1、1“212”压轴满分练(一)1过抛物线 y x2的焦点 F 的直线交抛物线于 A， B 两点，点 C 在直线 y1 上，14若 ABC 为正三角形，则其边长为( )A11 B12C13 D14解析：选 B 由题意可知，焦点 F(0,1)，易知过焦点 F 的直线的斜率存在且不为零，设为 k(k0)，则该直线方程为 y kx1( k0)，联立方程得Error! x24( kx1)，即x24 kx40，设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， x1 x24 k， x1x24，设线段 AB 的中点为M，则 M(2k，2 k21)，| AB| 1 k2 x1 x2 2 4x1x24(1 k2)，设
2、 C(m，1)，连接 MC， ABC 为等边三角形， 1 k2 16k2 16 kMC ， m2 k34 k，点 C(m，1)到直线 y kx1 的距离| MC| 2k2 22k m 1k |km 2|1 k2|AB|， 4(1 k2)， 2 (1 k2)，32 |km 2|1 k2 32 2k4 4k2 21 k2 3 ， k ， | AB|4(1 k2)12.1 k2 3 22已知函数 f(x)2sin( x )( 0,00， g(x)单调递增；当 xe 时， g( x)1e 1e 1e0，得 1 a4.当 0b0)的左、右焦点分别为 F1， F2，且离心率为 ， M 为x2a2 y2b2
3、 22椭圆上任意一点，当 F1MF290时， F1MF2的面积为 1.(1)求椭圆 C 的方程；(2)已知 A 是椭圆 C 上异于椭圆顶点的一点，连接并延长 AF1， AF2，分别与椭圆交于点B， D，设直线 BD 的斜率为 k1，直线 OA 的斜率为 k2(O 为坐标原点)，求证： k1k2为定值解：(1)设| MF1| r1，| MF2| r2，由题意，得Error! a ， c1，则 b2 a2 c21，2椭圆 C 的方程为 y21.x22(2)证明：易知直线 AF1， AF2的斜率均不为 0.设 B(x1， y1)， D(x2， y2)，当直线 AF1的斜率不存在时，不妨令 A ，则
4、B ，又 F1(1,0)，( 1，22) ( 1， 22)F2(1,0)，直线 AF2的方程为 y (x1)，将其代入 y21，整理可得 5x22 x70，24 x22 x2 ， y2 ，则 D ，75 210 (75， 210)直线 BD 的斜率 k1 ， 210 ( 22)75 1 26直线 OA 的斜率 k2 ，22 k1k2 .26 ( 22) 16当直线 AF2的斜率不存在时，同理可得 k1k2 .16当直线 AF1， AF2的斜率都存在且不为 0 时，设 A(x0， y0)，则 x0y00，则直线 AF1的方程为 y (x1)，y0x0 1联立，得Error!消去 y 可得，(x0
5、1) 22 y x24 y x2 y 2( x01) 20，20 20 20又 y 1，2 y 2 x ，x202 20 20 20(32 x0)x22(2 x )x3 x 4 x00，20 204 x1x0 ， 3x20 4x03 2x0 x1 ， 3x0 43 2x0则 y1 ，y0x0 1( 3x0 43 2x0 1) y03 2x0 B .(3x0 42x0 3， y02x0 3)直线 AF2的方程为 y (x1)，y0x0 1同理可得 D ， ，3x0 42x0 3 y02x0 3直线 BD 的斜率k1 ，y02x0 3 y02x0 33x0 42x0 3 3x0 42x0 3 4x
6、0y012x20 24 x0y03x20 6直线 OA 的斜率 k2 ，y0x0 k1k2 .x0y03x20 6 y0x0 y203x20 6 1 x2023x20 6 16综上， k1k2为定值，且定值为 .165.已知函数 f(x)( x b)(ex a)(b0)的图象在点(1， f(1)处的切线方程为(e1) xe ye10.(1)求 a， b；(2)若方程 f(x) m 有两个实数根 x1， x2，且 x10 矛盾，故 a1， b1.1e(2)证明：由(1)可知 f(x)( x1)(e x1)， f(0)0， f(1)0，设曲线 y f(x)在点(1,0)处的切线方程为 y h(x)
7、，则 h(x) (x1)，(1e 1)5令 F(x) f(x) h(x)，则 F(x)( x1)(e x1) (x1)，(1e 1)F( x)( x2)e x ，1e当 x2 时， F( x)( x2)e x 2 时，设 G(x) F( x)( x2)e x ，则 G( x)( x3)e x0，1e故函数 F( x)在(2，)上单调递增，又 F(1)0，所以当 x(，1)时， F( x)0，所以函数 F(x)在区间(，1)上单调递减，在区间(1，)上单调递增，故 F(x) F(1)0，所以 f(x) h(x)，所以 f(x1) h(x1)设 h(x) m 的根为 x1，则 x11 ，me1 e
8、又函数 h(x)单调递减，且 h(x1) f(x1) h(x1)，所以 x1 x1，设曲线 y f(x)在点(0,0)处的切线方程为 y t(x)，易得 t(x) x，令 T(x) f(x) t(x)( x1)(e x1) x， T( x)( x2)e x2，当 x2 时， T( x)( x2)e x222 时，设 H(x) T( x)( x2)e x2，则 H( x)( x3)e x0，故函数 T( x)在(2，)上单调递增，又 T(0)0，所以当 x(，0)时， T( x)0，所以函数 T(x)在区间(，0)上单调递减，在区间(0，)上单调递增，所以 T(x) T(0)0，所以 f(x) t(x)，所以 f(x2) t(x2)设 t(x) m 的根为 x2，则 x2 m，又函数 t(x)单调递增，且 t(x2) f(x2) t(x2)，所以 x2 x2.又 x1 x1，所以 x2 x1 x2 x1 m 1 .m 1 2e1 e6
