1、1课时跟踪检测(十) 指数与指数函数一、题点全面练1. 的化简结果为 ( )3332 612A2 B3C4 D6解析:选 B 原式312 3121(32)3123 24 633 3162-+332 03.2.函数 f(x) ax b的图象如图所示,其中 a, b为常数,则下列结论中正确的是( )A a1, b0B a1, b0C0 a1,0 b1D0 a1, b0解析:选 D 法一:由题图可知 0 a1,当 x0 时, a b(0,1),故 b0,得b0.故选 D.法二:由图可知 0 a1, f(x)的图象可由函数 y ax的图象向左平移得到,故 b0,则 b0.故选 D.3化简 4a23b1
2、 的结果为( )(23ab)A B2a3b 8abC D6 ab6ab解析:选 C 原式4 a21-3b2-36 ab1 ,故选 C.(23) 6ab4设 x0,且 1 bx ax,则( )A0 b a1 B0 a b1C1 b a D1 a b解析:选 C 因为 1 bx,所以 b0 bx,因为 x0,所以 b1,2因为 bx ax,所以 x1,(ab)因为 x0,所以 1,所以 a b,所以 1 b a.故选 C.ab5已知 a( )43, b2 5, c9 3,则 a, b, c的大小关系是( )2A b a c B a b cC b c a D c a b解析:选 A a( )4321
3、2 3, b2 5, c91332,2由函数 y x 3在(0,)上为增函数,得 a c,由函数 y2 x在 R上为增函数,得 a b,综上得 c a b.故选 A.6函数 f(x) ax b1(其中 0 a1,且 0 b1)的图象一定不经过( )A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析:选 C 由 0 a1 可得函数 y ax的图象单调递减,且过第一、二象限,因为0 b1,所以1 b10,所以 01 b1,y ax的图象向下平移 1 b个单位即可得到 y ax b1 的图象,所以 y ax b1 的图象一定在第一、二、四象限,一定不经过第三象限故选 C.7已知函数 f(x)Error
4、!则函数 f(x)是( )A偶函数,在0,)单调递增B偶函数,在0,)单调递减C奇函数,且单调递增D奇函数,且单调递减解析:选 C 易知 f(0)0,当 x0 时, f(x)12 x, f(x)2 x1,此时 x0,则 f( x)2 x1 f(x);当 x0 时, f(x)2 x1, f(x)12 x,此时 x0,则 f( x)12 ( x)12 x f(x)即函数 f(x)是奇函数,且单调递增,故选 C.8二次函数 y x24 x(x2)与指数函数 y x的交点有( )(12)A3 个 B2 个C1 个 D0 个解析:选 C 因为二次函数 y x24 x( x2) 24( x2),且 x1
5、时, y x24 x3,3y x2,(12)在坐标系中画出 y x24 x(x2)与 y x的大致图象,(12)由图可得,两个函数图象的交点个数是 1.故选 C.9已知函数 f(x) x4 , x(0,4),当 x a时, f(x)取得最小值 b,则函数9x 1g(x) a|x b|的图象为( )解析:选 A 因为 x(0,4),所以 x11,所以 f(x) x4 x1 52 51,9x 1 9x 1 9x 1 x 1当且仅当 x2 时取等号,此时函数有最小值 1,所以 a2, b1,此时 g(x)2 |x1| Error!此函数图象可以看作由函数 yError!的图象向左平移 1个单位得到结
6、合指数函数的图象及选项可知 A正确故选 A.10函数 f(x) 12+x的单调递减区间为_(12)解析:设 u x22 x1, y u在 R上为减函数,函数 f(x) 12+x的单(12) (12)调递减区间即为函数 u x22 x1 的单调递增区间又 u x22 x1 的单调递增区间为(,1, f(x)的单调递减区间为(,1答案:(,111不等式 2+xa +-2xa恒成立,则 a的取值范围是_(12) (12)解析:由指数函数的性质知 y x是减函数,(12)4因为 2+xa +-2xa恒成立,(12) (12)所以 x2 ax2 x a2 恒成立,所以 x2( a2) x a20 恒成立
7、,所以 ( a2) 24( a2)0,即( a2)( a24)0,即( a2)( a2)0,故有2 a2,即 a的取值范围是(2,2)答案:(2,2)12已知函数 f(x) x3(a0,且 a1)(1ax 1 12)(1)讨论 f(x)的奇偶性;(2)求 a的取值范围,使 f(x)0 在定义域上恒成立解:(1)由于 ax10,则 ax1,得 x0,函数 f(x)的定义域为 x|x0对于定义域内任意 x,有f( x) ( x)3(1a x 1 12) ( x)3(ax1 ax 12) ( x)3( 11ax 1 12) x3 f(x),(1ax 1 12)函数 f(x)是偶函数(2)由(1)知
8、f(x)为偶函数,只需讨论 x0 时的情况,当 x0 时,要使 f(x)0,则 x30,(1ax 1 12)即 0,1ax 1 12即 0,则 ax1.ax 12 ax 1又 x0, a1.当 a(1,)时, f(x)0.二、专项培优练(一)易错专练不丢怨枉分51设 y f(x)在(,1上有定义,对于给定的实数 K,定义 fK(x)Error!给出函数 f(x)2 x1 4 x,若对于任意 x(,1,恒有 fK(x) f(x),则( )A K的最大值为 0 B K的最小值为 0C K的最大值为 1 D K的最小值为 1解析:选 D 根据题意可知,对于任意 x(,1,恒有 fK(x) f(x),
9、则 f(x) K在 x1 上恒成立,即 f(x)的最大值小于或等于 K即可令 2x t,则 t(0,2, f(t) t22 t( t1) 21,可得 f(t)的最大值为 1, K1,故选 D.2已知实数 a, b满足 a b ,则( )12 (12) (22) 14A b2 B b2b a b aC a D ab a b a解析:选 B 由 a,得 a1,由 a b,得 2a b,故 2a b,由12 (12) (12) (22) (22) (22)b ,得 b 4,得 b4.由 2a b,得 b2 a2, a 2,故(22) 14 (22) (22) b21 a2,2 b4.对于选项 A、B
10、,由于 b24( b a)( b2) 24( a1)0 恒成立,故 A错误,B 正确;对于选项 C,D, a2( b a) 2 ,由于 1 a2,2 b4,故该式的符号不确(a12) (b 14)定,故 C、D 错误故选 B.3设 a0,且 a1,函数 y a2x2 ax1 在1,1上的最大值是 14,求实数 a的值解:令 t ax(a0,且 a1),则原函数化为 y f(t)( t1) 22( t0)当 0 a1, x1,1时, t ax ,a,1a此时 f(t)在 上为增函数a,1a所以 f(t)max f 2214.(1a) (1a 1)所以 216,解得 a (舍去)或 a .(1a
11、1) 15 13当 a1 时, x1,1, t ax ,1a, a此时 f(t)在 上是增函数1a, a6所以 f(t)max f(a)( a1) 2214,解得 a3 或 a5(舍去)综上得 a 或 3.13(二)交汇专练融会巧迁移4与基本不等式交汇设 f(x)e x,0 a b,若 p f , q f , r(ab) (a b2 ),则下列关系式中正确的是( )f a f bA q r p B p r qC q r p D p r q解析:选 C 0 a b, ,又 f(x)e x在(0,)上为增函数, fa b2 ab f( ),即 q p.又 r eab2 q,故 q r p.故选 C
12、.(a b2 ) ab f a f b eaeb5与一元二次函数交汇函数 y x x1 在区间3,2上的值域是_(14) (12)解析:令 t x,(12)因为 x3,2,所以 t ,14, 8故 y t2 t1 2 .(t12) 34当 t 时, ymin ;12 34当 t8 时, ymax57.故所求函数的值域为 .34, 57答案: 34, 576与函数性质、不等式恒成立交汇已知定义域为 R的函数 f(x) 是奇函 2x b2x 1 a数(1)求 a, b的值;(2)若对任意的 tR,不等式 f(t22 t) f(2t2 k)0 恒成立,求 k的取值范围解:(1)因为 f(x)是 R上
13、的奇函数,所以 f(0)0,即 0,解得 b1. 1 b2 a7从而有 f(x) . 2x 12x 1 a又由 f(1) f(1)知 ,解得 a2. 2 14 a 12 11 a(2)由(1)知 f(x) , 2x 12x 1 2 12 12x 1由上式易知 f(x)在 R上为减函数,又因为 f(x)是奇函数,从而不等式 f(t22 t) f(2t2 k)0 等价于 f(t22 t) f(2t2 k) f(2 t2 k)因为 f(x)是 R上的减函数,由上式推得 t22 t2 t2 k.即对一切 tR 有 3t22 t k0,从而 412 k0,解得 k .13故 k的取值范围为 .( , 13)8