1、1第 2 讲 磁场对运动电荷的作用主干梳理 对点激活知识点 洛伦兹力、洛伦兹力的方向 洛伦兹力公式 1.定义： 运动电荷在磁场中所受的力。01 2方向(1)判定方法：应用左手定则，注意四指应指向正电荷运动方向或负电荷运动的反方向。(2)方向特点： F B， F v。即 F 垂直于 B 和 v 所决定的平面。(注意 B 和 v 可以有02 任意夹角)。由于 F 始终 垂直于 v 的方向，故洛伦兹力永不做功。03 3洛伦兹力的大小： F qvBsin其中 为电荷运动方向与磁场方向之间的夹角。(1)当电荷运动方向与磁场方向垂直时， F qvB。(2)当电荷运动方向与磁场方向平行时， F0。(3)当电
2、荷在磁场中静止时， F0。知识点 带电粒子在匀强磁场中的运动 1若 v B，带电粒子以入射速度 v 做 匀速直线运动。01 2若 v B，带电粒子在垂直于磁感线的平面内，以入射速度 v 做 匀速圆周运动。02 3基本公式(1)向心力公式： qvB m 。v2r(2)轨道半径公式： r 。mvBq(3)周期公式： T ； f ； 2 f 。2 rv 2 mqB 1T 03 qB2 m 2T 04 qBm(4)T、 f 和 的特点T、 f 和 的大小与轨道半径 r 和运行速率 v 无关，只与磁场的 磁感应强度 B 和粒05 子的 比荷 有关。比荷 相同的带电粒子，在同样的匀强磁场中 T、 f、 相
3、同。06 qm qm一 思维辨析1带电粒子在磁场中运动时，一定会受到磁场力的作用。( )2洛伦兹力的方向垂直于 B 和 v 决定的平面，洛伦兹力对带电粒子永远不做功。( )23根据公式 T ，说明带电粒子在匀强磁场中的运动周期 T 与 v 成反比。( )2 rv4用左手定则判断洛伦兹力方向时，四指指向电荷的运动方向。( )5带电粒子在磁场中运动时的轨道半径与粒子的比荷成正比。( )6当带电粒子进入匀强磁场时，若 v 与 B 夹角为锐角，带电粒子的轨迹为螺旋线。( )答案 1. 2. 3. 4. 5. 6.二 对点激活1(人教版选修 31P 98T1改编)下列各图中，运动电荷的速度方向、磁感应强
4、度方向和电荷的受力方向之间的关系正确的是( )答案 B解析 由左手定则知 A 中力 F 的方向应竖直向上，B 中力 F 的方向应竖直向下，C、D中速度 v 与磁感应强度 B 平行，不受洛伦兹力，故选 B。2. (人教版选修 31P 102T3改编)如图所示，一束质量、速度和电荷量不全相等的离子，经过由正交的匀强电场和匀强磁场组成的速度选择器后，进入另一个匀强磁场中并分裂为 A、 B 两束，下列说法正确的是( )A组成 A 束和 B 束的离子都带负电B组成 A 束和 B 束的离子质量一定不同C A 束离子的比荷大于 B 束离子的比荷D速度选择器中的磁场方向垂直于纸面向外答案 C解析 由左手定则结
5、合带电粒子 A、 B 在磁场中偏转的轨迹知 A、 B 均带正电，故 A 错误。由 r 知 A 的比荷大于 B 的比荷，无法单独判断离子质量关系，故 B 错误，C 正确。mvBq速度选择器中离子受电场力向右，所以洛伦兹力应向左，结合左手定则可判断磁场方向应垂直纸面向里，故 D 错误。3考点细研 悟法培优考点 1 洛伦兹力的特点及应用1洛伦兹力的特点(1)洛伦兹力的方向总是垂直于运动电荷的速度方向和磁场方向共同确定的平面，所以洛伦兹力只改变速度的方向，不改变速度的大小，即洛伦兹力永不做功。(2)当电荷运动方向发生变化时，洛伦兹力的方向也随之变化。(3)用左手定则判断负电荷在磁场中运动所受的洛伦兹力
6、时，要注意将四指指向电荷运动的反方向。2洛伦兹力与电场力的比较4例 1 如图所示，在竖直平面内放一个光滑绝缘的半圆形轨道，水平方向的匀强磁场与半圆形轨道所在的平面垂直。一个带负电荷的小滑块由静止开始从半圆形轨道的最高点M 滑下到最右端的过程中，下列说法中正确的是( )A滑块经过最低点时的速度比磁场不存在时大B滑块经过最低点的加速度比磁场不存在时小C滑块经过最低点时对轨道的压力比磁场不存在时小D滑块从 M 点到最低点所用时间与磁场不存在时相等解题探究 (1)带负电的滑块经过最低点时的速度大小受磁场有无的影响吗？提示：因为洛伦兹力不做功，所以有无磁场对滑块经过最低点时的速度大小无影响。(2)运动到
7、最低点时滑块所受洛伦兹力方向如何？提示：竖直向下。尝试解答 选 D。由于洛伦兹力不做功，故与磁场不存在时相比，滑块经过最低点时的速度不变，A 错误；由圆周运动中 a ，与磁场不存在时相比，滑块经过最低点时的加速度不变，B 错误；v2R由左手定则，滑块经过最低点时受到的洛伦兹力向下，而滑块所受的向心力不变，故滑块经过最低点时对轨道的压力比磁场不存在时大，C 错误；由于洛伦兹力方向始终与运动方向垂直，在任意一点，滑块经过时的速度与磁场不存在时相比均不变，则运动所用时间相5等，D 正确。总结升华洛伦兹力与安培力的联系及区别(1)安培力是洛伦兹力的宏观表现，二者是相同性质的力，都是磁场力。(2)安培力
8、可以做功，而洛伦兹力对运动电荷不做功。变式 1 (多选)如图所示，两个倾角分别为 30和 60的光滑绝缘斜面固定于水平地面上，并处于方向垂直纸面向里、磁感应强度为 B 的匀强磁场中，两个质量为 m、电荷量为 q 的小滑块甲和乙分别从两个斜面顶端由静止释放，运动一段时间后，两小滑块都将飞离斜面，在此过程中( )A甲滑块飞离斜面瞬间的速度比乙滑块飞离斜面瞬间的速度大B甲滑块在斜面上运动的时间比乙滑块在斜面上运动的时间短C两滑块在斜面上运动的位移大小相同D两滑块在斜面上运动的过程中，重力的平均功率相等答案 AD解析 小滑块飞离斜面时，洛伦兹力与重力垂直斜面的分力平衡，故：mgcos qvmB，解得
9、vm ，所以斜面倾角越小，飞离斜面瞬间的速度越大，故甲mgcosqB滑块飞离时速度较大，故 A 正确；滑块在斜面上运动的加速度恒定不变，由受力分析和牛顿第二定律可得加速度 a gsin ，所以甲的加速度小于乙的加速度，因为甲飞离的最大速度大于乙的最大速度，由 vm at 得，甲在斜面上运动的时间大于乙在斜面上运动的时间，故 B 错误；由以上分析和 x 可知，甲在斜面上的位移大于乙在斜面上的位移，故 C 错v2m2a误；由平均功率的公式得 P F sin mg sin ，因 sin30vvm2 m2g2sin cos2qBcos60，sin60cos30，故重力的平均功率一定相等，故 D 正确。
10、考点 2 带电粒子在匀强磁场中的运动1带电粒子在匀强磁场中运动的解题思路6(1)圆心的确定基本思路：与速度方向垂直的直线和轨迹圆中弦的中垂线一定过圆心。两种常见情形情形一：已知入射方向和出射方向时，可通过入射点和出射点分别作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图 a 所示，图中 P 为入射点，M 为出射点)。情形二：已知入射方向和出射点的位置时，可以先通过入射点作入射方向的垂线，再连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图 b 所示，图中 P 为入射点， M 为出射点)。(2)半径的确定和计算利用几何知识求出该圆的可能半径(或圆心角
11、)，并注意以下两个重要的几何特点：粒子速度的偏向角 等于圆心角 ，并等于 AB 弦与切线的夹角(弦切角 )的 2 倍(如图所示)，即 2 t 。相对的弦切角 相等，与相邻的弦切角 互补，即 180。(3)运动时间的确定粒子在磁场中运动一周的时间为 T，当粒子运动的圆弧轨迹所对应的圆心角为 时，其运动时间由下式表示：7t T 。360(或 t 2 T)2带电粒子在不同边界匀强磁场中的运动规律有界匀强磁场是指只在局部空间存在着匀强磁场，带电粒子从磁场区域外垂直磁场方向射入磁场，在磁场区域内做一段匀速圆周运动，也就是通过一段圆弧轨迹后离开磁场区域。带电粒子在磁场中运动的圆弧轨迹取决于粒子进入磁场的速
12、度大小、方向和磁场区域边界，常见磁场区域边界可分为如下几种情形：情形一：直线边界直线边界磁场又分单边直线边界和双边平行直线边界。单边直线边界如图甲、乙、丙所示，粒子进出磁场具有对称性；双边平行直线边界如图丁、戊所示，粒子进出磁场存在临界条件。解决这类问题的“三部曲”：画轨迹、找圆心、定半径。如果粒子从同一直线边界射入和射出，那么粒子进入磁场时速度与边界的夹角和射出磁场时速度和边界的夹角相等。情形二：矩形边界矩形边界磁场是指分布在矩形范围内的有界磁场，带电粒子的轨迹只是一部分圆弧。8垂直于某边射入，从某一顶点射出是常见的临界情况。解决该类问题的关键是把握临界情况，如图所示，常见的有如下几种情况：
13、(设粒子从ad 边中点 e 垂直射入)(1)两个临界半径从 d 点射出： r1 。ad4从 c 点射出： r 2 ab2。2 (r2ad2)(2)三种情况 r r1，粒子从 ed 段射出。 r1r2，粒子从 cf 段射出(不会到 f 点)。情形三：圆形边界圆形边界磁场是指分布在圆形区域内的有界磁场，带电粒子在圆形边界的匀强磁场中的轨迹也是一段不完整的圆弧。由于此类问题涉及两个圆：粒子运动轨迹的圆与磁场区域的圆，能很好地考查学生的综合分析能力，所以是近年来高考的热点。带电粒子在圆形磁场中运动的四个结论：(1)径向进出：当粒子运动方向与磁场方向垂直时，沿圆形磁场半径方向射入的带电粒子，必沿径向射出
14、圆形磁场区域，即粒子出射速度的反向延长线必过磁场圆的圆心，如图1 所示。(2)等角进出：入射速度方向与过入射点的磁场圆半径的夹角等于出射速度方向与过出射点的磁场圆半径的夹角，如图 2 所示。径向进出是等角进出的一种特殊情况( 0)。(3)点入平出：若带电粒子从圆形匀强磁场区域圆周上一点沿垂直于磁场方向进入磁场，当带电粒子做圆周运动的半径与圆形磁场区域的半径相同时，所有带电粒子都以平行于磁场区域圆周上入射点处的切线方向射出磁场，如图 3 所示。9(4)平入点出：若带电粒子以相互平行的速度射入磁场，且带电粒子在磁场中做圆周运动的半径和圆形磁场区域半径相同，则这些带电粒子将会从磁场区域圆周上同一点射
15、出，且磁场区域圆周上该点的切线与带电粒子射入磁场时的速度方向平行，如图 4 所示。情形四：四分之一平面边界四分之一平面边界磁场是指分布在平面直角坐标系中某一象限范围的有界磁场，带电粒子的轨迹只是一部分圆弧，粒子轨迹与坐标轴相切或垂直是常见的临界情况。解决该类问题的关键是明确粒子射入(射出)磁场的位置坐标，及速度方向与坐标轴的夹角关系，然后分析粒子做圆周运动的轨迹、圆心，寻找几何关系求解问题。情形五：三角形边界三角形边界磁场是指分布在三角形区域内的有界磁场，粒子的轨迹也是一段圆弧，由于三角形可以有等边三角形、等腰三角形、直角三角形等不同类型，所以会有不同的临界情景。解答该类问题主要把握以下两点：
16、(1)射入磁场的方式从某顶点射入。从某条边上某点(如中点)垂直(或成某一角度)射入。(2)射出点的判断其临界条件是判断轨迹可能与哪条边相切，进而判定出射点的可能位置。例 2 (2018昆明质检)(多选)如图所示， MN 两侧均有垂直纸面向里的匀强磁场， MN左侧磁感应强度大小为 B1，右侧磁感应强度大小为 B2，有一质量为 m、电荷量为 q 的正离子，自 P 点开始以速度 v0向左垂直 MN 射入磁场中，当离子第二次穿过磁场边界时，与边界的交点 Q 位于 P 点正上方， PQ 之间的距离为 。不计离子重力，下列说法正确的是( )mv0B1qA B2 B123B B2 B112C离子从开始运动至
17、第一次到达 Q 点所用时间为5 m2B1qD离子从开始运动至第一次到达 Q 点所用时间为4 m3B1q10解题探究 (1) PQ 之间距离与带电粒子在两磁场中运动的半径之间有何关系？提示：2 r22 r1 。mv0B1q(2)离子在两磁场中各运动多长时间？提示：分别运动半个周期。尝试解答 选 AC。画出离子在匀强磁场中的运动轨迹，如图所示。由 qvB m ，解得 r ，在磁感应v2r mvqB强度为 B1的区域， r1 ，在磁感应强度为 B2的区域， r2 ，根据题述，2 r22 r1mv0qB1 mv0qB2，联立解得 B2 B1，A 正确，B 错误。由 T 可知，离子在左侧匀强磁场中的运动
18、mv0B1q 23 2 mqB时间 t1 ，离子在右侧匀强磁场中的运动时间 t2 ，离子从开始运动至第一 mqB1 mqB2 3 m2qB1次到达 Q 点所用时间为 t t1 t2 ，C 正确，D 错误。 mqB1 3 m2qB1 5 m2B1q总结升华1带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的分析方法2作带电粒子运动轨迹时需注意的问题11(1)四个点：分别是入射点、出射点、轨迹圆心和入射速度直线与出射速度直线的交点。(2)六条线：圆弧两端点所在的轨迹半径，入射速度所在直线和出射速度所在直线，入射点与出射点的连线，圆心与两条速度所在直线交点的连线。前面四条线构成一个四边形，后面两条线为对角线。(3)三
19、个角：速度偏转角、圆心角、弦切角，其中偏转角等于圆心角，也等于弦切角的两倍。变式 2 (2016四川高考改编)如图所示，正六边形 abcdef 区域内有垂直于纸面向外的匀强磁场。一带电粒子从 a 点沿 ad 方向射入磁场，当速度大小为 v1时，粒子从 b 点离开磁场；当速度大小为 v2时，粒子从 c 点离开磁场。不计粒子重力，则 v1与 v2的大小之比为( )A12 B21 C13 D 23答案 C解析 粒子以速度 v1进入磁场从 b 点射出时，由几何关系得 R1sin60 ，得l2R1 l，同理粒子以速度 v2进入磁场从 c 点射出时，由几何关系得 R2sin30 lcos30，33得 R2
20、 l，粒子在磁场中做圆周运动，由 Bqv m 得半径 R ，两次入射速度之比3v2R mvqB ，C 正确，A、B、D 错误。v1v2 R1R2 13考点 3 带电粒子在匀强磁场中运动的多解问题1.带电粒子电性不确定形成多解受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电，也可能带负电，在相同的初速度条件下，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，形成多解。如图甲，带电粒子以速度 v 垂直进入匀强磁场，如带正电，其轨迹为 a，如带负电，其轨迹为 b。122磁场方向不确定形成多解有些题目只告诉了磁感应强度的大小，而未具体指出磁感应强度的方向，此时由于磁感应强度方向不确定形成多解。如图乙，带正电粒子以速度 v 垂直进
21、入匀强磁场，如 B 垂直纸面向里，其轨迹为 a，如 B 垂直纸面向外，其轨迹为 b。3速度不确定形成多解有些题目只指明了带电粒子的电性，但未具体指出速度的大小或方向，此时必须要考虑由于速度的不确定而形成的多解。常有两种情形：(1)入射速度方向一定，大小不同；(2)入射速率一定，方向不同。如图丙所示，带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子速度大小不确定，因此，它可能穿过下边界，也可能转过 180反向飞出，于是形成了多解。4运动的周期性形成多解带电粒子在电场和磁场的组合场空间运动时，运动往往具有往复性，从而形成多解。如图丁所示。例 3 (2018湖南湘东五校联考)(多选)如图所示，在 x
22、Oy 平面内存在着磁感应强度大小为 B 的匀强磁场，第一、二、四象限内的磁场方向垂直纸面向里，第三象限内的磁场方向垂直纸面向外， P( L,0)、 Q(0， L)为坐标轴上的两个点，现有一电子从 P 点沿2 2PQ 方向射出，不计电子的重力，下列说法正确的是( )13A若电子从 P 点出发恰好经原点 O 第一次射出磁场分界线，则电子运动的路程一定为 L2B若电子从 P 点出发经原点 O 到达 Q 点，则电子运动的路程一定为 LC若电子从 P 点出发经原点 O 到达 Q 点，则电子运动的路程一定为 2 LD若电子从 P 点出发经原点 O 到达 Q 点，则电子运动的路程可能为 L，也可能为2 L解
23、题探究 (1)B、C、D 选项中“电子从 P 点出发经原点 O 到达 Q 点” ，经原点 O 一定是第一次射出磁场分界线就过原点 O 吗？提示：不一定，可能存在多解。(2)轨迹半径如何确定？提示：由几何关系知可能有 2Rcos45 L 或 2Rcos45 L 等。222尝试解答 选 AD。电子在匀强磁场中做匀速圆周运动，设其运动半径为 R，若电子从 P 点出发恰好经原点 O 第一次射出磁场分界线，则其运动轨迹如图甲所示，则有 2Rcos45 L，半径2R L，从 P 点到 O 点运动轨迹为四分之一圆周，所以运动的路程 s ，A 正确。2 R4 L2电子从 P 点出发经原点 O 到达 Q 点，若
24、电子恰好经原点 O 第一次射出磁场分界线，则轨迹如图甲所示，运动路程为一个圆周，即 s12 R2 L；若电子从 P 点出发经过原点 O 到达 Q 点的运动轨迹如图乙所示，根据几何关系有 2Rcos45 ，圆周运动半径2L2R ，运动的路程为 s2 22 22 L，B、C 错误，D 正确。L2 2 R4 2 L4214总结升华求解带电粒子在磁场中运动多解问题的技巧(1)分析题目特点，确定题目多解性形成原因。(2)作出粒子运动轨迹示意图(全面考虑多种可能性)。(3)若为周期性的多解问题，寻找通项式，若是出现几种周期性解的可能性，注意每种解出现的条件。变式 3 如图甲所示， M、 N 为竖直放置且彼
25、此平行的两块平板，板间距离为 d，两板中央各有一个小孔 O、 O且正对，在两板间有垂直于纸面方向的磁场，磁感应强度随时间的变化如图乙所示(垂直于纸面向里的磁场方向为正方向)。有一群正离子在 t0 时垂直于 M 板从小孔 O 射入磁场，已知正离子质量为 m，电荷量为 q，正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都为 T0，不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响，不计离子所受重力。求：(1)磁感应强度 B0的大小；(2)若正离子从 O孔垂直于 N 板射出磁场所用的时间最短，请画出其运动轨迹并求出该最短时间；(3)要使正离子从 O孔垂直于 N 板射出磁场，正离子射入磁场时的速度 v0的
26、可能值。15答案 (1) (2)轨迹图见解析 T02 mqT0(3) (n1,2,3，) d2nT0解析 (1)设离子轨道半径为 R，洛伦兹力提供向心力： B0qv0mv20R做匀速圆周运动的周期 T02 Rv0由以上两式得： B0 。2 mqT0(2)轨迹如右图，最短时间 tmin T0。(3)要使正离子从 O孔垂直于 N 板射出磁场，正离子在两板之间只运动一个周期即 T0时， R 。d4当正离子在两板之间运动 n 个周期，即 nT0时，R (n1,2,3，)d4nB0qv0mv20R联立得正离子的速度的可能值为 v0 (n1,2,3，)。B0qRm d2nT0考点 4 带电粒子在磁场中运动
27、的临界和极值问题1.解题思路以题目中的“恰好” “最大” “最高” “至少”等词语为突破口，运用动态思维，寻找临界点，确定临界状态，根据粒子的速度方向找出偏转方向，同时由磁场边界和题设条件画好轨迹、定好圆心，建立几何关系。2寻找临界点常用的结论(1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。(2)当速度 v 一定时，弧长越长，圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越16长。(3)当速度 v 变化时，圆心角越大的，运动时间越长。例 4 (2018武昌调研)(多选)如图所示，在一个等腰直角三角形区域 ABC 内，存在方向垂直于纸面向里、磁感应强度大小为 B 的匀强磁场(边
28、界上有磁场)，AC BC l， C90。质量为 m、电荷量为 q 的大量相同的粒子以不同速率从 AB 边上距 A 点为 l 的 D 点既垂直于边界 AB 又垂直于磁场方向射入匀强磁场，不计粒子间的相互作用及粒子重力，则以下结论正确的是( )A速率在 (32 ) 的粒子都会从 BC 边离开磁场2qBlm解题探究 (1)从 AC 边离开磁场的临界点是什么？提示：与 AC 相切，从 C 点离开，两个临界点。(2)从 AB 边离开磁场，粒子会运动半个圆周，运动的最大位移如何确定？提示： x2 r，即 r 取最大时 x 最大。尝试解答 选 AC。作出带电粒子从 AC 边离开的轨迹，如图所示，轨迹 DEF
29、 与 AC 边相切，切点为 E， DC为刚好从 C 点离开磁场区域的带电粒子的轨迹。当带电粒子从 C 点离开时，粒子的轨迹半径为 r1 l，又由 qv1B m 得 v1 ；当粒子轨迹刚好与 AC 边相切时，由几何关系有v21r1 qBlm17l r2 r2，则 r2( 1) l，又由 qv2B m 得 v2 ，所以带电粒子的速2 2v2r2 2 1 qBlm率满足 时，带电粒子都会从 BC 边离开磁场，D 错误。qBlm总结升华1利用缩放圆法探索临界状态当带电粒子以任一速率沿特定方向射入匀强磁场时，它们的速率 v0越大，在磁场中做圆周运动的轨道半径也越大，它们运动轨迹的圆心在垂直速度方向的直线
30、 PP上。此时可以用“缩放圆法”分析以入射点为定点，圆心位于直线 PP上，将半径缩放作粒子的运动轨迹，从而探索出临界条件，问题便迎刃而解。2带电粒子在矩形有界匀强磁场中运动的临界问题由于矩形磁场有四个边界，所以带电粒子在此类磁场中运动时往往会存在临界问题带电粒子的运动轨迹与某一边界相切，具体情况如下：(1)粒子射入的初速度方向和矩形磁场某边界垂直，如图甲所示。当粒子速度较小时，粒子将在磁场中做半个圆周运动后从原边界射出磁场区域；当粒子速度在某一范围内时，粒子将在磁场中做部分圆周运动后从侧面边界飞出磁场；当粒子速度较大时，粒子将在磁场中做部分圆周运动后从对面边界飞出磁场。18(2)粒子射入的初速
31、度方向和矩形磁场某边界成一夹角，如图乙所示。当粒子速度较小时，粒子将在磁场中做部分圆周运动后从原边界飞出磁场；当粒子速度在某一范围内时，粒子将在磁场中做部分圆周运动后从上侧面边界飞出磁场；当粒子速度较大时，粒子将在磁场中做部分圆周运动后从右侧面边界飞出磁场；当粒子速度更大时，粒子将在磁场中做部分圆周运动后从下侧面边界飞出磁场。这类在矩形磁场中求解时间范围、速度范围等的问题是热点。综合以上两种情况，寻找“相切或相交”的临界点是解决问题的关键；另外在磁场边界上还有粒子不能达到的区域即“盲区” ，也要引起大家注意。变式 4 如图所示，正方形区域 abcd 内(含边界)有垂直纸面向里的匀强磁场，ab
32、l， Oa0.4 l，大量带正电的粒子从 O 点沿与 ab 边成 37的方向以不同的初速度 v0射入磁场，不计粒子重力和粒子间的相互作用，已知带电粒子的质量为 m，电荷量为 q，磁场的磁感应强度大小为 B，sin370.6，cos370.8。(1)求带电粒子在磁场中运动的最长时间；(2)若带电粒子从 ad 边离开磁场，求 v0的取值范围。答案 (1) (2) lR。因朝不同方向发射的 粒子的圆轨迹都过 S，由此可知，某一圆轨迹在图中 N 左侧与ab 相切，则此切点 P1就是 粒子能打中的左侧最远点。为确定 P1点的位置，可作平行于ab 的直线 cd， cd 到 ab 的距离为 R，以 S 为圆
33、心， R 为半径，作圆弧交 cd 于 Q 点，过 Q 作ab 的垂线，它与 ab 的交点即为 P1。即 NP1 。R2 l R 2再考虑 N 的右侧。任何 粒子在运动中离 S 的距离不可能超过 2R，以 2R 为半径、 S22为圆心作圆弧，交 ab 于 N 右侧的 P2点，此即右侧能打到的最远点。由图中几何关系得NP2 ， 2R 2 l2所求长度为 P1P2 NP1 NP2，代入数值得 P1P220 cm。答案 20 cm名师点睛 (1)解决带电粒子在有界磁场中运动的临界问题，关键在于运用动态思维，寻找临界点，确定临界状态，根据粒子的速度方向，找出半径方向，同时由磁场边界和题设条件画好轨迹，定
34、好圆心，建立几何关系。粒子射出或不射出磁场的临界状态是粒子运动轨迹与磁场边界相切。(2)要重视分析时的尺规作图，规范而准确的作图可突出几何关系，使抽象的物理问题更形象、直观。【针对训练】1如图所示，在直角坐标系 xOy 中， x 轴上方有匀强磁场，磁感应强度的大小为 B，磁场方向垂直于纸面向外。许多质量为 m、电荷量为 q 的粒子以相同的速率 v 沿纸面内由x 轴负方向与 y 轴正方向之间各个方向从原点 O 射入磁场区域。不计重力及粒子间的相互作用。下列图中阴影部分表示带电粒子在磁场中可能经过的区域，其中 R ，正确的图mvqB是( )23答案 D解析 如图，从 O 点水平向左沿 x 轴负方向
35、射出的粒子，轨迹为圆，和 x 轴相切于 O点，在 x 轴上方，半径为 R；沿 y 轴正方向射出的粒子轨迹为半圆，在 y 轴右侧，和 x 轴交点距 O 点为 2R，其余方向射入的带电粒子，轨迹圆旋转，最远点均在以 O 为圆心、半径为 2R 的圆周上，故 D 正确。2. (多选)如图所示，宽 d4 cm 的有界匀强磁场，纵向范围足够大，磁场方向垂直纸面向里。现有一群正粒子从 O 点以相同的速率沿纸面不同方向进入磁场，若粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径为 r10 cm，则( )24A右边界：8 cm8 cm 有粒子射出D左边界：00)。粒子沿纸面以大小为 v 的速度从 OM 的某点向左上方射入磁
36、场，速度与 OM 成 30角。已知该粒子在磁场中的运动轨迹与 ON 只有一个交点，并从 OM上另一点射出磁场。不计重力。粒子离开磁场的出射点到两平面交线 O 的距离为( )27A B mv2qB 3mvqBC D2mvqB 4mvqB答案 D解析 粒子在磁场中的运动轨迹如图所示，由 qvB m 得 R ，分析图中角度关系v2R mvqB可知， PO半径与 O Q 半径在同一条直线上。则 PQ2 R，所以 OQ4 R ，D 正确。4mvqB4(2017全国卷)如图，空间存在方向垂直于纸面( xOy 平面)向里的磁场。在 x0区域，磁感应强度的大小为 B0； x0 区域，磁感应强度的大小为 B 0
37、(常数 1)。一质量为 m、电荷量为 q(q0)的带电粒子以速度 v0从坐标原点 O 沿 x 轴正向射入磁场，此时开始计时，当粒子的速度方向再次沿 x 轴正向时，求：(不计重力)(1)粒子运动的时间；(2)粒子与 O 点间的距离。答案 (1) (2) mB0q(1 1 ) 2mv0B0q(1 1 )解析 (1)在匀强磁场中，带电粒子做圆周运动，设在 x0 区域，圆周半径为 R1；在28x0 区域，圆周半径为 R2，由洛伦兹力公式及牛顿第二定律得qB0v0 m v20R1qB 0v0 m v20R2粒子速度方向转过 180时，所需时间 t1为t1 R1v0粒子再转过 180时，所需时间 t2为t
38、2 R2v0联立式得，所求时间为t0 t1 t2 。 mB0q(1 1 )(2)由几何关系及式得，所求距离为d02( R1 R2) 。2mv0B0q(1 1 )5(2018江苏高考)如图所示，真空中四个相同的矩形匀强磁场区域，高为 4d，宽为 d，中间两个磁场区域间隔为 2d，中轴线与磁场区域两侧相交于 O、 O点，各区域磁感应强度大小相等。某粒子质量为 m、电荷量为 q，从 O 沿轴线射入磁场。当入射速度为 v0时，粒子从 O 上方 处射出磁场。取 sin530.8，cos530.6。d2(1)求磁感应强度大小 B；(2)入射速度为 5v0时，求粒子从 O 运动到 O的时间 t；(3)入射速
39、度仍为 5v0，通过沿轴线 OO平移中间两个磁场(磁场不重叠)，可使粒子从O 运动到 O的时间增加 t，求 t 的最大值。答案 (1) (2) (3)4mv0qd (53 72180 )dv0 d5v0解析 (1)粒子圆周运动的半径 r0mv0qB29由题意知 r0d4解得 B 。4mv0qd(2)粒子入射速度为 5v0时，圆周运动半径r 5 r0 ，5mv0qB 5d4如图所示，设粒子在矩形磁场中的偏转角为 ，由 d rsin ，得 sin ，即 5345在一个矩形磁场中的运动时间 t1 3602 mqB解得 t153 d720v0直线运动的时间 t22d5v0则 t4 t1 t2 。(53
40、 72180 )dv0(3)将中间两磁场分别向中央移动距离 x，粒子从 O 点向上运动的最大偏移量y2 r(1cos ) xtan由 y2 d，解得 x d34则当 xm d 时， t 有最大值34粒子直线运动路程的最大值sm (2 d2 xm)3 d2xmcos增加路程的最大值 sm sm2 d d增加时间的最大值 tm 。 sm5v0 d5v030配套课时作业时间：45 分钟 满分：100 分一、选择题(本题共 10 小题，每小题 7 分，共 70 分。其中 15 为单选，610 为多选)1如图，半径为 R 的半圆形区域内有垂直于纸面向外的匀强磁场。一质量为 m、带电荷量为 q 且不计重力
41、的粒子，以速度 v 沿与半径 PO 夹角 30的方向从 P 点垂直磁场射入，最后粒子垂直于 MN 射出，则磁感应强度的大小为( )A BmvqR mv2qRC Dmv3qR mv4qR答案 B解析 根据题述可得带电粒子运动的轨迹半径 r 满足 rcos60 R， r2 R。带电粒子在匀强磁场中运动，洛伦兹力提供向心力， qvB m ，解得磁感应强度的大小为v2rB ，B 正确。mv2qR2如图所示，一带电塑料小球质量为 m，用丝线悬挂于 O 点，并在竖直平面内摆动，最大摆角为 60，水平磁场垂直于小球摆动的平面。当小球自左方摆到最低点时，悬线上的张力恰为零，则小球自右方最大摆角处摆到最低点时悬线上的张力为( )A0 B2 mg C4 mg D6 mg
