1、1专题突破练(1) 函数的综合问题一、选择题1函数 f(x)Error!的零点个数为( )A3 B2 C7 D0答案 B解析 解法一：由 f(x)0 得Error!或Error! 解得 x2 或 xe因此函数 f(x)共有 2个零点解法二：函数 f(x)的图象如图所示，由图象知函数 f(x)共有 2个零点故选 B2已知 A(2，5)， B(4，1)，若点 P(x， y)在线段 AB上，则 的最大值为( )y2xA B1 C D18 54 72答案 C解析 由题意，得线段 AB： y1 (x4) y2 x9(2 x4)，所以 5 12 4 y2x1 ，当 x2 时等号成立，即 的最大值为 故选
2、C 2x 92x 92x 54 y2x 543若变量 x， y满足| x|ln 0，则 y关于 x的函数图象大致是( )1y2答案 B解析 由| x|ln 0 得 y Error!画出图象可知选 B1y 1e|x|4(2018贵阳模拟)已知函数 f(x)是定义在 R上的奇函数，当 x0 时， f(x)log 2(2 x)1，则 f(6)( )A2 B4 C2 D4答案 C解析 因为 f(x)是 R上的奇函数，所以 f( x) f(x)而在 x0 时， f(x)log 2(2 x)1，所以 f(6) f(6)log 2(26)1(log 281)2故选C5(2018唐山模拟)已知偶函数 f(x)
3、在0，)上单调递减，若 f(2)0，则满足 xf(x)0 的 x的取值范围是( )A(，2)(0，2) B(2，0)(2，) C(，2)(2，) D(2，0)(0，2)答案 A解析 因为 f(x)是偶函数且在0，)上单调递减，所以 f(x)在(，0上单调递增，又 f(2)0，所以 f(2)0，即在区间(，2)和(2，)上， f(x)0；在区间(2，2)上， f(x)0，所以 xf(x)0 等价于Error!和 Error!即得 xf(3x6)成立的x1 |x|x的取值范围是( )A(，2)(3，) B(2，3)C(，2) D(3，)答案 A解析 易得函数 f(x)是定义在 R上的奇函数，且当
4、x0 时， f(x) 1 为x1 x 11 x单调增函数，故函数 f(x)在 R上为增函数，依题意得 x22 x3x6，解得 x3故选 A7(2018佛山质检一)已知函数 f(x)Error!则下列函数为奇函数的是 ( )3A f(sinx) B f(cosx)C xf(sinx) D x2f(cosx)答案 C解析 易知 f(x)为偶函数，即满足 xR， f( x) f(x)恒成立研究 g(x) xf(sinx)， g( x) xfsin( x) xf(sin x) xf(sinx) g(x)，故 g(x) xf(sinx)为奇函数故选 C8(2019青岛质检)已知 a b1，则下列结论正确
5、的是( )A aa bb B aln b bln aC aln a bln b D ab ba答案 C解析 取 ae， b ，则 B项明显错误；对于 D项，若 ab ba成立，则 ln abln eba，则 bln a aln b，由 B项错误得 D项错误；因为 a b1，所以 ln aln b0，由同向不等式相乘得 aln a bln b，进一步得 ln aaln bb，所以 aa bb，所以 A项错误，C项正确故选 C9若 x， yR，且满足Error!则 x y( )A4 B3 C3 D4答案 B解析 函数 f(t) t32018 t (tR)是奇函数，且在 R上是增函数，故若 f(u)
6、 f(v)130，则必有 u v0，本题中， u x4， v y1， x4 y10 x y3故选B10(2018长沙统考)函数 f(x)2 x 的图象大致为( )xx 1答案 A解析 f(x)2 x 2 x 1，其定义域为(，1)(1，)令xx 1 1x 1u(x)2 x， v(x) 由于 u(x)和 v(x)都在(，1)和(1，)上单调递增，1x 1所以 f(x)在(，1)上和(1，)上单调递增，排除 C，D；又当 x趋向负无穷时，2x趋近于 0， 趋近于 0，所以 f(x)接近于 1，所以选 A1x 1411(2018安徽合肥一模)已知函数 f(x)( x22 x)sin(x1) x1 在
7、1，3上的最大值为 M，最小值为 m，则 M m( )A4 B2 C1 D0答案 A解析 令 x1 t， t2，2，则 y( t21)sin t t2，显然函数 y( t21)sint t为奇函数，其最大值与最小值之和为 0，故函数 y( t21)sin t t2 的最大值与最小值之和为 4，即 M m4，故选 A12(2018大庆质检一)已知 f(x)是定义在 R上的奇函数，当 x0，)时，f( x)ln ln 1，e 01 0，知 ln fln f(e01 )，即 c0在区间1，4内有解，则实数 a的取值范围是_答案 (，2)解析 不等式 x24 x2 a0在区间1，4内有解等价于 a0)
8、的图象关于直线 y x对称，若g(a)g(b)3(其中 a0且 b0)，则 的最小值为_1a 4b答案 95解析 依题意可知 g(x)3 x， g(a)g(b)3 a3b3 a b3 即 a b1， 1a 4b(a b)5 9 当且仅当 a ， b 取“” (1a 4b) ba 4ab 13 2316如图，在第一象限内，矩形 ABCD的三个顶点 A， B， C分别在函数ylog x， y x ， y x的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴，若点 A的纵坐标22 12 32是 2，则点 D的坐标是_答案 ，12 916解析 由 2log x可得点 A ，2，由 2 x 可得点 B(4，2)，因
9、为 4 ，所以点22 12 12 32 916C的坐标为 4， ，所以点 D的坐标为 ， 916 12916三、解答题17(2018湖北荆州摸底)已知定义在(0，)上的函数 f(x)，满足 f(mn) f(m) f(n)(m， n0)，且当 x1时，有 f(x)0(1)求证： f f(m) f(n)；(mn)(2)求证： f(x)在(0，)上是增函数；(3)比较 f 与 的大小(m n2 ) fm fn2解 (1)证明： f(m) f f f(n)，(mnn) (mn) f f(m) f(n)(mn)(2)证明：任取 x1， x2(0，)，且 x11， f 0， f(x2)f(x1)，x2x1
10、 (x2x1) f(x)在(0，)上是增函数6(3)f (m n2 ) fm fn2 f f 12(m n2 ) 12(m n2 ) fm fn2 12f(m n2 ) fm 12f(m n2 ) fn f f12(m n2m) 12(m n2n) f12m n24mn 1， f 0，m n24mn m n24mn 故 f (m n2 ) fm fn218(2018浙江宁波统考)已知函数 f(x)log 2(x1)， g(x) x|x a|(1)若 g(x)为奇函数，求 a的值并判断 g(x)的单调性(单调性不需证明)；(2)对任意 x11，)，总存在唯一的 x22，)，使得 f(x1) g(
11、x2)成立，求正实数 a的取值范围解 (1) g(x)为奇函数， g(x) g( x) x(|x a| x a|)0 恒成立 a0此时 g(x) x|x|，在 R上单调递增(2)x11，)， f(x)log 2(x1)， f(x1)1，)， g(x)Error!当 a2 时， g(x2)在2，)上单调递增， g(2)42 a1， a ， a232 32当 2c时， P ，23 T x2 x10；13 23当 1 x c时， P ，16 x T x2 x1 (116 x) ( 16 x) 9x 2x26 x综上，日盈利额 T(万元)与日产量 x(万件)的函数关系为 TError!(2)由(1)，
12、当 xc时，每天的盈利额为 0，1 x c，当 3 c0；(2)若关于 x的方程 f(x)log 2(a4) x2 a50 的解集中恰好有一个元素，求 a的取值范围；(3)设 a0，若对任意 t ，1，函数 f(x)在区间 t， t1上的最大值与最小值的差12不超过 1，求 a的取值范围8解 (1)当 a5 时， f(x)log 2 5，1x由 f(x)0得 log2 50，1x 51，即 4 0，1x 1x 4x 1x解得 x0或 x0或 x0，1x( a4) x2( a5) x10，即( x1)( a4) x10当 a4 时，方程的唯一解为 x1，满足式；当 a3 时，方程有两个相等的实数
13、解，即 x1，满足式；当 a4 且 a3 时，方程的解为 x1 或 x ，1a 4若 x1 满足式，则1 a a10，即 a1，若 x 满足式，则 a4 a2 a40，即 a2，1a 4要使满足式的解有且仅有一个，则 1a2综上，若方程 f(x)log 2(a4) x2 a50 的解集中恰好有一个元素，则 a的取值范围是 a|1a2 或 a3 或 a4(3)函数 f(x)在区间 t， t1上单调递减， f(t) f(t1)1，即 log2 alog 2 a1，1t 1t 1log 2 alog 2 a1，1t 1t 1 a2 a，1t 1t 1 a 在区间 ，1 上恒成立，1t 2t 1 1 ttt 1 129 a max， t ，11 ttt 1 12设 1 t r，即 t1 r，则 0 r ，12 ，1 ttt 1 r1 r2 r rr2 3r 2当 r0 时， 0rr2 3r 2当 0r 时， ，12 rr2 3r 2 1r 2r 3 y r 在(0， )上递减，2r 2 y r 在 r 时最小，2r 12 r 4 ，2r 12 92 ，rr2 3r 2 1r 2r 3 192 3 23实数 a的取值范围是 aa 2310
