1、- 1 -湖北省黄梅国际育才高级中学 2018-2019 学年高二数学周测试题 理一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1. 哈尔滨 2018 年将实行新课程改革，即除语、数、外三科为必考科目外，还要在理、化、生、史、地、政六科中选择三科作为选考科目 已知某生的高考志愿为北京大学环境科学专业，按照 17 年北大高考招生选考科目要求物、化必选，为该生安排课表 上午四节、下午四节，上午第四节和下午第一节不算相邻 ，现该生某天最后两节为自习课，且数学不排下午第一节，语外不相邻，则该生该天课表有 种A. 444 B. 1776 C. 547 D. 21882. 学校计划在全国中学生田径比
2、赛期间，安排 6 位志愿者到 4 个比赛场地提供服务，要求甲、乙两个比赛场地各安排一个人，剩下两个比赛场地各安排两个人，其中的小李和小王不在一起，不同的安排方案共有 A. 168 种 B. 156 种 C. 172 种 D. 180 种3. 从数字 1，2，3，4，5，6，7 中任取 3 个奇数，2 个偶数，组成一个无重复数字且两个偶数数字不相邻的五位数，则满足条件的数共有( )A. 864 个 B. 432 个 C. 288 个 D. 144 个4. 若二项式 展开式中含有常数项，则 n 的最小值是 A. 4 B. 5 C. 6 D. 75. 二项式 展开式中，有理项的项数共有 A. 3 项
3、 B. 4 项 C. 5 项 D. 7 项6. 在高二某班的元旦文艺晚会中，有这么一个游戏；一盒子内装有 6 张大小完全相同的卡片，每张卡片上写有一个成语，它们分别为意气风发、风平浪静、心猿意马、信马由缰、气壮山河、信口开河，从盒内随机抽取 2 张卡片，若这 2 张卡片上的 2 个成语有相同的字，就中奖，则该游戏的中奖率为A. B. C. D. 7. 设集合 ，那么集合 A 中满足条件“”的元素个数为( )A. 60 B. 90 C. 120 D. 130- 2 -8. 3 名学生报名参加篮球、足球、排球、计算机课外兴趣小组，每人任意选报一门，则不同的报名方案有( )种A. B. C. D.
4、9. 将 4 个不同的五角星放入 3 个盒子中，则不同放法种数有( )A. 81 B. 64 C. 12 D. 1410. 某个班级组织元旦晚会，一共准备了 A、 B、 C、 D、 E、 F 六个节目，节目演出顺序第一个节目只能排 A 或 B，最后一个节目不能排 A，且 C、 D 要求相邻出场，则不同的节目顺序共有 种A. 72 B. 84 C. 96 D. 12011. 将“丹、东、市”填入如图所示的 小方格内，每格内只填入一个汉字，且任意两个汉字既不同行也不同列，则不同的填写方法有 A. 288B. 144C. 576D. 9612. 2018 年平昌冬奥会期间，5 名运动员从左到右排成一
5、排合影留念，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法种数为 A. 21 B. 36 C. 42 D. 84二、填空题（本大题共 5 小题，共 25.0 分）13. 有 3 名男演员和 2 名女演员，演出的出场顺序要求 2 名女演员之间恰有 1 名男演员，则不同的出场顺序共_种14. 二项式 的展开式中， x 的系数为_15. 3 名医生和 9 名护士被分配到 3 所学校为学生体检，每所学校分配 1 名医生和 3 名护士，不同的分配方法共有_种16. 某城市街区如右图所示，其中实线表示马路，如果只能在马路上行走，则从 A 点到 B 点的最短路径的走法有_种- 3 -17. 由 1，2，3
6、，4，5，6 组成没有重复数字的六位数，要求奇数不相邻，且 2 不在第二位，则这样的六位数共有_个三、解答题（本大题共 5 小题，共 60.0 分）18. 已知 求 的值；求 的值；求 的值19. 7 名同学排队照相若排成一排照，甲、乙、丙三人必须相邻，有多少种不同的排法？ 用数字作答若排成一排照，7 人中有 4 名男生，3 名女生，女生不能相邻，有多少种不面的排法？用数字作答20. 已知数列 是等差数列，且 是 展开式的前三项的系数 求 展开式的中间项； 当 时，试比较 与 的大小- 4 -21. 某次文艺晚会上共演出 7 个节目，其中 2 个歌曲，3 个舞蹈，2 个曲艺节目，求分别满足下列
7、条件的节自编排方法有多少种？ 用数字作答一个歌曲节目开头，另个歌曲节目放在最后压台；个歌曲节目相邻且 2 个曲艺节目不相邻22. 有编号分别为 1、2、3、4 的四个盒子和四个小球，把小球全部放入盒子 问：共有多少种放法？恰有一个空盒，有多少种放法？恰有 2 个盒子内不放球，有多少种放法？- 5 - 6 -高二数学第一次周考试题（理）2019.3.6题号 一 二 三 总分得分一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1.哈尔滨 2018 年将实行新课程改革，即除语、数、外三科为必考科目外，还要在理、化、生、史、地、政六科中选择三科作为选考科目 已知某生的高考志愿为北京大学环境科学专业
8、，按照 17 年北大高考招生选考科目要求物、化必选，为该生安排课表 上午四节、下午四节，上午第四节和下午第一节不算相邻 ，现该生某天最后两节为自习课，且数学不排下午第一节，语外不相邻，则该生该天课表有 种A. 444 B. 1776 C. 547 D. 2188【答案】 B【解析】解：从生、史、地、政中任选 1 科，有 4 种选法，分两类：语文、外语排上午：从 ， ， 中任选一个排语文、外语有 ；语文、外语，一门排上午，一门拍下午： 故该生该天课表有 故选： B选修有 4 种，排课按照语文、外语排上午和下午分两类： 两门都排在上午； 一门排上午，一门排下午 用 两类和乘以 4 得结果本题考查了
9、排列，组合及简单计数问题 属中档题2.学校计划在全国中学生田径比赛期间，安排 6 位志愿者到 4 个比赛场地提供服务，要求甲、乙两个比赛场地各安排一个人，剩下两个比赛场地各安排两个人，其中的小李和小王不在一起，不同的安排方案共有 A. 168 种 B. 156 种 C. 172 种 D. 180 种【答案】 B- 7 -【解析】解：根据题意，设剩下的 2 个比赛场地为丙比赛场地和丁比赛场地，用间接法分析：先计算小李和小王不受限制的排法数目：先在 6 位志愿者中任选 1 个，安排到甲比赛场地，有 种情况，再在剩下的 5 个志愿者中任选 1 个，安排到乙比赛场地，有 种情况，最后将剩下的 4 个志
10、愿者平均分成 2 组，全排列后安排到剩下的 2 个比赛场地，有种情况，则小李和小王不受限制的排法有 种，若小李和小王在一起，则两人去丙比赛场地或丁比赛场地，有 2 种情况，在剩下的 4 位志愿者中任选 1 个，安排到甲比赛场地，有 种情况，再在剩下的 3 个志愿者中任选 1 个，安排到乙比赛场地，有 种情况，最后 2 个安排到剩下的比赛场地，有 1 种情况，则小李和小王在一起的排法有 种，则小李和小王不在一起排法有 种；故选： B根据题意，用间接法分析，先分 4 步进行分析不受限制的排法数目，再排除计算其中小李和小王在一起的排法数目，计算即可得答案本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应
11、用，注意用间接法分析，避免分类讨论3.从数字 1，2，3，4，5，6，7 中任取 3 个奇数，2 个偶数，组成一个无重复数字且两个偶数数字不相邻的五位数，则满足条件的数共有( )A. 864 个 B. 432 个 C. 288 个 D. 144 个【答案】 A【解析】【分析】本题考查了考查了乘法计数原理与排列、组合的综合应用，从数字 1，2，3，4，5，6，7 中任取 3 个奇数，2 个偶数，共有 种方法，组成一个无重复数字且两个偶数数字不相邻的- 8 -5 位数，有 种方法，利用乘法原理可得结论 【解答】解：从数字 1，2，3，4，5，6，7 中任取 3 个奇数，2 个偶数，共有 种方法，
12、组成一个无重复数字且两个偶数数字不相邻的 5 位数，有 种方法，利用乘法原理可得 种方法， 故选：4.若二项式 展开式中含有常数项，则 n 的最小值是 A. 4 B. 5 C. 6 D. 7【答案】 D【解析】【分析】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令 x 的指数为 0 方程有解，由于 n， r 都是整数求出最小的正整数 n 【解答】解： 二项式 展开式的通项公式为：，因为展开式中含有常数项，所以 有解，即 ，所以当 时， n 最小为 7故选 D- 9 -5.二项式 展开式中，有理项的项数共有 A. 3 项 B. 4 项 C.
13、 5 项 D. 7 项【答案】 D【解析】【分析】本题考查二项展开式的特定项与特定项的系数，属基础题，写出二项展开式的通项，化简整理后，令 x 的指数为整数，可得有理项的项数【解答】解：二项式 的展开式的通项为： ，且 ，当 、4、8、12、16、20、24 时， ，二项式 展开式中，有理项的项数共有 7 项故选 D6.在高二某班的元旦文艺晚会中，有这么一个游戏；一盒子内装有 6 张大小完全相同的卡片，每张卡片上写有一个成语，它们分别为意气风发、风平浪静、心猿意马、信马由缰、气壮山河、信口开河，从盒内随机抽取 2 张卡片，若这 2 张卡片上的 2 个成语有相同的字，就中奖，则该游戏的中奖率为A
14、. B. C. D. 【答案】 C【解析】【分析】此题考查利用古典概型求概率，关键是求出从盒内随机抽取 2 张卡片的个数，及这 2 张卡片上的 2 个成语有相同的字的个数【解答】解：从盒内随机抽取 2 张卡片共有 种抽法，- 10 -2 张卡片上的 2 个成语有相同的字的有 种抽法，所以该游戏的中奖率为 故选 C7.设集合 ，那么集合 A 中满足条件“”的元素个数为( )A. 60 B. 90 C. 120 D. 130【答案】 D【解析】【分析】本题考查集合中元素的个数问题，根据条件直接求出结果即可，注意分类讨论思想的应用，属基础题【解答】解：由题意 中至多有 4 个 0，至少有 2 个 0
15、：中有 2 个是 0 时，集合个数为 ；中有 3 个是 0 时，集合个数为 C5 ；中有 4 个是 0 时，集合个数为 ；因此元素的个数为 故选 D- 11 -8. 3 名学生报名参加篮球、足球、排球、计算机课外兴趣小组，每人任意选报一门，则不同的报名方案有( )种A. B. C. D. 【答案】 A【解析】【分析】根据题意，易得 3 名同学中每人有 4 种报名方法，由分步计数原理计算可得答案 本题考查分步计数原理的运用，解题时注意题干条件中“每人限报一项”的限制【解答】解：根据题意，每个学生可以在篮球、足球、排球、计算机课外兴趣小组中任选 1 个，有 4种选法，则 3 名学生一共有 种不同的
16、报名情况；故选： A9.将 4 个不同的五角星放入 3 个盒子中，则不同放法种数有( )A. 81 B. 64 C. 12 D. 14【答案】 A【解析】【分析】本题考查分步计数原理，是一个典型的分步计数问题，本题对于盒子和五角星没有任何限制条件，可以把五角星随便放置，注意与有限制条件的元素的问题的解法第一个五角星有 3 种不同的方法，第二个五角星也有 3 种不同的方法，第三个五角星也有 3种不同的放法，即每个五角星都有 4 种可能的放法，第四个五角星也有 3 种不同的放法，根据分步乘法原理得到结果【解答】解：解：本题是一个分步计数问题 对于第一个五角星有 3 种不同的方法，第二个五角星也有
17、3 种不同的方法，第三个五角星也有 3 种不同的放法， 第四个五角星也有 3 种不同的放法，即每个五角星都有 3 种可能的放法， 根据分步计数原理知共有即 - 12 -故选 A10.某个班级组织元旦晚会，一共准备了 A、 B、 C、 D、 E、 F 六个节目，节目演出顺序第一个节目只能排 A 或 B，最后一个节目不能排 A，且 C、 D 要求相邻出场，则不同的节目顺序共有 种A. 72 B. 84 C. 96 D. 120【答案】 B【解析】解： 按照第一个节目分两类：排 A，将 C， D 捆绑在一起当一个元素，共 4 个元素作全排列，有 种；排 B，将 C， D 捆绑在一起当一个元素，共 4
18、 个元素作全排列，有 48 种，其中 A 排最后一个节目的有 ，故共有 种，根据分类加法计数原理得不同的节目顺序共有 种故选： B按照第一个节目分两类： 排 A， 排 在每类中再用捆绑法将 C， D 捆在一起当一个元素与其它元素一起作全排列，再减去最后一个节目排 A 的 最后两类相加本题考查了排列及简单计数原理，分类法，属中档题11.将“丹、东、市”填入如图所示的 小方格内，每格内只填入一个汉字，且任意两个汉字既不同行也不同列，则不同的填写方法有 A. 288B. 144C. 576D. 96【答案】 C【解析】解：由题意知本题用分步计数原理，第一步先从 16 个格子中任选一格放一个汉字有 1
19、6 中方法，第二步 3 个棋子既不同行也不同列，剩下的只有 9 个格子可以放有 9 种方法，第三步只有 4 个格子可以放，有 4 种方法，- 13 -由分步计数原理知共有 ，故选： C由题意知本题用分步计数原理，先从 16 个格子中任选一格放一个汉字，3 个汉字既不同行也不同列，剩下的只有 9 个格子可以放，只有 4 个格子可以放，根据分步计数原理得到结果本题应用计数原理解决，必须且只需连续完成这 3 个步骤，这件事才算完成 用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前要进行仔细分析要完成的“一件事”是什么，可以“分类”还是需要“分步”12. 2018 年平昌冬奥会期间，5 名运动员
20、从左到右排成一排合影留念，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法种数为 A. 21 B. 36 C. 42 D. 84【答案】 C【解析】解：根据题意，最左端只能排甲或乙，则分两种情况讨论：最左边排甲，则剩下 4 人进行全排列，有 种安排方法；最左边排乙，则先在剩下的除最右边的 3 个位置选一个安排甲，有 3 种情况，再将剩下的 3 人全排列，有 种情况，此时有 种安排方法，则不同的排法种数为 种故选： C根据题意，分两种情况讨论： 最左边排甲； 最左边排乙，分别求出每一种情况的安排方法数目，由分类计数原理计算即可得到答案解决排列类应用题的策略特殊元素 或位置 优先安排的方法，即先排
21、特殊元素或特殊位置分排问题直排法处理“小集团”排列问题中先集中后局部的处理方法二、填空题（本大题共 5 小题，共 25.0 分）13. 有 3 名男演员和 2 名女演员，演出的出场顺序要求 2 名女演员之间恰有 1 名男演员，则不同的出场顺序共_种【答案】36- 14 -【解析】解：有 3 名男演员和 2 名女演员，演出的出场顺序要求 2 名女演员之间恰有 1 名男演员，则先拍 2 名女演员，方法有 种；然后插入 1 名男演员，方法有 种；把这 3 个人当做一个整体，和其他 2 名男演员进行排列，方法有 种，再根据分布计数原理，不同的出场顺序有 种，故答案为：36根据排列、组合、分布计数原理，
22、求出答案本题主要考查排列、组合、计数原理的应用，属于中档题14.二项式 的展开式中， x 的系数为_【答案】112【解析】解：二项式 的展开式的通项公式为 ，令 ，求得 ，故 x 的系数为 ，故答案为：112在二项展开式的通项公式中，令 x 的幂指数等于 1，求出 r 的值，即可求得 x 的系数本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题15. 3 名医生和 9 名护士被分配到 3 所学校为学生体检，每所学校分配 1 名医生和 3 名护士，不同的分配方法共有_种【答案】10080【解析】解：根据题意，分 3 步进行分析：，第一所学校选择 1 名医生和 3 名
23、护士，有 种选法，第二所学校选择 1 名医生和 3 名护士，有 种选法，剩下的 1 名医生和 3 名护士分配给第三所学校，有 1 种情况，则有 种分派方法；故答案为：10080- 15 -根据题意，三所学校依次选 1 名医生、2 名护士，同一个学校没有顺序，由分步计数原理计算可得答案本题考查分步计数原理的应用，注意排列数、组合数公式的应用，属于基础题16. 某城市街区如右图所示，其中实线表示马路，如果只能在马路上行走，则从 A 点到 B 点的最短路径的走法有_种【答案】7【解析】解：要从 A 点到 B 点，至少需要走 2 条向下的路和 3 条向右的路，若下图，我们只需要从这 5 步路中选出其中
24、 2 步走向下的路即可走到 B 点，故有 条最短路径，要从 A 点到 C 点，至少需要走 1 条向下的路和 2 条向右的路，只需要从这 3 步路中选出其中 1 步走向下的路即可走到 C 点，故有 条最短路径故从 A 点到 B 点的最短路径的走法有 种，故答案为：7利用间接法，假设网格如图所示，先求出 A 到 B 的路线，再排除 A 到 C 的路线，即可得到答案本题考查排列组合的简单应用，得出组成矩形的条件和最短走法是解决问题的关键，属基础题17. 由 1，2，3，4，5，6 组成没有重复数字的六位数，要求奇数不相邻，且 2 不在第二位，则这样的六位数共有_个【答案】108【解析】解：1，2，3
25、，4，5，6 组成没有重复数字的六位数，奇数不相邻，排偶数形成 4 个空，- 16 -将 3 个奇数插入即可有 个，2 在第二位，则前 1 位是奇数，还剩 2 个偶数和 2 个计数，再排偶数形成 3 个空，将 2 个奇数插入即可，共有 个，所求六位数共有 个故答案为：108间接法，1，2，3，4，5，6 组成没有重复数字的六位数，奇数不相邻，有 144 种，再排除 2在第二位的情况，问题得以解决本题考查排列组合知识，考查间接法的运用，属于中档题三、解答题（本大题共 5 小题，共 60.0 分）18.已知 求 的值；求 的值；求 的值【答案】解： 令 得 即 展开式的各项系数和，令 ，可得令 ，
26、则 ，128【解析】 在所给的等式中，令 ，可得 的值；即 展开式的各项系数和，令 ，可得结论令 ，再求出 和 ，可得 的值本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的- 17 -x 赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于中档题19.7 名同学排队照相若排成一排照，甲、乙、丙三人必须相邻，有多少种不同的排法？ 用数字作答若排成一排照，7 人中有 4 名男生，3 名女生，女生不能相邻，有多少种不面的排法？ 用数字作答【答案】解： 第一步，将甲、乙、丙视为一个元素，有其余 4 个元素排成一排，即看成 5个元素的全排列问题，有 种排法；第二步，甲、乙、丙
27、三人内部全排列，有 种排法 由分步计数原理得，共有 种排法第一步，4 名男生全排列，有 种排法；第二步，女生插空，即将 3 名女生插入 4 名男生之间的 5 个空位，这样可保证女生不相邻，易知有 种插入方法 由分步计数原理得，符合条件的排法共有： 种【解析】 将甲、乙、丙视为一个元素，有其余 4 个元素排成一排，即看成 5 个元素的全排列问题，可得结论；人中有 4 名男生，3 名女生，女生不能相邻，用插空法，可得结论本题主要考查排列、组合以及简单计数原理的应用，注意把特殊元素与位置综合分析 相邻问题用“捆绑法”，不相邻问题用“插空法”20.已知数列 是等差数列，且 是 展开式的前三项的系数 求
28、 展开式的中间项； 当 时，试比较 与 的大小【答案】解： 依题意 ， ， ，由 可得 舍去 或 展开式的中间项是第五项，为 由 知， ，- 18 -当 时，；当 时，猜测：当 时， 以下用数学归纳法加以证明：时，结论成立，设当 时， ，则 时，由 可知 ，即 综合 可得，当 时， 【解析】本题主要考查二项式定理的应用，用数学归纳法证明不等式，注意利用假设，证明时，不等式成立，是解题的关键和难点，属于中档题 根据题意求得 ， ， ，再由数列 是等差数列，求得得 再根据二项式定理求得 展开式的中间项 由 可得， 求得当 或 3 时， ，猜测：当 时，并用数学归纳法进行证明21.某次文艺晚会上共演
29、出 7 个节目，其中 2 个歌曲，3 个舞蹈，2 个曲艺节目，求分别满足下列条件的节自编排方法有多少种？ 用数字作答- 19 -一个歌曲节目开头，另个歌曲节目放在最后压台；个歌曲节目相邻且 2 个曲艺节目不相邻【答案】解： 根据题意，分 2 步进行分析：，要求 2 个歌曲节目 1 个在开头，另一个在最后，有 种安排方法，将剩下的 5 个节目全排列，安排在中间，有 种安排方法，则一共有 种安排方法；根据题意，分 3 步进行分析：，2 个歌曲节目相邻，将其看成一个整体，有 种情况，将这个整体与 3 个舞蹈节目全排列，有 种情况，排好后有 5 个空位，在 5 个空位中任选 2 个，安排 2 个曲艺节
30、目，有 种情况，则一共有 种安排方法【解析】 根据题意，分 2 步进行分析： ，要求 2 个歌曲节目 1 个在开头，另一个在最后，将剩下的 5 个节目全排列，安排在中间，由分步计数原理计算可得答案；根据题意，分 3 步进行分析： ，2 个歌曲节目相邻，将其看成一个整体， ，将这个整体与 3 个舞蹈节目全排列，排好后有 5 个空位， ，在 5 个空位中任选 2 个，安排 2 个曲艺节目，由分步计数原理计算可得答案本题考查排列、组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题22.有编号分别为 1、2、3、4 的四个盒子和四个小球，把小球全部放入盒子 问：共有多少种放法？恰有一个空盒，有多少种
31、放法？恰有 2 个盒子内不放球，有多少种放法？【答案】解： 本题要求把小球全部放入盒子，号小球可放入任意一个盒子内，有 4 种放法同理，2、3、4 号小球也各有 4 种放法，共有 种放法恰有一个空盒，则这 4 个盒子中只有 3 个盒子内有小球，且小球数只能是 1、1、2- 20 -先从 4 个小球中任选 2 个放在一起，有 种方法，然后与其余 2 个小球看成三组，分别放入 4 个盒子中的 3 个盒子中，有 种放法由分步计数原理知共有 种不同的放法恰有 2 个盒子内不放球，也就是把 4 个小球只放入 2 个盒子内，有两类放法：一个盒子内放 1 个球，另一个盒子内放 3 个球先把小球分为两组，一组
32、 1 个，另一组 3 个，有 种分法，再放到 2 个盒子内，有 种放法，共有 种方法；个盒子内各放 2 个小球 先从 4 个盒子中选出 2 个盒子，有 种选法，然后把 4 个小球平均分成 2 组，每组 2 个，放入 2 个盒子内，有 种选法，共有 种方法由分类计数原理知共有 种不同的放法【解析】 本题要求把小球全部放入盒子，1 号小球可放入任意一个盒子内，有 4 种放法 余下的 2、3、4 号小球也各有 4 种放法，根据分步计数原理得到结果恰有一个空盒，则这 4 个盒子中只有 3 个盒子内有小球，且小球数只能是 1、1、 先从 4个小球中任选 2 个放在一起，与其他两个球看成三个元素，在三个位置排列恰有 2 个盒子内不放球，也就是把 4 个小球只放入 2 个盒子内，有两类放法：一个盒子内放 1 个球，另一个盒子内放 3 个球；2 个盒子内各放 2 个小球 写出组合数，根据分类加法得到结果本题考查计数问题，考查排列组合的实际应用，排列问题要做到不重不漏，有些题目带有一定的约束条件，解题时要先考虑有限制条件的元素
