B C D3已知 A 为锐角，且 sinA，那么 A 等于（ ）A15 B30 C45 D604如图，在 ABC 中，已知 ADE B，则下列等式成立的是（ ）A B C D5如图， AB 是 O 的直径，点 C、 D 在 O 上，且点 C、 D 在 AB 的异侧，连接
2、 AD、 BD、 OD、 OC，若 ABD15，且 AD OC，则 BOC 的度数为（ ）A120 B105 C100 D1106如图，直线 y1 kx+n（ k0）与抛物线 y2 ax2+bx+c（ a0）分别交于 A（1，0），B（2，3）两点，那么当 y1 y2时， x 的取值范围是（ ）A1 x2 B x2 C x1 或 x2 D x17小明、小颖和小凡都想去看山西第二届文博会，但现在只有一张门票，三人决定一起做游戏，谁获胜谁就去，游戏规则是：连续掷两枚质地均匀的硬币，若两枚正面朝上，则小明获胜，若两枚反面朝上，则小颖获胜；若一枚正面朝上，一枚反面朝上，则小凡获胜，关于这个游戏，下列判
3、断正确的是（ ）A三人获胜的概率相同 B小明获胜的概率大C小颖获胜的概率大 D小凡获胜的概率大8对于二次函数 y x2+x4，下列说法正确的是（ ）2A当 x0 时， y 随 x 的增大而增大B图象的顶点坐标为（2，7）C当 x2 时， y 有最大值3D图象与 x 轴有两个交点9如图，菱形 OABC 的一边 OA 在 x 轴的正半轴上， O 是坐标原点，tan AOC，反比例函数 y的图象经过点 C，与 AB 交于点 D，则 COD 的面积为（ ）A12 B20 C24 D4010如图，将 ABC 绕点 C 顺时针旋转，点 B 的对应点为点 E，点 A 的对应点为点 D，当点 E 恰好落在边
4、AC 上时，连接 AD， ACB36， AB BC， AC2，则 AB 的长度是（ ）A1 B1 C D二填空题（共 5 小题，满分 15 分，每小题 3 分）11方程 2x25 x10 的解是 12如图，在平面直角坐标系中，直线 y x 与双曲线 y（ k0）交于点 A，过点 C（0，2）作 AO的平行线交双曲线于点 B，连接 AB 并延长与 y 轴交于点 D（0，4），则 k 的值为 13如图，在 ABC 中， AD、 BE 分别是边 BC、 AC 上的中线， AB AC5，cos C，那么 GE 14如图，矩形 OABC 的边 OA、 OC 分别在 x 轴、 y 轴上，点 B 的坐标为（
5、7，3），点 E 在边 AB 上，且 AE1，已知点 P 为 y 轴上一动点，连接 EP，过点 O 作直线 EP 的垂线段，垂足为点 H，在点P 从点 F（0，）运动到原点 O 的过程中，点 H 的运动路径长为 15如图，点 E 是矩形 ABCD 中 CD 边上一点，将 BCE 沿 BE 折叠为 BFE，点 F 落在边 AD 上，若AB8， BC10，则 CE 三解答题（共 8 小题，满分 75 分）16已知等腰 ABC 的一边长为 5，另两边的长是关于 x 的一元二次方程 x26 x+m0 的两个根，求 m 的值317消费者在许昌市某火锅店饭后买单时可以参与一个抽奖游戏，规则如下：有 4 张
6、纸牌，它们的背面都是小猪佩奇头像，正面为 2 张笑脸、2 张哭脸现将 4 张纸牌洗匀后背面朝上摆放到桌上，然后让消费者去翻纸牌（1）现小杨有一次翻牌机会，若正面是笑脸的就获奖，正面是哭脸的不获奖她从中随机翻开一张纸牌，小芳获奖的概率（2）如果小杨、小月都有翻两张牌的机会小杨先翻一张，放回后再翻一张；小月同时翻开两张纸牌他们翻开的两张纸牌中只要出现一张笑脸就获奖他们谁获奖的机会更大些？通过树状图或列表法分析说明理由18如图，点 C 是 O 直径 AB 上一点，过 C 作 CD AB 交 O 于点 D，连接 DA，延长 BA 至点 P，连接 DP，使 PDA ADC（1）求证： PD 是 O 的切
7、线；（2）若 AC3，tan PDC，求 BC 的长19如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y kx+b（ k0）的图象与反比例函数y（ n0）的图象交于第二、四象限内的 A、 B 两点，与 x 轴交于点 C，点 B 坐标为（ m，1）， AD x 轴，且 AD3，tan AOD（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）求 AOB 的面积；（3）点 E 是 x 轴上一点，且 AOE 是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的 E 点的坐标20如图，一艘轮船在 A 处测得灯塔 P 在船的北偏东 30的方向，轮船沿着北偏东 60的方向航行 16km 后到达 B 处，这时灯塔 P 在船的北
8、偏西 75的方向求灯塔 P 与 B 之间的距离（结果保留根号）21某工厂大门是一抛物线型水泥建筑物，如图所示，大门地面宽 AB4 m，顶部 C 离地面高度为 4.8 m（1）在图所建立的平面直角坐标系 xOy 中，求这条抛物线对应的函数表达式；（2）现有一辆运货卡车高 2.6m，宽 2.4m，欲通过这个大门，请判断这辆卡车能否顺利通过22如图，正方形 ABCD 的边长为+1，对角线 AC、 BD 相交于点 O， AE 平分 BAC 分别交 BC、 BD 于4E、 F（1）求证： ABF ACE；（2）求 tan BAE 的值；（3）在线段 AC 上找一点 P，使得 PE+PF 最小，求出最小值
9、23在平面直角坐标系中，已知抛物线 y ax2+bx+c（ a0）经过点 A（1，0）、 B（4，0），C（0，2）三点，直线 y kx+t 经过 B、 C 两点，点 D 是抛物线上一个动点，过点 D 作 y 轴的平行线，与直线 BC 相交于点 E（1）求直线和抛物线的解析式；（2）当点 D 在直线 BC 下方的抛物线上运动，使线段 DE 的长度最大时，求点 D 的坐标；（3）点 D 在运动过程中，若使 O、 C、 D、 E 为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出满足条件的所有点 D 的坐标5参考答案与试题解析一选择题（共 10 小题，满分 30 分，每小题 3 分）1【分析】利用根与系数的
10、关系求得方程的另一根【解答】解：设方程的另一根为 x，则 x+38，解得 x5故选： B【点评】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的解的定义在利用根与系数的关系x1+x2时，一定要弄清楚公式中字母 a、 b 所表示的意义2【分析】在直角 ABC 中根据 30角所对的直角边等于斜边的一半求得 AB，而 BB2 AB，据此即可求解【解答】解： C90， B60， BAC30， BC1， AB2，根据中心对称的性质得到 BB2 AB4故选： A【点评】本题主要考查了直角三角形的性质：30的锐所对的直角边等于斜边的一半，以及旋转的性质3【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出答案【解答】解：sin
11、A， A60故选： D【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键4【分析】首先证明 AED ACB，再根据相似三角形的性质：对应边成比例可得答案【解答】解： A A， ADE B， AED ACB，故选： A6【点评】此题主要考查了相似三角形的性质与判定，关键是掌握判断三角形相似的方法和相似三角形的性质5【分析】根据直径所对的圆周角是 90和平行线的性质解答即可【解答】解： AB 是 O 的直径， ABD15， ADB90， A75， AD OC， AOC75， BOC18075105，故选： B【点评】此题考查圆周角定理，关键是根据直径所对的圆周角是 90和平行线的
12、性质解答6【分析】根据函数图象，分别讨论当 x1， x1，1 x2， x2， x2 时， y1和 y2的大小关系，即可得到答案【解答】解：根据图象可知：当 x1 时， y1 y2，当 x1 时， y1 y2，当1 x2 时， y1 y2，当 x2 时， y1 y2，当 x2 时， y1 y2，故选： A【点评】本题考查了二次函数与不等式（组），正确掌握观察函数图象是解题的关键7【分析】利用树状图法得出所有的可能，进而分别求出获胜的概率即可【解答】解：如图所示：，所有的可能为；（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），故小明获胜的概率为：，小颖获胜的概率为：，小凡获胜的概率为：，故此游戏小
13、凡获胜概率大，故选： D【点评】本题主要考查了游戏公平性，正确利用树状图法求概率是解题关键8【分析】先把函数的解析式化成顶点式，再逐个判断即可7【解答】解： A、 y x2+x4（ x2） 23，当 x2 时， y 随 x 的增大而增大，故本选项不符合题意；B、顶点坐标为（2，3），故本选项不符合题意；C、当 x2 时， y 有最大值是3，故本选项符合题意；D、顶点坐标为（2，3），函数图象开口向下，图象和 x 轴没有交点，故本选项不符合题意；故选： C【点评】本题考查了二次函数的图象、性质和最值，能熟记二次函数的图象和性质的内容是解此题的关键9【分析】易证 S 菱形 ABCO2 S CDO，
14、再根据 tan AOC 的值即可求得菱形的边长，即可求得点 C 的坐标，可得菱形的面积和结论【解答】解：作 DF AO， CE AO，tan AOC，设 CE4 x， OE3 x，3 x4x24， x， OE3， CE4，由勾股定理得： OC5， S 菱形 OABC OACE540，四边形 OABC 为菱形， AB CO， AO BC， DF AO， S ADO S DFO，同理 S BCD S CDF， S 菱形 ABCO S ADO+S DFO+S BCD+S CDF， S 菱形 ABCO2（ S DFO+S CDF）2 S CDO40， S CDO20；故选： B【点评】本题考查了菱形的
15、性质，反比例函数的性质，三角函数的定义，考查了菱形面积的计算，本题中求得 S 菱形 ABCO2 S CDO是解题的关键810【分析】首先证明 DA ED EC，设 AB x，则 AD DE EC x，由 DAE CAD，可得AD2 AEAC，由此构建方程即可解决问题【解答】解： AB BC， ACB36， BAC ACB36， B CED108， AED72， CA CD， ACD36， CAD CDA72， ADE ACD36， DA ED EC，设 AB x，则 AD DE EC x， DAE CAD， ADE ACD， DAE CAD， AD2 AEAC， x2（2 x）2， x1 或1
16、（舍弃）， AB1，故选： A【点评】本题考查相似三角形的应用，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型二填空题（共 5 小题，满分 15 分，每小题 3 分）11【分析】利用公式法求解可得【解答】解： a2， b5， c1，2542（1）330，则 x，即 x1， x2，故答案为： x1， x2【点评】此题考查了一元二次方程的解法此题难度不大，注意选择适宜的解题方法是解此题的关键12【分析】根据“直线 y x 与双曲线 y（ k0）交于点 A，过点 C（0，2）作 AO 的平行线交双曲线于点 B”，得到 BC 的解析式，根据“ OD4， OC2， BC
17、 AO”，得到 BCD AOD，结合点 A 和点 B 的坐标，根据点 A 和点 B 都在双曲线上，得到关于 m 的方程，解之，得到点 A 的9坐标，即可得到 k 的值【解答】解： OA 的解析式为： y，又 AO BC，点 C 的坐标为：（0，2）， BC 的解析式为： y，设点 B 的坐标为：（ m， m+2）， OD4， OC2， BC AO， BCD AOD，点 A 的坐标为：（2 m， m），点 A 和点 B 都在 y上， m（）2 mm，解得： m2，即点 A 的坐标为：（4，），k4，故答案为：【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，正确掌握代入法和三角形相似的判定定理是
18、解题的关键13【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据勾股定理、三角形相似可以求得 GE 的长，本题得以解决【解答】解：作 EF BC 于点 F， AD、 BE 分别是边 BC、 AC 上的中线， AB AC5，cos C， AD BC， AD3， CD4， AD EF， BC8， EF1.5， DF2， BDG BFE， BF6， DG1， BG，得 BE， GF BE BG，故答案为：10【点评】本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答14【分析】 H 经过的路径是以 OE 为直径的弧，连接 OE，首先求得 OPE 的面积，然后利用三角形面积公式求得 OH
19、 的长，然后在直角 OEH 中，利用三角函数求得 OEH 的度数，然后利用长公式即可求解【解答】解：连接 OES OPE7，在直角 OEA 中， OE5，PE， S OPE PEOH，即 OH， OH5，在直角 OEH 中，sin OEH， OEH45，点 H 的运动路径长是：故答案是：【点评】本题考查了点的运动轨迹以及弧长公式，理解 H 运动的路径，求得对应的圆心角是关键15【分析】由矩形的性质可得 AB CD8， AD BC10， A D90，由折叠的性质可求BF BC10， EF CE，由勾股定理可求 AF 的长， CE 的长【解答】解：四边形 ABCD 是矩形 AB CD8， AD B
20、C10， A D90，将 BCE 沿 BE 折叠为 BFE， BF BC10， EF CE，在 Rt ABF 中， AF6 DF AD AF4在 Rt DEF 中， DF2+DE2 EF2 CE2，16+（8 CE） 2 CE2， CE5故答案为：511【点评】本题考查了翻折变换，矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键三解答题（共 8 小题，满分 75 分）16【分析】分腰长为 5 和底边为 5 两种情况，根据三角形三边关系定理及等腰三角形的特点，确定另两边的长，从而确定 m 的值【解答】解：方程 x26 x+m0，得 x1+x26，当 5 为腰长时，则 x26
21、 x+m0 的一个根为 5，则另一根为 1，5，5，1 能组成等腰三角形，此时 m515；当 5 为底边时， x26 x+m0 有两个相等的实数根，故 b24 ac364 m0，解得： m9，方程为 x26 x+90，解得： x1 x23，3，3，5 能组成等腰三角形，此时 m9所以 m 的值为 5 或 9【点评】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c0（ a0）的根与系数的关系：若方程两个为x1， x2，则 x1+x2， x1x2也考查了一元二次方程的解的定义，三角形三边关系和等腰三角形的性质17【分析】（1）根据概率公式直接求解即可；（2）首先根据题意分别画出树状图，然后由树状图即可求得
22、所有等可能的结果与获奖的情况，再利用概率公式求解即可求得他们获奖的概率，比较即可求得答案【解答】解：（1）有 4 张纸牌，它们的背面都是小猪佩奇头像，正面为 2 张笑脸、2 张哭脸，翻一次牌正面是笑脸的就获奖，正面是哭脸的不获奖，则小芳获奖的概率；（2）设两张笑脸牌分别为笑 1，笑 2，两张哭脸牌分别为哭 1，哭 2，画树状图如下：小杨：12共有 12 种等可能的结果，翻开的两张纸牌中出现笑脸的有 10 种情况，小杨获奖的概率是：；小月：共有 16 种等可能的结果，翻开的两张纸牌中出现笑脸的有 12 种情况，小月获奖的概率是：；， P（小杨获奖） P（小月获奖） ，小杨获奖的机会更大些【点评】
23、此题考查了列表法或树状图法求概率注意小杨属于不放回实验，小月属于放回实验用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比18【分析】（1）求出 ODA+ PDA ADC+ DAO90，根据切线的判定得出即可；（2）求出 PDC DOC，解直角三角形求出，设 DC4 x， OC3 x，求出 3x+35 x，求出 x，即可得出答案【解答】（1）证明：连接 OD， OD OA， ODA OAD， CD AB 于点 C， OAD+ ADC90， ODA+ ADC90， PDA ADC， PDA+ ODA90，即 PDO90， PD OD， D 在 O 上， PD 是 O 的切线；（2）解： PDO90，
24、PDC+ CDO90，13 CD AB 于点 C， DOC+ CDO90， PDC DOC，设 DC4 x， CO3 x，则 OD5 x， AC3， OA3 x+3，3 x+35 x， x， OC3 x， OD OB5 x， BC12【点评】本题考查了勾股定理、与圆有关的计算、切线的性质和判定等知识点，能综合运用定理进行推理和计算是解此题的关键19【分析】（1）利用待定系数法，即可得到反比例函数和一次函数的解析式；（2）利用一次函数解析式求得 C（4，0），即 OC4，即可得出 AOB 的面积436；（3）分类讨论：当 AO 为等腰三角形腰与底时，求出点 E 坐标即可【解答】解：（1）如图，在
25、 Rt OAD 中， ADO90，tan AOD， AD3， OD2， A（2，3），把 A（2，3）代入 y，考点： n3（2）6，所以反比例函数解析式为： y，把 B（ m，1）代入 y，得： m6，把 A（2，3）， B（6，1）分别代入 y kx+b，得：，解得：，所以一次函数解析式为： y x+2；（2）当 y0 时， x+20，解得： x4，则 C（4，0），14所以；（3）当 OE3 OE2 AO，即 E2（，0）， E3（，0）；当 OA AE1时，得到 OE12 OD4，即 E1（4，0）；当 AE4 OE4时，由 A（2，3）， O（0，0），得到直线 AO 解析式为 y
26、x，中点坐标为（1，1.5），令 y0，得到 y，即 E4（，0），综上，当点 E（4，0）或（，0）或（，0）或（，0）时， AOE 是等腰三角形【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握各自的性质是解本题的关键20【分析】作 PH AB，由题意得 PAB30， PBA45，设 PH x，则AH x， BH x， PB x，由 AB16 可得关于 x 的方程，解之可得【解答】解：过点 P 作 PH AB 于点 H，由题意得 PAB30， PBA45，设 PH x，则 AH x， BH x， PB x， AB16， x+x16，解得： x88， PB x88，答：灯塔 P 与
27、B 之间的距离为（88） km【点评】本题考查的是解直角三角形的应用方向角问题，注意在解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线21【分析】（1）由图象可知： B（2，4.8），将点 B 坐标代入函数 y ax2即可求解；（2）设货车从中间通过，设点 D 在抛物线上，则 D 横坐标为 1.2，求得 BD 即可求解【解答】解：（1）由图象可知： B（2，4.8），将点 B 坐标代入函数 y ax2，解得： a1.2，则函数的表达式为： y1.2 x2，（2）设货车从中间通过，如下图 BD 为车辆通过的最大高度，设点 D 在抛物线上，则 D 横坐标为
28、 1.2，代入二次函数表达式，15解得 BD1.21.2 21.728 米，即最大通过高度为 1.728 米，而 2.61.728，故不能通过【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用要弄清楚题意，考虑到最大允许的高度即可22【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似判断即可；（2）如图 1 中，作 EH AC 于 H首先证明 BE EH HC，设 BE EH HC x，构建方程求出 x 即可解决问题；（3）如图 2 中，作点 F 关于直线 AC 的对称点 H，连接 EH 交 AC 于点 P，连接 PF，此时 PF+PE 的值最小，最小值为线段 EH 的长；【解答】（1）证明：四边
29、形 ABCD 是正方形， ACE ABF CAB45， AE 平分 CAB， EAC BAF22.5， ABF ACE（2）解：如图 1 中，作 EH AC 于 H EA 平分 CAB， EH AC， EB AB， BE EH， HCE45， CHE90， HCE HEC45， HC EH， BE EH HC，设 BE HE HC x，则 EC x， BC+1， x+x+1， x1，在 Rt ABE 中， ABE90，tan EAB116（3）如图 2 中，作点 F 关于直线 AC 的对称点 H，连接 EH 交 AC 于点 P，连接 PF，此时 PF+PE 的值最小作 EM BD 于 M易知
30、BM EM， AC2+， OA OC OB AC， OH OF OAtan OAF OAtan EAB（1）， HM OH+OM，在 Rt EHM 中， EH PE+PF 的最小值为【点评】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定，勾股定理，最短问题等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型23【分析】（1）利用待定系数法求解可得；（2）设点 D 坐标为（ m， m2 m+2），则 E 点的坐标为（ m， m+2），由 DE（ m+2）（ m2 m+2） m2+2m（ m2） 2+2 可得答案；（3）分点 D 在 DE 上方和下方两种情况，用 m 的代数
31、式表示出 DE 的长度，依据 DE2 得出关于m 的方程，解之可得【解答】解：（1）把点 B（4，0）， C（0，2）代入直线 y kx+t，得：，解得， y x+2；把点 A（1，0）、 B（4，0）， C（0，2）代入 y ax2+bx+c，得：，解得， y x2 x+2；（2）设点 D 坐标为（ m， m2 m+2）， E 点的坐标为（ m， m+2）， DE（ m+2）（ m2 m+2） m2+2m（ m2） 2+2，当 m2 时， DE 的长最大，为 2，当 m2 时， m2 m+21，17 D（2，1）；（3）当 D 在 E 下方时，如（2）中， DE m2+2m， OC2， OC DE，当 DE OC 时，四边形 OCED 为平行四边形，则 m2+2m2，解得 m2，此时 D（2，1）；当 D 在 E 上方时， DE（ m2 m+2）（ m+2） m22 m，令 m22 m2，解得 m2，此时 D（2+2，3）或（22，3+），综上所述，点 D 的坐标是（2，1）或（2+2，3）或（22，3+）时，都可以使 O、 C、 D、 E为顶点的四边形为平行四边形【点评】本题是二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，二次函数的性质及平行四边形的判定与性质等知识点
