1、1专题突破练(4) 数列中的典型题型与创新题型一、选择题1如果等差数列 an中， a3 a4 a512，那么 a1 a2 a7等于( )A14 B21 C28 D35答案 C解析 a3 a4 a512，3 a412， a44 a1 a2 a7( a1 a7)( a2 a6)( a3 a5) a47 a428故选 C2在等比数列 an中， a11，公比| q|1若 am a1a2a3a4a5，则 m等于( )A9 B10 C11 D12答案 C解析 am a1a2a3a4a5( a1a5)(a2a4)a3 a 23a a3 a a q10因为 a11，| q|1，23 53 51所以 am a
2、q10 a1q10，所以 m11故选 C513在递减等差数列 an中，若 a1 a50，则 Sn取最大值时 n等于( )A2 B3 C4 D2 或 3答案 D解析 a1 a52 a30， a30 d0， S180，且 S180， S189( a9 a10)0， a100， 0，S1a1 S2a20， a2a9，则 最大故选 CS9a9 S10a10 S11a11 S15a15 S9a912已知数列 an为等比数列， a1(0，1)， a2(1，2)， a3(2，3)，则 a4的取值范围是( )A(3，4) B(2 ，4) C(2，9) D(2 ，9)2 2答案 D解析 设等比数列 an的公比为
3、 q，由已知得Error!由得 q 1；由得 q2 2；由得 q 1且a1qa111 a1q2a1 21 a1q2a1qq 0的最小正整数 n为_答案 5解析 由题设可知轨迹 C1， C2， C3， Cn分别是半径为1，2，4，8，16，32，2 n的圆因为 an| AnAn1 |min，所以a11， a22， a34， a48， an2 n1 ，所以Sn a1 a2 a3 an1242 n1 2 n1由 Sn5 n0，得2n 12 12n15 n02n5n1，故最小的正整数 n为 5三、解答题17(2018山西考前适应训练)已知等比数列 an中， an0， a1 ， 164 1an 1an
4、1， nN *2an 2(1)求 an的通项公式；(2)设 bn(1) n(log2an)2，求数列 bn的前 2n项和 T2n解 (1)设等比数列 an的公比为 q，则 q0，因为 ，所以 ，1an 1an 1 2an 2 1a1qn 1 1a1qn 2a1qn 1因为 q0，解得 q2，所以 an 2n1 2 n7 ， nN *1646(2)bn(1) n(log2an)2(1) n(log22n7 )2(1) n(n7) 2，设 cn n7，则 bn(1) n(cn)2T2n b1 b2 b3 b4 b2n1 b2n c c ( c ) c ( c ) c21 2 23 24 22n 1
5、 2n( c1 c2)(c1 c2)( c3 c4)(c3 c4)( c2n1 c2n)(c2n1 c2n) c1 c2 c3 c4 c2n1 c2n2n 6 2n 72 n(2n13)2 n213 n18(2018山东青岛统测)已知等差数列 an的公差为 2，等比数列 bn的公比为 2，且 anbn n2n(1)求数列 an和 bn的通项公式；(2)令 cn ，记数列 cn的前 n项和为 Tn，试比较 Tn与 的大小1anlog2bn 3 38解 (1) anbn n2n，Error! Error!解得 a12， b11， an22( n1)2 n， bn2 n1 (2) an2 n， bn
6、2 n1 ， cn ，1anlog2bn 3 12nn 2 141n 1n 2 Tn c1 c2 c3 c4 cn1 cn 1 14 13 12 14 13 15 14 16 1n 1 1n 1 1n 1n 2 1 14 12 1n 1 1n 2 0，32 12所以 lg an1 2lg an ，12 12又 lg a1 lg 20，12所以数列 lg an 是首项为 lg 2，公比为 2的等比数列12(2)由(1)知 lgan 2 n1 lg 2lg 22 n1，12所以 an 22 n1，12所以 Rn22022122222 n122021222 n122 n121(2019宁夏六盘山高级
7、中学模拟)已知函数 y f(x)对任意 xR，都有 f(x) f(1 x)2(1)求 f 和 f f (nN *)的值；12 1n n 1n(2)数列 an满足 an f(0) f f f f(1)(nN *)，求证：数列 an是等1n 2n n 1n差数列解 (1)由题设条件知 f f 2，故 f 1而 1，故 f f 212 12 12 1n n 1n 1n n 1n(2)证明：依题有 an f(0) f f f(1)， nN *，1n n 1n同理有 an f(1) f f f(0)， nN *，n 1n 1n上述两式对应相加得 2an f(0) f(1) f f f f f(0) f(1)1n n 1n 1n n 1n2( n1)，从而 an n1， nN *，而 an1 an1，故 an为等差数列9
